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第七章第2讲空间几何体的表面积与体积


第 2 讲 空间几何体的表面积与体积

,[学生用书 P128])

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆 柱 侧面 展开图 侧面 S 圆柱侧=2π rl 积公式 2.空间几何体的表面积与体积公式 名 称 几何体 柱 体 (棱柱和圆柱) 锥 体 (棱锥和圆锥) 台 体 (棱台和圆台) 球 S 圆锥侧=π rl S 圆台侧 =π (r+r′)l 圆 锥 圆 台

表面积 S 表面积=S 侧+2S 底 S 表面积=S 侧+S 底 S 表面积=S 侧 +S 上+S 下 S=4π R2

体 积 V=S 底 h 1 V= S 底 h 3 1 V= (S 上+S 下 3 + S上S下)h 4 V= π R3 3

1.辨明两个易误点 (1)求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理. (2)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错. 2.求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更 容易,或是求出一些体积比等. (3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可 计算体积的几何体. 3.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R, ①若球为正方体的外接球,则 2R= 3a;

②若球为正方体的内切球,则 2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a. (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为 a, b, c, 外接球的半径为 R, 则 2R= a2+b2+c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. 1.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如 果直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为( )

A.1 1 C. 3

1 B. 2 1 D. 6

1 1 1 1 解析:选 D.由三视图可知,该几何体为三棱锥,V= Sh= × ×1×1×1= ,故选 D. 3 3 2 6 2.

(2015· 高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.3π B.4π C.2π +4 D.3π +4 解析:选 D.

)

由几何体的三视图可知,该几何体为半圆柱,直观图如图所示. 1 表面积为 2×2+2× ×π×12+π×1×2=4+3π. 2 3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.6 B.3 3 C.2 3 D.3 解析:选 B.由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是 底边为 2,高为 3的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故 h=3,所以该几何体的体积 V

1 ? =S· h=? ?2×2× 3?×3=3 3. 4.(必修 2P36 复习参考题 A 组 T10 改编)直角三角形三边长分别是 3 cm、4 cm、5 cm, 绕两直角边旋转一周分别形成两个几何体,则其侧面积分别为________、________. 答案:20π cm2 15π cm2 5.(必修 2P28 练习 T2 改编)一个棱长为 2 cm 的正方体的顶点都在球面上,则球的体积 为________cm3. 1 解析:由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径,所以其外接球的半径 r= ×2 3 2 = 3(cm), 4 4 所以 V 球= π×r3= π×3 3=4 3π(cm3). 3 3 答案:4 3π

考点一 空间几何体的表面积[学生用书 P129] (1)(2016· 高考全国卷Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 28π 圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是( ) 3

A.17π B.18π C.20π D.28π (2)(2015· 高考福建卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(

)

A.8+2 2 C.14+2 2

B.11+2 2 D.15

1 [解析] (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉 后剩下的几何体,设球的半径为 r, 8 7 4 3 28 7 3 故 × πr = π,所以 r=2,表面积 S= ×4πr2+ πr2=17π,选 A. 8 3 3 8 4 (2)由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.

直角梯形斜腰长为 12+12= 2,所以底面周长为 4+ 2,侧面积为 2×(4+ 2)=8+ 1 2 2,两底面的面积和为 2× ×1×(1+2)=3,所以该几何体的表面积为 8+2 2+3=11+ 2 2 2. [答案] (1)A (2)B

空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之 间的位置关系及数量关系. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积问题注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 1.(1)(2016· 长春调研)某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( )

1+ 5 A.2+ π 2

(

1 +2 5 B.2+ π 2 2+ 5 C.2+(1+ 5)π D.2+ π 2 (2)(2016· 河北省衡水中学模拟 ) 如图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于 )

A.34+6 5 B.6+6 5+4 3 C.6+6 5+4 13 D.17+6 5 解析:(1)选 A.由几何体的三视图可知,该几何体是一个沿旋转轴作截面,截取的半个 圆锥,底面半径是 1,高是 2,所以母线长为 5,所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧

1+ 5 1 1 1 面积的一半以及截面三角形的面积的和,即 π+ π× 5+ ×2×2=2+ π. 2 2 2 2 (2)

选 A.由三视图得该几何体的直观图如图,其中,ABCD 为矩形,AD=6,AB=2,平面 PAD⊥平面 ABCD,△PAD 为等腰三角形,且此四棱锥的高为 4,故该几何体的表面积等于 1 1 1 6×2+2× ×2×5+ ×6×2 5+ ×6×4=34+6 5. 2 2 2

考点二 空间几何体的体积(高频考点)[学生用书 P129] 空间几何体的体积是每年高考的热点,考查时多与三视图结合考查,题型既有选择题、 填空题,也有解答题,难度偏小,属于容易题. 高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度: (1)求简单几何体的体积; (2)求组合体的体积; (3)求以三视图为背景的几何体的体积. (1)(2016· 高考山东卷 )一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所 示.则该几何体的体积为( )

1 2 1 2 A. + π B. + π 3 3 3 3 1 2 2 C. + π D.1+ π 3 6 6 (2) (2015· 高考全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后, 剩余部分的三视图如图, 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

1 A. 8 1 C. 6

1 B. 7 1 D. 5

1 [解析] (1)由三视图可知, 四棱锥的底面是边长为 1 的正方形, 高为 1, 其体积 V1= × 3 4 π 1 2 1 1 4π 12×1= .设半球的半径为 R, 则 2R= 2, 即 R= , 所以半球的体积 V2= × R3= × 3 2 2 3 2 3 3 2 1 2 2 ×? ? = π.故该几何体的体积 V=V1+V2= + π.故选 C. 3 6 ?2? 6 (2) 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分,如图 1 1 所示,截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为 1,则三棱锥的体积为 V1= × ×1×1 3 2 1 1 5 ×1= ,剩余部分的体积 V2=13- = . 6 6 6

1 V1 6 1 所以 = = . V2 5 5 6 [答案] (1)C (2)D

求空间几何体体积的解题策略 (1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求 解. (2)求组合体的体积.若所给的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用 转换法、分割法、补形法等进行求解. (3)求以三视图为背景的几何体的体积,应先根据三视图得到几何体的直观图,然 后根据条件求解. 2.(1)(2016· 唐山第一次模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为( )

2π A. 3

4π B. 3

2π 4π C.8- D.8- 3 3 (2)(2016· 昆明统考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于________.

解析:(1)由三视图知原几何体是棱长为 2 的正方体中挖掉一个圆锥,所以 V=V 正方体- 2π 1 V 圆锥=2×2×2- ×(π×12)×2=8- . 3 3 (2)由题知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体,其中直三棱柱的底 面为侧视图,高为 8-4=4,故 V 直三棱柱=8×4=32,四棱锥的底面为边长为 4 的正方形,高 1 64 64 160 为 4,故 V 四棱锥= ×16×4= ,故该几何体的体积 V=V 直三棱柱+V 四棱锥 =32+ = . 3 3 3 3 160 答案:(1)C (2) 3 考点三 球与空间几何体的接、切问题[学生用书 P130] (2016· 沈阳模拟)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上, 若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为( ) 3 17 A. B.2 10 2 13 C. D.3 10 2 [解析]

如图所示,由球心作平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 的中点 M. 1 5 1 又 AM= BC= ,OM= AA1=6, 2 2 2 2 ?5? +62=13. 所以球 O 的半径 R=OA= ?2? 2 [答案] C 本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体”,则此正方体外接球和内 切球的体积各是多少? 解:由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内 切球的直径.设该正方体外接球的半径为 R,内切球的半径为 r. 又正方体的棱长为 4,故其体对角线长为 4 3, 4 4 从而 V 外接球= πR3= π(2 3)3=32 3π. 3 3 32π 4 4 V 内切球= πr3= π×23= . 3 3 3

空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题 转化为平面图形与圆的接、切 问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a, PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用 4R2=a2+b2+c2 求 解. 3.(2016· 唐山统一考试)如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的六个顶点都在半径 为 1 的半球面上,AB=AC,侧面 BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形,则侧面 ABB1A1 的面 积为( )

A.2 C. 2

B.1 D.

2 2 解析: 选 C.由题意知, 球心在侧面 BCC1B1 的中心 O 上, BC 为截面圆的直径, 所以∠BAC =90°, △ABC 的外接圆圆心 N 位于 BC 的中点, 同理△A1B1C1 的外心 M 是 B1C1 的中点. 设 x x 正方形 BCC1B1 边长为 x,在 Rt△OMC1 中,OM= ,MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径), 2 2 x ?2 ? x ?2 所以? ?2? +?2? =1,即 x= 2,则 AB=AC=1,所以 S 矩形 ABB1A1= 2×1= 2.

,[学生用书 P131]) 方法思想——求空间几何体体积的问题

(2016· 唐山模拟)如图,△ABC 中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面 ABC, 且 AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,则此几何体的体积为________.

[解析] 法一:

如图,取 CM=AN=BD,连接 DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个 直三棱柱和一个四棱锥. 所以 V 几何体=V 三棱柱+V 四棱锥. 1 由题知三棱柱 ABCNDM 的体积为 V1= ×8×6×3=72. 2 四棱锥 DMNEF 的体积为

1 1 1 V2= S 梯形 MNEF·DN= × ×(1+2)×6×8=24, 3 3 2 则几何体的体积为 V=V1+V2=72+24=96. 法二:用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使 AA′=BB′=CC′=8,所以 V 1 1 1 体= V 三棱柱= ×S△ABC·AA′= ×24×8=96. 2 2 2

几何

[答案] 96 本题给出两种求体积的方法.当一个几何体的形状不规则时,常通过分 割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.经 常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体,将三棱柱还原为平行六面体,将台体还原为锥体. (2014· 高考重庆卷 ) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A.12 B.18 C.24 D.30 解析:选 C.由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形,由正视图和侧视图可以 判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原,如 图(1)所示,故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中,V 棱柱 ABCA1B1C1=S△ABC·AA1 1 1 1 1 = ×4×3×5=30,V 棱锥 PA1B1C1= S△A1B1C1·PB1= × ×4×3×3=6. 2 3 3 2 故几何体 ABCPA1C1 的体积为 30-6=24.故选 C.

1.(2016· 长春调研)一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图 是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为( ) 3 A. π B.2π 2 C.3π D.4π 1? 1 解析: 选 A.依题意知, 该几何体是一个底面半径为 、 高为 1 的圆柱, 其表面积为 2π? ?2? 2 2 1 3 +2π× ×1= π. 2 2 2.如图所示,已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱 锥 B1?ABC1 的体积为( )

3 3 B. 12 4 6 6 C. D. 12 4 解析:选 A.三棱锥 B1?ABC1 的体积等于三棱锥 AB1BC1 的体积,三棱锥 AB1BC1 的高 3 1 1 1 3 3 为 ,底面积为 ,故其体积为 × × = . 2 2 3 2 2 12 3.(2016· 合肥模拟)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.

A.12+4 2 B.18+8 2 C.28 D.20+8 2 解析:选 D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图.

1 则该几何体的表面积为 S=2× ×2×2+4×2×2+2 2×4=20+8 2,故选 D. 2 4.(2015· 高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

1 2 A. +π B. +π 3 3 1 2 C. +2π D. +2π 3 3 解析:选 A.由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图中数据 1 1 1 1 可得三棱锥的体积 V1= × ×2×1×1= ,半圆柱的体积 V2= ×π×12×2=π,所以 V 3 2 3 2 1 = +π. 3 5. (2016· 成都模拟)已知某几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为 92, 则 a=( )

5 A. B.3 2 7 C. D.4 2 解析:选 C.由三视图可知此几何体是一个底面边长分别为 a+2 和 3,高为 6 的长方体 截去一个三棱锥, 且截去的三棱锥的三条侧棱长分别为 3,4,a,故该几何体的体积为 6×(a 1 1 7 +2)×3- ×3× ×4×a=92,解得 a= . 3 2 2 6.(2016· 广州市综合测试(一))一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有 棱的长都为 1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( ) 20 5π A.20π B. 3 5 5π C.5π D. 6 解析:选 D.由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径 r=1,其高 h=1,所以球半 h?2 5 5π 1 5 4 5 3 4 5 径为 R= r2+? π= . ?2? = 1+4= 4,所以该球的体积 V=3πR =3×4 4 6 7.(2016· 福州模拟)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,且该六棱柱的 9 体积为 ,底面周长为 3,则棱柱的高 h=________. 8 1 3 3 解析:因为底面周长为 3,所以正六边形的边长为 ,则正六边形的面积为 . 2 8 9 3 3 9 又因为六棱柱的体积为 ,即 h= , 8 8 8 所以 h= 3. 答案: 3 8.(2015· 高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 3 ________m .

解析: 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成, 其中圆锥的底面半 径和高均为 1,圆柱的底面半径为 1 且其高为 2,故所求几何体的体积为 1 8 V= π×12×1×2+π×12×2= π. 3 3 8 答案: π 3 9.

如图, 在三棱柱 A1B1C1?ABC 中, D, E, F 分别是 AB, AC, AA1 的中点. 设三棱锥 FADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1?ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2=________. 解析:设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S,高为 h,则其体积为 V2=Sh.因为 D,E 分别 1 为 AB,AC 的中点,所以△ADE 的面积等于 S.又因为 F 为 AA1 的中点,所以三棱锥 FADE 4 1 1 1 1 1 1 的高等于 h,于是三棱锥 FADE 的体积 V1= × S· h= Sh= V2,故 V1∶V2=1∶24. 2 3 4 2 24 24 答案:1∶24 10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形 的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆 中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆 口面积;②一尺等于十寸) 解析:圆台的轴截面是下底长为 12 寸,上底长为 28 寸,高为 18 寸的等腰梯形,雨水 线恰为中位线,故雨水线直径是 20 寸, π (102+10×6+62)×9 3 所以降水量为 =3(寸). π×142 答案:3 11.

(2016· 杭州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5, CD=2 2,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积. 解:由已知得:CE=2,DE=2,CB=5,S 表面=S 圆台侧+S 圆台下底+S 圆锥侧=π(2+5)×5 1 +π×25+π×2×2 2=(60+4 2)π, V=V 圆台-V 圆锥= (π· 22+π· 52+ 22·52π2)×4 3 1 148 - π×22×2= π. 3 3 12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为 1 的平行四边形,侧视图是 一个长为 3、宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的表面积 S.

解: (1)由三视图可知, 该几何体是一个平行六面体(如图), 其底面是边长为 1 的正方形, 高为 3. 所以 V=1×1× 3= 3. (2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面 ABCD,CD⊥平面 BCC1B1,所以 AA1 =2,侧面 ABB1A1,CDD1C1 均为矩形,故 S=2×(1×1+1× 3+1×2)=6+2 3.

1.(2015· 高考全国卷Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面 上的动点.若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析:选 C.

1 如图,设球的半径为 R,因为 ∠AOB=90°,所以 S△AOB= R2. 2 因为 VO ? ABC=VC?AOB,而△AOB 面积为定值, 所以当点 C 到平面 AOB 的距离最大时,VO ? ABC 最大, 所以当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时,体积 VO
?

ABC

1 1 最大为 × R2×R 3 2

=36, 所以 R=6,所以球 O 的表面积为 4πR2=4π×62=144π.故选 C. 2 .若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为 1 ,则圆锥的体积为 ________. 解析:过圆锥的旋转轴作轴截面,得△ABC 及其内切圆⊙O1 和外接圆⊙O2,且两圆同 圆心,即△ABC 的内心与外心重合,易得△ABC 为正三角形,由题意知⊙O1 的半径为 r=1, 1 △ABC 的边长为 2 3,从而可求得该圆锥的底面半径为 3,高为 3.故所求体积为 V= ×π 3 ×3×3=3π. 答案:3π 3.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):

(1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积. 解:(1)直观图如图所示.

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱,且该几何体的体积是以 A1A, 3 A1D1,A1B1 为棱的长方体的体积的 , 4 在直角梯形 AA1B1B 中,作 BE⊥A1B1 于 E,

则四边形 AA1EB 是正方形, AA1=BE=1, 在 Rt△BEB1 中,BE=1,EB1=1, 所以 BB1= 2, 所以几何体的表面积 S=S 正方形 ABCD+S 矩形 A1B1C1D1+2S 梯形 AA1B1B+S 矩形 BB1C1C+S 正方形 AA1D1D 1 =1+2×1+2× ×(1+2)×1+1× 2+1 2 2 =(7+ 2)(m ). 3 3 几何体的体积 V= ×1×2×1= (m3). 4 2 3 所以该几何体的表面积为(7+ 2)m2,体积为 m3. 2 4.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,将 △ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 DABC,如图 2 所示.

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 DABC 的体积. 解:(1)证明:

在题图 1 中,可得 AC=BC=2 2, 从而 AC2+BC2=AB2, 故 AC⊥BC, 取 AC 的中点 O,连接 DO, 则 DO⊥AC,

又平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC, DO?平面 ADC, 从而 DO⊥平面 ABC, 所以 DO⊥BC, 又 AC⊥BC,AC∩DO=O, 所以 BC⊥平面 ACD. (2)由(1)可知,BC 为三棱锥 BACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2. 所以 VD?ABC=VB?ACD 1 = S△ACD· BC 3 1 = ×2×2 2 3 4 2 = . 3


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