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高中数学公式大全,提高成绩不是梦


高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系 x ∈ A ? x ? CU A , x ∈ CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A ∩ B) = CU A ∪ CU B; CU ( A ∪ B) = CU A ∩ CU B .
3.包含关系

A ∩ B = A ? A ∪ B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ∩ CU B = Φ ? CU A ∪ B = R
4.容斥原理

card ( A ∪ B ) = cardA + cardB ? card ( A ∩ B ) card ( A ∪ B ∪ C ) = cardA + cardB + cardC ? card ( A ∩ B ) ? card ( A ∩ B ) ? card ( B ∩ C ) ? card (C ∩ A) + card ( A ∩ B ∩ C ) .
5. 集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 个;非空的真子集有 2n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x ) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ; (2)顶点式 f ( x ) = a ( x ? h) + k ( a ≠ 0) ;
2 n

个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2

n

n

–1

(3)零点式 f ( x ) = a ( x ? x1 )( x ? x2 )( a ≠ 0) . 7.解连不等式 N < f ( x ) < M 常有以下转化形式

N < f ( x) < M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] < 0 M +N M ?N f ( x) ? N ? | f ( x) ? |< ? >0 2 2 M ? f ( x) 1 1 ? > . f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x ) = 0 在 ( k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f ( k 2 ) < 0 不等价,前者是后
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 有且只有一个实根在

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) < 0 ,或 f (k1 ) = 0 且 k1 < ?
k1 + k 2 b <? < k2 . 2 2a
9.闭区间上的二次函数的最值

k + k2 b < 1 ,或 f ( k 2 ) = 0 且 2a 2

二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c( a ≠ 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值只能在 x = ? 间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, x = ? 若

b 处及区 2a

b b ∈ [ p, q ], f ( x) min = f (? ), f ( x) max = max { f ( p ), f (q )} ; 则 2a 2a

b ? [ p, q ] , f ( x) max = max { f ( p), f (q)} , f ( x) min = min { f ( p), f (q)} . 2a b ∈ [ p, q ] , 则 f ( x) min = min { f ( p ), f (q)} , 若 (2) 当 a<0 时 , 若 x = ? 2a x=?

x=?

b ? [ p, q ] ,则 f ( x) max = max { f ( p), f (q)} , f ( x) min = min { f ( p ), f (q)} . 2a
设 f ( x) = x2 + px + q ,则

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f ( m) f ( n) < 0 ,则方程 f ( x ) = 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 .

? p 2 ? 4q ≥ 0 ? (1)方程 f ( x ) = 0 在区间 (m,+∞) 内有根的充要条件为 f (m) = 0 或 ? p ; ? >m ? ? 2 ? f ( m) > 0 ? f ( n) > 0 ? ? (2)方程 f ( x ) = 0 在区间 (m, n) 内有根的充要条件为 f ( m) f ( n) < 0 或 ? p 2 ? 4q ≥ 0 ? ?m < ? p < n ? 2 ? ? f ( m) = 0 ? f (n) = 0 或? 或? ; ?af (n) > 0 ?af (m) > 0 ? p 2 ? 4q ≥ 0 ? . (3)方程 f ( x) = 0 在区间 ( ?∞, n) 内有根的充要条件为 f (m) < 0 或 ? p ? <m ? ? 2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (?∞,+∞) 的子区间 L (形如 [α , β ] ,(? ∞, β ],[α ,+∞ ) 不同)上含参数 的二次不等式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) min ≥ 0( x ? L) . (2)在给定区间 (?∞,+∞) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ≥ 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x, t ) man ≤ 0( x ? L) .

?a ≥ 0 ?a < 0 ? (3) f ( x ) = ax + bx + c > 0 恒成立的充要条件是 ?b ≥ 0 或 ? 2 . b ? 4ac < 0 ?c > 0 ? ?
4 2

12.真值表 p或q p且q p q 非p 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有 n 个 小于 不小于 至多有 n 个 对所有 x , 存在某 x , p 或q 成立 不成立 对任何 x , 不成立 存在某 x , 成立

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n + 1 )个

?p 且 ?q ?p 或 ?q

p 且q

14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ∈ [a, b], x1 ≠ x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[a, b]上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] < 0 ? < 0 ? f ( x)在[a, b ] 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y = f (x ) 在某个区间内可导,如果 f ′( x ) > 0 ,则 f (x ) 为增函数;如果 f ′( x) < 0 ,则 f (x) 为减函数. 17.如果函数 f (x ) 和 g (x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) + g ( x ) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y = f (u ) 和 u = g (x ) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y = f [ g ( x)] 是增函数.

( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] > 0 ?

18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 19.若函数 y = f (x ) 是偶函数, f ( x + a ) = f ( ? x ? a ) ; 则 若函数 y = f ( x + a ) 是偶函 数,则 f ( x + a ) = f ( ? x + a ) . 20.对于函数 y = f (x ) ( x ∈ R ), f ( x + a ) = f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x ) 的对称轴是 函数 x =

a+b a+b ;两个函数 y = f ( x + a ) 与 y = f (b ? x ) 的图象关于直线 x = 对称. 2 2 a 21. 若 f ( x ) = ? f (? x + a ) , 则 函 数 y = f (x ) 的 图 象 关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 2 f ( x) = ? f ( x + a ) ,则函数 y = f (x) 为周期为 2a 的周期函数.
多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y = f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x = a 对称 ? f ( a + x ) = f (a ? x ) 22.多项式函数 P ( x ) = an x + an ?1 x
n n ?1

+ ? + a0 的奇偶性

? f (2a ? x) = f ( x) .

(2)函数 y = f ( x) 的图象关于直线 x =

? f (a + b ? mx) = f (mx) .

a+b 对称 ? f ( a + mx ) = f (b ? mx ) 2

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y = f ( x) 与函数 y = f ( ? x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y = f ( mx ? a ) 与函数 y = f (b ? mx ) 的图象关于直线 x = (3)函数 y = f ( x ) 和 y = f
?1

a+b 对称. 2m

( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y = f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y = f ( x ? a ) + b 的图 象;若将曲线 f ( x, y ) = 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) = 0 的图
象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a ) = b ? f ?1 (b) = a .
27. 若 函 数 y = f ( kx + b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y =

1 ?1 [ f ( x ) ? b] , 并 不 是 k

y =[f

?1

(kx + b) ,而函数 y = [ f

?1

(kx + b) 是 y =

1 [ f ( x) ? b] 的反函数. k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) = cx , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f ( x) = a x , f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . (3)对数函数 f ( x) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f ( a ) = 1( a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 f ( x) = xα , f ( xy ) = f ( x) f ( y ), f ' (1) = α . (5)余弦函数 f ( x) = cos x ,正弦函数 g ( x) = sin x , f ( x ? y) = f ( x) f ( y) + g ( x) g ( y) ,

f (0) = 1, lim
x →0

g ( x) =1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) = f ( x + a ) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) = f ( x + a ) = 0 ,

1 ( f ( x ) ≠ 0) , f ( x) 1 或 f ( x + a) = ? ( f (x) ≠ 0) , f (x) 1 2 或 + f ( x) ? f ( x) = f ( x + a ), ( f ( x) ∈ [ 0,1]) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 1 (3) f ( x) = 1 ? ( f ( x) ≠ 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x + a) f ( x1 ) + f ( x2 ) (4) f ( x1 + x2 ) = 且 f ( a ) = 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≠ 1, 0 <| x1 ? x2 |< 2a ) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (x) 的周期 T=4a; (5) f (x) + f (x + a) + f (x + 2a) f (x + 3a) + f (x + 4a) = f (x) f (x + a) f (x + 2a) f (x + 3a) f (x + 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x + a ) = f ( x ) ? f ( x + a) ,则 f (x ) 的周期 T=6a.
或 f ( x + a) = 30.分数指数幂

(1) a (2) a

m n

=

1
n

?

m n

=

a 1

m

( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ). ( a > 0, m, n ∈ N ,且 n > 1 ).
?

?

a

m n

31.根式的性质 (1) ( n a ) n = a . (2)当 n 为奇数时, a = a ;
n n

当 n 为偶数时, a =| a |= ?
n n

?a, a ≥ 0 . ?? a, a < 0

32.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s = a r + s (a > 0, r , s ∈ Q ) .

(2) ( a r ) s = a rs ( a > 0, r , s ∈ Q ) . (3) ( ab) r = a r b r ( a > 0, b > 0, r ∈ Q ) . p 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式

log a N = b ? a b = N (a > 0, a ≠ 1, N > 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). log m a n n 推论 log am b = log a b ( a > 0 ,且 a > 1 , m, n > 0 ,且 m ≠ 1 , n ≠ 1 , N > 0 ). m log a N =
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) = log a M + log a N ;

M = log a M ? log a N ; N n (3) log a M = n log a M ( n ∈ R ) .
(2) log a 36.设函数 f ( x ) = log m ( ax + bx + c )( a ≠ 0) ,记 ? = b ? 4ac .若 f (x ) 的定义域为
2
2

R ,则 a > 0 ,且 ? < 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a > 0 ,且 ? ≥ 0 .对于 a = 0 的情形,需要
单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广



1 ,则函数 y = log ax (bx ) a 1 1 (1)当 a > b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a < b 时,在 (0, ) 和 ( , +∞ ) 上 y = log ax (bx ) 为减函数. a a
若a > 0 ,b > 0, x > 0 , x ≠ 推论:设 n > m > 1 , p > 0 , a > 0 ,且 a ≠ 1 ,则 (1) log m + p ( n + p ) < log m n .

(2) log a m log a n < log a

2

m+n . 2

38. 平均增长率的问题 如 果 原来 产值 的基 础数为 N ,平 均增 长率 为 p ,则 对 于时 间 x 的 总产 值 y ,有

y = N (1 + p ) x .
39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n =1 ? s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn = a1 + a2 + ? + an ). an = ? ? sn ? sn ?1 , n ≥ 2
40.等差数列的通项公式

an = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d (n ∈ N * ) ;
其前 n 项和公式为

n(a1 + an ) n(n ? 1) = na1 + d 2 2 d 1 = n 2 + (a1 ? d )n . 2 2 sn =
41.等比数列的通项公式

an = a1q n ?1 =

a1 n ? q (n ∈ N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ≠1 ? sn = ? 1 ? q ?na , q = 1 ? 1
? a1 ? an q ,q ≠1 ? 或 sn = ? 1 ? q . ?na , q = 1 ? 1

42.等比差数列 {an } : an +1 = qan + d , a1 = b( q ≠ 0) 的通项公式为

?b + (n ? 1)d , q = 1 ? an = ? bq n + (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ≠1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb + n(n ? 1)d , (q = 1) ? sn = ? . d 1 ? qn d (b ? ) + n, (q ≠ 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
43.分期付款(按揭贷款)

ab(1 + b)n 每次还款 x = 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 + b)n ? 1
44.常见三角不等式 (1)若 x ∈ (0,

π

2

) ,则 sin x < x < tan x .

(2) 若 x ∈ (0,

) ,则 1 < sin x + cos x ≤ 2 . 2 (3) | sin x | + | cos x |≥ 1 .
sin 2 θ + cos 2 θ = 1 , tan θ =
sin θ , tan θ ? cotθ = 1 . cosθ
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

π

45.同角三角函数的基本关系式

46.正弦、余弦的诱导公式
n ? (?1) 2 sin α , nπ ? sin( + α ) = ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s α , ?
n ? ( ?1) 2 co s α , nπ ? +α) = ? co s( n +1 2 ?( ?1) 2 sin α , ?

47.和角与差角公式

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos(α ± β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; tan α ± tan β tan(α ± β ) = . 1 ? tan α tan β sin(α + β ) sin(α ? β ) = sin 2 α ? sin 2 β (平方正弦公式);

cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos 2 α ? sin 2 β .
a sin α + b cos α = a 2 + b 2 sin(α + ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决 b 定, tan ? = ). a
48.二倍角公式

sin 2α = sin α cos α . cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α . 2 tan α tan 2α = . 1 ? tan 2 α
49. 三倍角公式

sin 3θ = 3sin θ ? 4 sin 3 θ = 4sin θ sin( ? θ ) sin( + θ ) . 3 3 cos 3θ = 4 cos3 θ ? 3cos θ = 4 cos θ cos( ? θ ) cos( + θ ) 3 3 tan 3θ = 3 tan θ ? tan 3 θ π π = tan θ tan( ? θ ) tan( + θ ) . 2 1 ? 3 tan θ 3 3

π

π

π

π

.

50.三角函数的周期公式 函数 y = sin(ω x + ? ) ,x∈R 及函数 y = cos(ω x + ? ) ,x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0, ω>0)的周期 T =



ω

;函数 y = tan(ω x + ? ) , x ≠ kπ +

π

≠0,ω>0)的周期 T =

π . ω

2

, k ∈ Z (A,ω, ? 为常数,且 A

51.正弦定理

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha = bhb = chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S = ab sin C = bc sin A = ca sin B . 2 2 2 1 (3) S ?OAB = (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 . 2
(1) S = 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A + B + C = π ? C = π ? ( A + B )

?

C π A+ B = ? ? 2C = 2π ? 2( A + B) . 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解

sin x = a ? x = kπ + (?1)k arcsin a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . co s x = a ? x = 2kπ ± arccos a (k ∈ Z ,| a |≤ 1) . tan x = a ? x = kπ + arctan a (k ∈ Z , a ∈ R) .
特别地,有

sin α = sin β ? α = kπ + (?1) k β (k ∈ Z ) . co s α = cos β ? α = 2kπ ± β (k ∈ Z ) . tan α = tan β ? α = kπ + β (k ∈ Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x > a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ + arcsin a, 2kπ + π ? arcsin a ), k ∈ Z . sin x < a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ ? π ? arcsin a, 2kπ + arcsin a ), k ∈ Z . cos x > a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ ? arccos a, 2kπ + arccos a ), k ∈ Z . cos x < a (| a |≤ 1) ? x ∈ (2kπ + arccos a, 2kπ + 2π ? arccos a ), k ∈ Z . tan x > a (a ∈ R) ? x ∈ (kπ + arctan a, kπ + ), k ∈ Z . 2 tan x < a (a ∈ R) ? x ∈ (kπ ?

π

π

2

, kπ + arctan a ), k ∈ Z .

57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; a a (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; a a a; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. a b a b 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b a (交换律); b= b· (2)( λ a) b= λ (a·b)= λ a·b= a· λ b); ·b= ( b b (3)(a+b) c= a ·c +b c. ·c= c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 e

只有一对实数λ1、λ2,使得 a= 1e1+λ2e2. a=λ 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 基底. e 基底 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 a b(b ≠ 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 . b 53. a 与 b 的数量积(或内积) b b a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 + x2 , y1 + y2 ) . b (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . b (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), λ ∈ R ,则 λ a= (λ x, λ y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 + y1 y2 ) . b b= 63.两向量的夹角公式 公式

cos θ =

x1 x2 + y1 y2
2 2 x + y12 ? x2 + y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). b

64.平面两点间的距离公式

d A, B = | AB |= AB ? AB

= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ≠ 0,则 b A||b ? b=λa ? x 1 y2 ? x2 y1 = 0 . b a a ⊥ b(a ≠ 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 + y1 y2 = 0 . b 66.线段的定比分公式 设 P ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P P2 的分点, λ 是实数,且 P P = λ PP2 ,则 1 1 1

x1 + λ x2 ? ?x = 1+ λ OP + λ OP2 ? ? OP = 1 ? 1+ λ ? y = y1 + λ y2 ? 1+ λ ? 1 ? OP = tOP + (1 ? t )OP2 ( t = ). 1 1+ λ
67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐 标是 G (

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ). 3 3

68.点的平移公式

? x' = x + h ? x = x' ? h ? ? ? OP ' = OP + PP ' . ?? ? ' ' ?y = y + k ?y = y ? k ? ?
注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P ' ( x ' , y ' ) ,且 PP ' 的 坐标为 ( h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论

(1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P ( x + h, y + k ) .
'

(2) 函数 y = f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式 为 y = f ( x ? h) + k .
' '

(3) 图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y = f ( x) ,则 C 的函数 解析式为 y = f ( x + h) ? k .
' '

(4) 曲 线 C : f ( x, y ) = 0 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为 f ( x ? h, y ? k ) = 0 .
' '

(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA = OB = OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA + OB + OC = 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA + bOB + cOC = 0 . (5) O 为 ?ABC 的 ∠A 的旁心 ? aOA = bOB + cOC . 71.常用不等式: (1) a, b ∈ R ? a + b ≥ 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2 2 2 2

(2) a, b ∈ R + ?

a+b ≥ ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) a 3 + b3 + c 3 ≥ 3abc ( a > 0, b > 0, c > 0). (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd )2 , a, b, c, d ∈ R.
(5) a ? b ≤ a + b ≤ a + b .

(4)柯西不等式

72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ; (2)若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x, y ∈ R ,则有 ( x + y ) 2 = ( x ? y ) 2 + 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x + y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x + y | 最小. (2)若和 | x + y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax 2 + bx + c > 0(或 < 0) ( a ≠ 0, ? = b 2 ? 4ac > 0) , 如 果 a 与

1 2 s . 4

ax 2 + bx + c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 + bx + c 异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 < x < x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) < 0( x1 < x2 ) ; x < x1 , 或x > x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) > 0( x1 < x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x < a ? x 2 < a ? ?a < x < a .
2

x > a ? x2 > a2 ? x > a 或 x < ? a .
75.无理不等式 (1)

(2)

(3)

? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) > g ( x) ? ? g ( x) ≥ 0 . ? f ( x) > g ( x ) ? ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) > g ( x) ? ? g ( x) ≥ 0 或? . ? f ( x) > [ g ( x)]2 ? g ( x) < 0 ? ? f ( x) ≥ 0 ? f ( x) < g ( x) ? ? g ( x) > 0 . ? f ( x) < [ g ( x)]2 ?

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a > 1 时,

a f ( x ) > a g ( x ) ? f ( x ) > g ( x) ;

? f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x) ? ? g ( x) > 0 . ? f ( x) > g ( x ) ? (2)当 0 < a < 1 时, a f ( x ) > a g ( x ) ? f ( x) < g ( x) ; ? f ( x) > 0 ? log a f ( x) > log a g ( x) ? ? g ( x) > 0 ? f ( x) < g ( x) ?
77.斜率公式

k=

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). 1 x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 = k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y = kx + b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 = ( y1 ≠ y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ≠ x2 )). 1 y2 ? y1 x2 ? x1 x y (4)截距式 + = 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ≠ 0 ) a b (5)一般式 Ax + By + C = 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 ① l1 || l2 ? k1 = k2 , b1 ≠ b2 ; ② l1 ⊥ l2 ? k1k2 = ?1 . ① l1 || l2 ? (2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

A1 B1 C1 ; = ≠ A2 B2 C2

② l1 ⊥ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 ; 80.夹角公式

k2 ? k1 |. 1 + k2 k1 ( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 , k1k2 ≠ ?1 ) A B ? A2 B1 |. (2) tan α =| 1 2 A1 A2 + B1 B2 ( l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 , A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ).
(1) tan α =| 直线 l1 ⊥ l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 81. l1 到 l2 的角公式

π

2

.

k2 ? k1 . 1 + k2 k1 ( l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 , k1k2 ≠ ?1 ) A B ? A2 B1 . (2) tan α = 1 2 A1 A2 + B1 B2 ( l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 , A1 A2 + B1 B2 ≠ 0 ).
(1) tan α = 直线 l1 ⊥ l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

π

2

.

82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) (除直线

x = x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为
A( x ? x0 ) + B ( y ? y0 ) = 0 ,其中 A, B 是待定的系数.
(2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B 2 y + C2 = 0 的交点 的直线系方程为 ( A1 x + B1 y + C1 ) + λ ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 (除 l2 ),其中λ是待定的系数. 系方程.与直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程是 Ax + By + λ = 0 ( λ ≠ 0 ),λ是 参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax + By + C = 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 (3)平行直线系方程:直线 y = kx + b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线

Bx ? Ay + λ = 0 ,λ是参变量.
83.点到直线的距离

(点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 ). A2 + B 2 84. Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax + By + C = 0 ,则 Ax + By + C > 0 或 < 0 所表示的平面区域是: 若 B ≠ 0 , B 与 Ax + By + C 同号时, 当 表示直线 l 的上方的区域; B 与 Ax + By + C 当 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B = 0 , A 与 Ax + By + C 同号时, 当 表示直线 l 的右方的区域; A 与 Ax + By + C 当 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域 ,则 设曲线 C : ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ( A1 A2 B1 B2 ≠ 0 )

d=

| Ax0 + By0 + C |

( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域是:

( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) < 0 所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) + ( y ? b) = r .
2 2 2

(2)圆的一般方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 ? 4 F >0).

? x = a + r cos θ . ? y = b + r sin θ ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) = 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) + λ[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] = 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) + λ (ax + by + c) = 0 , 其 中 ax + by + c = 0 是 直 线 AB 的方程,λ是待定的系数. 2 2 (2)过直线 l : Ax + By + C = 0 与圆 C : x + y + Dx + Ey + F = 0 的交点的圆系方程 是 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C ) = 0 ,λ是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 的交
点的圆系方程是 x + y + D1 x + E1 y + F1 + λ ( x + y + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 ,λ是待定的
2 2 2 2

系数. 88.点与圆的位置关系 点 P ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 的位置关系有三种 若d =

(a ? x0 ) 2 + (b ? y0 ) 2 ,则 d > r ? 点 P 在圆外; d = r ? 点 P 在圆上; d < r ? 点 P 在圆内.

89.直线与圆的位置关系 直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 的位置关系有三种:

d > r ? 相离 ? ? < 0 ; d = r ? 相切 ? ? = 0 ; d < r ? 相交 ? ? > 0 . Aa + Bb + C 其中 d = . A2 + B 2
90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 = d

d > r1 + r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d = r1 + r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; r1 ? r2 < d < r1 + r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d = r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 < d < r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 + x) E ( y0 + y ) + + F = 0. 2 2 D( x0 + x) E ( y0 + y ) + + F = 0 表示过两个切点 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x + y0 y + 2 2 x0 x + y0 y +
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y = kx + b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x + y = r .
2 2 2

①过圆上的 P0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x + y0 y = r ;
2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y = kx ± r 1 + k .
2

92.椭圆 93.椭圆

? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y = b sin θ

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 焦半径公式 a2 b2 a2 a2 PF1 = e( x + ) , PF2 = e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 + 2 <1. a2 b 2 2 x0 y0 + 2 > 1. a2 b

94.椭圆的的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? a b
95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b x2 y2 ( 3 ) 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a +B b =c . x2 y2 96.双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a b 2 a a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 的外部 ? a b
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2 2 x0 y0 ? 2 >1. a2 b 2 2 x0 y0 ? <1. a2 b2

x2 y2 x2 y2 b ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y = ± x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, λ < 0 ,焦点在 y 轴上).
(1)若双曲线方程为 99. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b =c . 100. 抛物线 y 2 = 2 px 的焦半径公式 p 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 焦半径 CF = x0 + . 2 p p 过焦点弦长 CD = x1 + + x 2 + = x1 + x 2 + p . 2 2 2 y 101.抛物线 y 2 = 2 px 上的动点可设为 P ( , y ) 或 P (2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) ,其中 2p 2 y = 2 px .
(1)双曲线

b 2 4ac ? b2 ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物线: (1)顶 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + 1 点坐标为 ( ? , ); (2)焦点的坐标为 ( ? , ); (3)准线方程是 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y= . 4a
102.二次函数 y = ax + bx + c = a( x +
2

103.抛物线的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的内部 ? y 2 < 2 px ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的外部 ? y 2 > 2 px ( p > 0) . (2)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px ( p > 0) 的内部 ? y 2 < ?2 px ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px ( p > 0) 的外部 ? y 2 > ?2 px( p > 0) . (3)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > 2 py ( p > 0) . (4) 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = ?2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > ?2 py ( p > 0) . 104. 抛物线的切线方程

(1)抛物线 y = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) .
2

(2) 过抛物线 y 2 = 2 px 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y = p(x + x0 ) . (3)抛物线 y = 2 px( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB = 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是
2 2

f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数). x2 y2 + 2 = 1 , 其 中 k < max{a 2 , b 2 } . 当 a2 ? k b ? k k > min{a 2 , b 2 } 时,表示椭圆; 当 min{a 2 , b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.
(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或

AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由方程 ?

? y = kx + b 2 消去 y 得到 ax + bx + c = 0 ,? > 0 , α 为直线 ?F( x , y) = 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2
2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , x0 x 代 x , y0 y 代 y 2 , 用 用 用

x0 y + xy0 x +x y +y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y + xy0 x +x y +y Ax0 x + B ? 0 + Cy0 y + D ? 0 + E? 0 + F = 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

弦,弦中点方程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直;

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. a b b a (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). a b c a b c (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. a b a b 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ使 a=λb.

P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP = t AB ? OP = (1 ? t )OA + tOB .

AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB = tCD 且 AB、CD 不共线.
118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p = ax + by . b 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP = xMA + yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP = OM + xMA + yMB . 119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 OP = xOA + yOB + zOC (x+ y+ z = k) ,则当 k = 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ≠ 1 时,若 O ∈ 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面.

A、B、 、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD = x AB + y AC ? C OD = (1 ? x ? y )OA + xOB + yOC ( O ? 平面 ABC).
120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, b c y,z,使 p=xa+yb+zc. a b c 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 OP = xOA + yOB + zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A' ,作 B e . 点在 l 上的射影 B ' ,则

A' B ' =| AB | cos 〈a,e〉=a·e e e
122.向量的直角坐标运算 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 b (1)a+b= ( a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; b (2)a-b= ( a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; b (3)λa= (λ a1 , λ a2 , λ a3 ) (λ∈R);

(4)a·b= a1b1 + a2b2 + a3b3 ; b 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .
124.空间的线线平行或垂直 设 a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z2 ) ,则

r

r

? x1 = λ x2 r r r r r r ? a P b ? a = λ b(b ≠ 0) ? ? y1 = λ y2 ; ?z = λ z 2 ? 1 r r r r a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
125.夹角公式 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 b cos〈a,b〉= b

a1b1 + a2b2 + a3b3
2 2 a12 + a2 + a3 b12 + b22 + b32
2 2 2 2

.
2 2 2

推论 ( a1b1 + a2b2 + a3b3 ) ≤ ( a1 + a2 + a3 )(b1 + b2 + b3 ) ,此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 θ ,则

cos θ =

| ( AB 2 + CD 2 ) ? ( BC 2 + DA2 ) | . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角

r r cos θ =| cos a, b | r r | a ?b | | x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 | = r r = 2 | a |?| b | x1 + y12 + z12 ? x2 2 + y2 2 + z2 2
o o

(其中 θ ( 0 < θ ≤ 90 )为异面直线 a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向向量) b b 128.直线 AB 与平面所成角

r r

AB ? m ( m 为平面 α 的法向量). | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 β 与过若 AB 的平面 α 成的角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α 成的角分别是 θ1 、 θ 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则

β = arc sin

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = (sin 2 A + sin 2 B ) sin 2 θ . sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ . 130.若 ?ABC 所在平面若 β 与过若 AB 的平面 α 成的角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α
成的角分别是 θ1 、 θ 2 , A 、B 为 ?ABO 的两个内角,则
' '

特别地,当 ∠ACB = 90 时,有

tan 2 θ1 + tan 2 θ 2 = (sin 2 A' + sin 2 B ' ) tan 2 θ .
特别地,当 ∠AOB = 90 时,有

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ . 131.二面角 α ? l ? β 的平面角

θ = arc cos

m?n m?n 或 π ? arc cos ( m , n 为平面 α , β 的法向量). | m || n | | m || n |

132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 θ1 ,AB 与 AC 所成的角为 θ 2 ,AO 与 AC 所成的角为 θ .则 cos θ = cos θ1 cos θ 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 θ1 , θ 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ,则有 sin ? sin θ = sin θ1 + sin θ 2 ? 2sin θ1 sin θ 2 cos ? ;
2 2 2 2

| θ1 ? θ 2 |≤ ? ≤ 180 ? (θ1 + θ 2 ) (当且仅当 θ = 90 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B = | AB |= AB ? AB = ( x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 ) 2 + ( z2 ? z1 ) 2 . 135.点 Q 到直线 l 距离 1 h= (| a || b |) 2 ? (a ? b) 2 ( 点 P 在 直 线 l 上 , 直 线 l 的 方 向 向 量 a= PA , 向 量 |a|
b= PQ ). 136.异面直线间的距离

d=

| CD ? n | ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 |n|

l1 , l2 间的距离). 137.点 B 到平面 α 的距离 | AB ? n | d= ( n 为平面 α 的法向量, AB 是经过面 α 的一条斜线, A ∈ α ). |n|
138.异面直线上两点距离公式

d = h 2 + m2 + n 2 ? 2mn cos θ .
d = h 2 + m 2 + n 2 ? 2mn cos EA' , AF . d = h 2 + m2 + n 2 ? 2mn cos ? ( ? = E ? AA' ? F ).
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ,其公垂线段 AA' 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两 点 E、F, A E = m , AF = n , EF = d ). 139.三个向量和的平方公式
'

(a + b + c) 2 = a + b + c + 2a ? b + 2b ? c + 2c ? a
= a + b + c + 2 | a | ? | b | cos a, b + 2 | b | ? | c | cos b, c + 2 | c | ? | a | cos c, a
140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为 θ1、θ 2、θ 3 ,则有
2 l 2 = l12 + l2 + l32 ? cos2 θ1 + cos2 θ 2 + cos2 θ3 = 1 ? sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 + sin 2 θ 3 = 2 .

2

2

2

2

2

2

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

S=

S' . cos θ

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 θ ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和
'

面积分别是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 = c1l . ② V斜棱柱 = S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V + F ? E = 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E =

1 nF ; 2 1 mV . 2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E = 146.球的半径是 R,则 其体积 V =

4 3 πR , 3 2 其表面积 S = 4π R .

147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 = Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 = Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
149.分类计数原理(加法原理) N = m1 + m2 + ? + mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N = m1 × m2 × ? × mn . 151.排列数公式

Anm = n(n ? 1) ? (n ? m + 1) =
注:规定 0! = 1 .

n! * .( n , m ∈N ,且 m ≤ n ). N (n ? m)!

152.排列恒等式 (1) An = ( n ? m + 1) An
m m ?1

;

(2) An =
m

n Anm?1 ; n?m m m ?1 (3) An = nAn ?1 ;
(4) nAn = An +1 ? An ;
n n n +1 m

(6) 1!+ 2 ? 2!+ 3 ? 3!+ ? + n ? n ! = ( n + 1)!? 1 . 153.组合数公式
m Cn =

(5) An +1 = An + mAn
m

m ?1

.

Anm n(n ? 1) ? (n ? m + 1) n! * = = ( n ∈N , m ∈ N ,且 m ≤ n ). N m Am 1× 2 × ?× m m!(n ? m)! ?
m n?m

154.组合数的两个性质 (1) C n = C n (2) C
m n + 0

;
m C n +1 .

C

m ?1 = n

注:规定 C n = 1 . 155.组合恒等式 (1) Cn =
m

n ? m + 1 m ?1 Cn ; m n m (2) Cn = Cnm?1 ; n?m n m ?1 m (3) Cn = Cn ?1 ; m
(4)

∑C
r =0 r r 0

n

r n

= 2n ;
r r r r +1

(5) C + C r +1 + C r + 2 + ? + C n = C n +1 . (6) C n + C n + C n + ? + C n + ? + C n = 2 .
1 2

r

n

n

(7) C n + C n + C n + ? = C n + C n + C n + ? 2
1 3 5 0 2 4

n ?1

.

(8) C n + 2C n + 3C n + ? + nC n = n 2
1 2 3

n

n ?1

.

(9) C m C n + C m C n + ? + C m C n = C m + n .
r
0 1 0r

r ?1

r

r

(10) (C n ) + (C n ) + (C n ) + ? + (C n ) = C 2 n .
0 2 1 2 2 2

n 2

n

156.排列数与组合数的关系

Anm = m ? Cn . ! m
157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 An ?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想)
m
1 m m 1 m = An ?1 An ??1 (着眼位置) = An ?1 + Am ?1 An ??1 (着眼元素)种. 1 1

m ?1

m ?1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)

①定位紧贴: k ( k ≤ m ≤ n) 个元在固定位的排列有 Ak An ? k 种.
k

m?k

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k +1 Ak 种.注:此类问题 常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ≤ h + 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一 组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah +1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
n Am +1 n 当 n > m + 1 时,无解;当 n ≤ m + 1 时,有 n = C m +1 种排法. An
h k

n ? k +1

k

(4) 两组相同元素的排列: 两组元素有 m 个和 n 个, 各组元素分别相同的排列数为 Cm + n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N = C mn ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n =
n n n n n

n

(mn)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其 分配方法数共有
n n n n n Cmn ? Cmn ? n ? Cmn ? 2 n ... ? C2 n ? Cn (mn)! N= = . m! m!(n!) m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则
nm n n 其分配方法数共有 N = C p1 ? C p 2 n1 ...C n m ? m!= ?

p!m! . n1!n2 !...nm !

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分给 m 个人, 物件必须被分完,分别得到 n1 , n2 ,…, nm 件,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、 b、c、…个相等,则其分配方法数有 N =

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分为任意的 n1 , =

nm n n C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ? m!

n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数 p! 有N = . n1!n2!...nm! (6) (非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,…, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等, p! 则其分配方法数有 N = . n1!n2!...nm !(a!b!c!...) (7) (限定分组有归属问题)将相异的 p p = n1 +n2 + ? +nm ) ( 个物体分给甲、 丙, 乙、 ……
等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,…时,则无论 n1 ,

n2 ,…, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
n n nm N = C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm =

p! . n1!n2!...nm!

159. “错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

1 1 1 1 ? + ? ? + (?1)n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) = n ![
1 2 3 4 f (n, m) = n !? Cm (n ? 1)!+ Cm (n ? 2)!? Cm (n ? 3)!+ Cm (n ? 4)! p m ? ? + (?1) p Cm (n ? p)!+ ? + (?1)m Cm (n ? m)!
1 2 3 4 Cm C m C m Cm Cp Cm + 2 ? 2 + 4 ? ? + (?1) p m + ? + (?1) m m ] . 1 An An An An Anp Anm

= n ![1 ?

160.不定方程 x1 +x2 + ? +xn = m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 + ? +xn = m ( n, m ∈ N )的正整数解有 C m?1 个. (2) 方程 x1 +x2 + ? +xn = m ( n, m ∈ N ? )的非负整数解有 C n+m?1 个. (3) 方程 x1 +x2 + ? +xn = m ( n, m ∈ N ? )满足条件 xi ≥ k ( k ∈ N , 2 ≤ i ≤ n ? 1 ) 的非负整数解有 C m+1 ? ( n ? 2)( k ?1) 个. (4) 方程 x1 +x2 + ? +xn = m ( n, m ∈ N ? )满足条件 xi ≤ k ( k ∈ N , 2 ≤ i ≤ n ? 1 )
n? n? n? 的正整数解有 C nn+?1?1 ? C 1?2 C m+n1?k ?2 + C n2?2 C m+n1?2 k ?3 ? ? + (?1) n ? 2 C nn?? 2C m+11( n?2) k 个. m n 2 ?
? ?

?

n ?1

n ?1

n ?1

161.二项式定理
0 1 2 r n (a + b) n = C n a n + C n a n ?1b + C n a n ? 2 b 2 + ? + C n a n ? r b r + ? + C n b n ;

二项展开式的通项公式
r Tr +1 = C n a n ? r b r (r = 0,2 ?,n) . 1,

162.等可能性事件的概率

P ( A) =

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率

Pn (k ) = Cnk P k (1 ? P ) n ? k .
168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ≥ 0(i = 1, 2,?) ; (2) P + P2 + ? = 1 . 1 169.数学期望

Eξ = x1 P + x2 P2 + ? + xn Pn + ? 1
170.数学期望的性质 (1) E ( aξ + b) = aE (ξ ) + b . (2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Eξ = np .

(3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ = k ) = g (k , p ) = q 171.方差

k ?1

p ,则 Eξ =
2

1 . p

Dξ = ( x1 ? Eξ ) ? p1 + ( x2 ? Eξ ) ? p2 + ? + ( xn ? Eξ ) ? pn + ?
2 2

172.标准差

σξ = Dξ .
173.方差的性质 (1) D ( aξ + b ) = a Dξ ;
2

(2)若 ξ ~ B ( n, p ) ,则 Dξ = np (1 ? p ) .
(3) 若 ξ 服从几何分布,且 P (ξ

= k ) = g (k , p ) = q k ?1 p ,则 Dξ =

q . p2

174.方差与期望的关系

Dξ = Eξ 2 ? ( Eξ ) .
2

175.正态分布密度函数
? 1 f ( x) = e 2π 6

( x ? ? )2
262

, x ∈ ( ?∞, +∞ ) ,式中的实数μ, σ ( σ >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ( x) = e 2 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) . 2π 6 177.对于 N ( ? , σ 2 ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ( x) = Φ ? ?. ? σ ? P ( x1 < x0 < x 2 ) = P ( x < x 2 ) ? P ( x < x1 )
2

= F ( x2 ) ? F ( x1 )

? x ?? ? ? x1 ? ? ? = Φ? 2 ??Φ? ?. ? σ ? ? σ ?
178.回归直线方程
n ? ∑ ( xi ? x )( yi ? y ) ? i =1 = n ? = a + bx ,其中 ?b = 2 y ? ∑ ( xi ? x ) ? i =1 ? ?a = y ? bx

∑ x y ? nx y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

2

i

? nx 2

.

179.相关系数

r=

∑ ( xi ? x )( yi ? y )
i =1

n

∑ (x ? x ) ∑ ( y ? y )
2 i =1 i i =1 i

n

n

=
2

∑ ( x ? x )( y ? y )
i =1 i i

n

.
n 2 2 2 i =1

(∑ xi ? nx )(∑ yi ? ny )
2 i =1

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0 ? (1) lim q = ?1 n →∞ ? ?不存在
n

| q |< 1 q =1 | q |< 1或q = ?1
(k < t ) (k = t ) . (k > t )
.

?0 ? ak n k + ak ?1n k ?1 + ? + a0 ? at (2) lim =? n →∞ b n t + b n t ?1 + ? + b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S = lim

a1 1 ? q n 1? q
x → x0

(

n →∞

)=

a1 1? q

( S 无穷等比数列

{a q }
n ?1 1

( | q |< 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x → x0

lim f ( x) = a ? lim? f ( x) = lim+ f ( x) = a .
x → x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) ; (2) lim g ( x) = a, lim h( x) = a (常数),
x → x0 x → x0

则 lim f ( x) = a .
x → x0

本定理对于单侧极限和 x → ∞ 的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1 = 0 , lim a n = 0 ( | a |< 1 ) ; n →∞ n 1 1 (2) lim x = x0 , lim = . x → x0 x → x0 x x0
(1) lim
n →∞

184.两个重要的极限 (1) lim

sin x =1; x →0 x
x

? 1? (2) lim ? 1 + ? = e (e=2.718281845…). x →∞ ? x?
185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) = a , lim g ( x) = b ,则
x → x0 x → x0

(1) lim ? f ( x ) ± g ( x ) ? = a ± b ; ? ?
x → x0 x → x0

(2) lim ? f ( x ) ? g ( x ) ? = a ? b ; ? ? (3) lim

x → x0

g ( x)

f ( x)

=

a (b ≠ 0) . b

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an = a, lim bn = b ,则 (1) lim ( an ± bn ) = a ± b ; (2) lim ( an ? bn ) = a ? b ;
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞

(3) lim

(4) lim ( c ? an ) = lim c ? lim an = c ? a ( c 是常数).
n →∞ n →∞ n →∞

an a = (b ≠ 0) n →∞ b b n

187. f (x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ′( x0 ) = y′
188.瞬时速度

x = x0

= lim

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x → 0 ?x ?x → 0 ?x

υ = s′(t ) = lim
a = v′(t ) = lim

?s s (t + ?t ) ? s (t ) = lim . ?t → 0 ?t ?t → 0 ?t

189.瞬时加速度

?v v(t + ?t ) ? v(t ) = lim . ?t →0 ?t ?t →0 ?t 190. f (x ) 在 (a, b) 的导数 dy df ?y f ( x + ?x) ? f ( x) f ′( x) = y′ = = = lim = lim . dx dx ?x →0 ?x ?x →0 ?x 191. 函数 y = f (x ) 在点 x0 处的导数的几何意义

函 数 y = f (x ) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y = f (x ) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ′( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 = f ′( x0 )( x ? x0 ) .
192.几种常见函数的导数 (1) C ′ = 0 (C 为常数). (2) ( xn ) = nx
'

(3) (4) (5)

(6) 193.导数的运算法则

(n ∈ Q) . (sin x)′ = cos x . (cos x)′ = ? sin x . 1 1 e (ln x)′ = ; (log a x )′ = log a . x x x x x x (e )′ = e ; (a )′ = a ln a .

n ?1

(1) (u ± v) ' = u ' ± v ' . (2) (uv ) ' = u 'v + uv ' . (3) ( ) =
'

u v

u 'v ? uv ' (v ≠ 0) . v2
' '

194.复合函数的求导法则 设函数 u = ? ( x ) 在点 x 处有导数 u x = ? ( x ) ,函数 y = f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有 导 数 yu = f (u ) , 则 复 合 函 数 y = f (? ( x )) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 y x = yu ? u x , 或 写 作
' ' ' ' '

f x' (? ( x)) = f ' (u )? ' ( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充小时)

1 n 1 x ; 1+ x ≈1+ x ; 2 n 1 (2) (1 + x)α ≈ 1 + α x (α ∈ R ) ; ≈ 1? x ; 1+ x x (3) e ≈ 1 + x ;
(1) 1 + x ≈ 1 +

(4) ln (1 + x) ≈ x ; (5) sin x ≈ x ( x 为弧度) ; (6) tan x ≈ x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ≈ x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) > 0 ,右侧 f ′( x ) < 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ′( x ) < 0 ,右侧 f ′( x ) > 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等

a + bi = c + di ? a = c, b = d .( a , b, c, d ∈ R ) 198.复数 z = a + bi 的模(或绝对值) | z | = | a + bi | = a 2 + b 2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a + bi ) + (c + di ) = ( a + c ) + (b + d )i ; (2) (a + bi ) ? (c + di ) = ( a ? c ) + (b ? d )i ; (3) ( a + bi )(c + di ) = ( ac ? bd ) + (bc + ad )i ; (4) ( a + bi ) ÷ (c + di ) =

ac + bd bc ? ad + i (c + di ≠ 0) . c2 + d 2 c2 + d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ∈ C ,有 交换律: z1 ? z2 = z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 = z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 + z3 ) = z1 ? z2 + z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d =| z1 ? z2 |= ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 = a + bi , z2 = c + di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 ,则

OZ1 ⊥ OZ 2 ? z1 ? z2 的实部为零 ?

z2 2 2 2 为纯虚数 ? | z1 + z2 | =| z1 | + | z2 | z1

? | z1 ? z2 |2 =| z1 |2 + | z2 |2 ? | z1 + z2 |=| z1 ? z2 | ? ac + bd = 0 ? z1 = λ iz2 (λ为非
零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax + bx + c = 0 ,
2

①若 ? = b ? 4ac > 0 ,则 x1,2 =
2

?b ± b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? = b ? 4ac = 0 ,则 x1 = x2 = ? ; 2a 2 ③若 ? = b ? 4ac < 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭
?b ± ?(b 2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac < 0) . 2a

复数根 x =


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