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在空间中到两异面直线距离相等的点的集合


2004 年第 5 期               学 通 讯 数

11

谈谈到两异面直线距离相等的点的集合
翁玉中
( 前黄高级中学 ,江苏   213172)

中图分类号 :O123 - 42      文献标识 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2004) 5 - 0011 - 02    在空间到两条平行直线等距离的点的集合是一 个平面 ; 在空间到两条相交直线等距离的点的集合 是两个互相垂直的平面 , 但是在空间到两条异面直 线等距离的点的集合是什么呢 ? 本文特对此进行一 番探究 ,供大家欣赏 . 我们先证明以下引理 .
O ,则平面 α到直线 l 1 , l 2 的距离的平方差为定值 d

则 l 1 ∥l′( 或 l 1 与 l′ 重合) ; l 2 ∥l′( 或 l 2 与 1 1 2
l′ 重合) , P 为平面α内一点 , PP1 ⊥l 1 于 P1 , PP2 2

⊥l 2 于 P2 ,| PP1 | = | PP2 | , P1 , P2 在 а 内的射影 分别 为 P′ , P′ , 它 们 分 别 在 l′ 和 l′ 上 , 则 有 1 2 1 2
PP′ ⊥ l′ , PP′ ⊥ l′ , 1 1 2 2 P1 P′ ⊥ PP′ , P2 P′ ⊥ 1 1 2 PP′. 2

( d > 0) 的动点的轨迹为等轴双曲线 , 且以直线 l 1 ,
l 2 相交所成角的平分线为渐近线 .

为原点 ,以直线 l 2 到直线 l 1 的角的平分线为 x 轴 , 以直线 l 1 到直线 l 2 的角的平分线为 y 轴 , 则直线
l 1 , l 2 分别位于第一 、 三象限及第二 、 四象限 ,则设直

线 l 1 的 方 程 为 y = kx , 则 直 线 l 2 的 方 程 为 y =
- kx ( k > 0 ) , 则 p ( x , y ) 到 直 线 l 1 的 距 离 为 | kx - y | 1+ k
2

P ( x , y ) 到直线 l 1 , l 2 距离的平方差为定值 d ( d >

0) ,则有

的轨迹为位于第二 、 四象限 ,以坐标轴 ( 即直线 l 1 , l 2 相交后所成角的平分线 ) 为渐近线的等轴双曲线 . 集合 . 下面我们研究空间到两异面直线等距离的点的 设直线 l 1 , l 2 为两异面直线 , A B ⊥l 1 于 A , A B ⊥l 2 于 B ,且| A B | = 2 l , O 为 A B 的中点 . 为 l′ , l′ , 1 2 设直线 A B ⊥ 平面 α, l 1 , l 2 在 α 内的射影分别

引理  设直线 l 1 , l 2 < 平面 α, 直线 l 1 ∩l 2 =
,到 直 线 l 2 的 距 离 为 | kx + y | 1+ k
2

1) ( 如图 1) 若平面

α 与直线 A B 的 交 点 恰 为线段 A B 的中点 O ,则 易知| P1 P′| = | P2 P′| . 1 2 若| PP1 | = | PP2 | , 则在 Rt △PP1 P′ 及 1
Rt △PP2 P′ 中 易 知 2
图1

证  建立如下直角坐标系 : 以 l 1 与 l 2 交点 O

| PP′| = PP′| , 即 P 到直线 l′ , l′ 等距 , 由此可 1 2 1 2

知平面 α内到 l 1 , l 2 等距的点应在 l′ , l′ 所成角的 1 2 平分钱上 ; 反之 ,由上述过程可知凡是 l′ , l′ 相交所成角 1 2 的平分线上的点到直线 l 1 , l 2 也等距 . 综上所述 : 此时在平面 a 内到两异面直线 l 1 , l 2 等距的点的集合为两条相交直线 , 它们分别为直线
l′ , l′ 相交后所成角的平分线 . 1 2

,而动点

| kx - y | 1+ k

2

2

-

| kx + y | 1+ k

2

2

= d,

2 d (1 + k ) 化简得   xy = , 由此可知动点 P 4k

2) ( 如图 2) 若平面 α与直线 A B 的交点 O′ 在射

线 OA 上 . 设| OO′ = a ( a > 0) ,则 | P1 P′| = | l - a| ( 若 | 1
O′ 在线段 OA 上 , 则 | P1 P′| = l - a , 否则 | P1 P′| 1 1

= a - l ,| P2 P′| = l + a ,从而知 2 | P1 P′| < | P2 P′| . 1 2

故若| PP1 | = | PP2 | ,则有| PP′| > | PP′| , 1 2 所以有 | PP′| 1
a) = 4 la ;
2 2

- | PP′ | 2

′ 2

2 = ( l + a) - ( l -

收稿日期 :2003 - 12 - 15 ) 作者简介 : 翁玉中 ( 1962 — ,男 ,江苏武进人 ,江苏前黄高级中学高级教师 ,学士 .

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反之 ,平面 α 内 满 足 | PP′| 1
2 2

数 学 通 讯               2004 年第 5 期 线 l 1 在平面 α 内 的 射影直线 l′ 总是相 1 互平行且共面 ( 所 共 平面必过直线 A B ) , 直线 l 2 在平面 α 内 的射影直线 l′ 也必 2 互相平行且共面 ( 所 共平面必过直线 A B ) , 所以 在 各 α 面
图2

-

| PP′| = 4 la 的点 P 2

也必须满足 | PP1 | =
| PP2 | . 所 以 由 引 理

知 :平面 α 内 到 两 异 面直线 l 1 , l 2 等距离 的点 P 的 集 合 为 等 轴双曲 线 , 其 渐 近 线 为直线 l′ 与直线 l′ 1 2 相交所成角的平分线 . 若在平面 α 内建立直角坐标系 : 以直线 l′ 到 2 直线 l′ 的角的平分线为 x 轴 、 直线 l′ 到直线 l′ 1 1 2 的角的平分线为 y 轴 . 则在平面 α 内到直线 l 1 , l 2 的等距离的点 P 在此直角坐标系内的轨迹方程为
xy = -

内的 x 轴 、 轴 必 分 y 别互相平行共面 ( 所共面必过直线 A B ) ) . 如果在空间建立空间直线坐标系 : 在上述情况 中过两异面直线 l 1 , l 2 公垂线段 A B 中点 O 的α平 面内的 x 轴为 x 轴 , y 轴为 y 轴 , 以异面直线 l 1 , l 2 的公垂线 A B 为 z 轴 ( OA 方向为正向) . 设在 xoy 平面上方到直线 l 1 , l 2 等距离的点 P 坐标为 ( x , y , z ) ,则 z > 0. 由上述情况 ( 2) 不难知在 使 z = a ( a > 0) 且垂直于 z 轴的平面内到两异面直 线 l 1 , l 2 等距离的点 P ( x , y , z ) 应满足
xy = 2 lz (1 + k ) ,z = a; k

图3

θ la (1 + k ) (θ为直线 l′ 到 ,其中 k = tan 2 k 2
2

直线 l′ 的角) . 此等轴双曲线位于第二 、 四象限内 , 1 且以两坐标轴为渐近线 . 并且根据上述双曲线方程可知 : 随着平面 α 向 上平移 ,相应的双曲线的实轴也越来越长 ,但渐近线 始终平行 ,且双曲线开口方向相同 .
3) ( 如图 3) 若平面 α与直线 A B 的交点 O′ 位

在 xoy 平面 ( 即 z = 0) 中到两异面直线 l 1 , l 2 等 距离的点 P ( x , y , z ) 应满足 xy = 0 , z = 0 ; 在 xoy 平 面下方到两异面直线 l 1 , l 2 等距离的点 P 坐标为 P
( x , y , z ) 则 z < 0. 由上述情况 ( 3 ) 知在使 z = - a ( a > 0) 且垂直于 z 轴的平面内到两异面直线 l 1 , l 2
2 lz ( 1 + k ) , k

于射 线 OB 上 ,设| OO′ = a ( a > 0 ) ,则 | P1 P′| = | 1
l + a ,否则| P2 P′| = | l - a | ( 若 O′ 在线段 OB 上 , 2

| P2 P′| = l - a , 否 则 P2 P′ = a - l ) , 从 而 知 2 2 | P1 P′| > | P2 P′| 1 2

等距离的点 P ( , x , y , z ) 应满足 xy = 2 2 = ( l + a) - ( l - a) = 4 la ; 2

故若| PP1 | = | PP2 | , 则有 | PP′| < | PP′| , 且 1 2
| PP′| 2
2

- | PP′| 1

2

z = a . 综上所述 : 在空间 , 若点 P 到直线 l 1 , l 2 等距

反之 ,平面 α 内满足 | PP′| 2

- | PP′| 1

2

= 4 la

离 ,则 P ( x , y , z ) 均应满足 xy = 中 k = tan

2 l (1 + k ) ? ,其 z k

的点 P 也必须满足 | PP1 | = | PP2 | . 所以由引理知 : 在平面 α内到两异面直线 l 1 , l 2 等距离的点 P 构成的集合为一等轴双曲线 ,其渐近 线为直线 l′ 与直线 l′ 相交所成角的平分线 . 1 2 若在平面 α 内建立直角坐标系 : 以直线 l′ 到 2 直线 l′ 的角的平分线为 x 轴 ,以 l′ 到 l′ 的角平 1 1 2 分线为 y 轴 ,则在平面 α内的 P 点在此直角坐标系 2 θ la ( 1 + k ) (θ 中的轨迹方程为 xy = ,其中 k = tan k 2 为直线 l′ 到直线 l′ 的角 ) . 由此可知随着平面 α 2 1 向下平移 ,相应的双曲线的实轴也越来越长 ,但渐近 线始终平行 ,且双曲线开口方向相同 ,不过此时双曲 线的开口方向与情况 (2) 中双曲线的开口方向不同 . 由上述推导过程可知 : 当平面 α变化位置时 ,直

θ (θ为直线 l′ 到直线 l′ 的角) . 而方程 2 1 2 2 l (1 + k ) xy = ? 所反 z
K

映的点集为 一双曲抛物 面 ,所以我们可有如下结 论: 在空 间 到 两 异 面 直 线等距离的点的集合为 双曲抛物面 ( 也称为马鞍 面) . ( 大致形状如图 4) 希望通过上述讨论能使大家对到两异面直线等 距离的点有进一步的认识 , 同时使大家对到两直线 等距离的点构成的集合有一个完整的 、 系统的了解 .
图4


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