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高一数学必修1总复习课件1 - 副本


第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用

一、知识结构
集合

含义与表示

基本关系

基本运算

列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集

交集 补集

一、集合的含义与表示
(一)集合的含义 1、集合:把研究对象称为元素,把一些元素组成的
总体叫做集合

2、元素与集合的关系: ? 或 ? 3、元素的特性:确定性、互异性、无序性

4、常用数集:N 、N、Z、Q、R

?

(二)集合的表示 1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,并
放在{ }内

2、描述法:用文字或公式等描述出元素的特性,
并放在{x| }内

3.图示法 Venn图,数轴

二、集合间的基本关系
1、子集:对于两个集合A,B如果集合A中的任何
一个元素都是集合B的元素,我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个,则其子集个数为 真子集个数为

2n

2n-1 非空真子集个数为 2n-2

2、集合相等: A ? B, B ? A ? A ? B 3、空集:规定空集是任何集合的子集,是任
何非空集合的真子集

三、集合的并集、交集、全集、补集
1、A ? B ? {x | x ? A或x ? B}
2、A ? B ? {x | x ? A且x ? B}
A B

3、CU A ? {x | x ? U且x ? A}

全集:某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素,用U表示

题型示例
考查集合的含义

例1 已知x ?{1, 2, x }, 则x ? 0或2
2

例2

A? y y ? x ,B ? x y ? x ,
2 2

?

?

?

?

求A ? B.

? A ? [0, ??), B ? R, ? A ? B ? [0, ??).

考查集合之间的关系
例3 设A ? ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0? , B ? ? x | mx ? 1 ? 0? , 且A ? B ? A, 求m的值的集合.
解: A?? A? ?B A?2, ?3? ,由A ? B ? A得B ? A
?m A? B B ? ?, 符合题意; ?当 ?B0? 时,

? 1? 当m ? 0时,B ? ? ? ? ,? B ? A ? m? 1 1 1 1 ? ? ? 2, 则m ? ? ;或- ? ?3, m ? . m 2 m 3 1 1 ? m ? 0, 或 ? , 或 2 3

?B? A

转化的思想

考查集合的运算

例( 4 1)已知I ? {0,1,2,3,4}, A ? {0,1,2,3}, B ? {2,3},求CI B, C A B. 求A ? B, A ? B. (2)已知A ? {x ? 1 ? x ? 3}, B ? x x ? 0, 或x ? 2 ,

?

?

例5 设U= ?1,2,3,4,5? ,若A ? B= ?2? ,(C U A) ? B = ?4? ,(C U A) ? (C U B)= ?1,5? ,求A.
U
3 5 2 3 4

1

A

B

例6 已知集合A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? k ? 0}, (1)若A ? B ? ?, 求k的取值范围 (2)若A ? B ? A, 求k的取值范围

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扩展提升
1.设 A ? {x x 2 ? 4 x ? 0}, B ? {x x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0} , 其中 x ? R ,如果 A ? B ? B,求实数a的取值范围
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2.设全集为R,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} ,

B ? {x | 2 x ? 4 ? x ? 2}
(1)求: A∪B,CR(A∩B);

(2)若集合

C ? {x | 2 x ? a ? 0} ,满足

B ? C ? C ,求实数a的取值范围。

练习
1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x= -1 。

2.已知集合 M ? ? y y ? x2 , x ? M? - 1, 1, 2?集合 N ? ? , 则M ∩N 是( B ) A

? 1, 2, 4?

B{1 }

C{1,2}



3.满足{1,2} ? A ? ? {1,2,3,4}的集合A的个数 有 个 3

函数

定义域

值域

单调性

奇偶性

图象

一次函数 反比例函数 二次函数

函数的复习主要抓住两条主线 1、函数的概念及其有关性质。 2、几种初等函数的具体性质。

指数函数 对数函数
幂函数

函数知识结构
函数的概念 函数 函数的基本性质 函数的单调性

函数的最值

函数的奇偶性

一、函数的概念:
A x1 x2 x3

B C y1 y2 y3 y4 y5 y6

x4
x5

思考:函数 值域与集 A.B是两个非空的数集,如果 合B的关 按照某种对应法则f,对于 系 集合A中的每一个元素x,在 集合B中都有唯一的元素y和 它对应,这样的对应叫做从 A到B的一个函数。
函数的三要素:定义域,值域,对应法则

二、映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定 的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元 素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对 应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的 一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一

使函数有意义的x的取值范围。

求 定 义 域 的 主 要 依 据

1、分式的分母不为零.

2、偶次方根的被开方数不小于零.
3、零次幂的底数不为零.

4、对数函数的真数大于零.
5、指、对数函数的底数大于零且不为1.

6、实际问题中函数的定义域

(一)函数的定义域
1、具体函数的定义域
例7.求下列函数的定义域 x ?1 (1) f ( x) ? x?2 2 (2) f ( x) ? log 2 ( x ? 1) (3) f ( x) ? log 0.5 (4 x ? 3)

练习:

1 (1) y ? ? x ?1 2? x 2? x 3 0 ( 2) y ? ? (x ? ) 2 x?2 (3) y ? log 2 (2 x ? 1)

2、抽象函数的定义域
1)已知函数y=f(x)的定义域是[1,3], 求f(2x-1)的定义域

2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,5), 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
3) y ? f ( x ? 2)的定义域为{x|x ? 4},

求y=f(x )的定义域

2

例8 若f ( x) ? lg( ax ? 4ax ? 3)的定义域为R
2

求实数a的取值范围。
当a ? 0时,函数的定义域为R; ?a ? 0, 当? 时,函数的定义域也为R. 2 ?? ? 16a ? 12a ? 0 3 ?函数的定义域为R,a的取值范围是0 ? a ? . 4

二、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 象 法

例10求下列函数的解析式

(1) 已知f ( x) ? x ? 4 x ? 3, 求f ( x ? 1换元法 )
2

(2)已知f ( x ? 1) ? x ? 2 x, 求f ( x)
2

(3)设 f ( x)是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3, 求f ( x)

待定系数法

1 1 2 (4) 已知 f ( x ? x ) ? x ? x 2

( x ? 0) ,

配凑法

求 f ( x) 的解析式

(5)已知:对于任意实数x、y, 等式 f ( x ? y) ? ? f ( x) ? 2 x( y ? x ? 1) 恒成立, 求 f ( x)
(6) 已知f ? x ? 是偶函数,g( x)是奇函数,且 构造方程组法 2 f ? x ? +g(x) ? x ? x ? 2, 求f ( x)、g ( x)的解析式 .

赋值法

练习
?x2 ? 3, x ? 0 ? (1)已知f ( x) ? ? 1, x ? 0 ,求f { f [ f (?4)]} ?x ? 4 , x ? 0 ?

?x ?1 ( 2)已知f ( x) ? x ? 1,g ( x ) ? ? ?2 ? x 求f [ g ( x )]
2

x?0 x?0

4,已知2f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 2, 求f ( x)

(3)已知f ? x ?的定义域为{x | x ? R且x ? 0}, 1 满足f ( x) ? 2 f ( ) ? x, x 求(1)f ( x)的解析式 ; (2)f ( x)的单调区间.

(4)已知二次函数的 图象过点(4,-3), 且当x=3时有最大 值4,试确定这个 二次函数的解析式.

三、函数单调性
定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) < f(x2) ,那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1) >f(x2) ,那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的 某个区间而言的。

写出常见函数的单调区间 并指明是增区间还是减区间
(a ? 0) 1、函数 y ? a 的单调区间是 x
a ? 0时, 单减区间是( ??, 0), (0, ??) a ? 0时, 单增区间是(??, 0), (0, ??)

2、函数y=ax+b(a≠0)的单调区间是 a ? 0时, 单增区间是(??, ??)
a ? 0时, 单减区间是(??, ??)

3、函数y=ax2+bx+c (a≠0)的单调区间是
b b a ? 0时, 单减区间是(??, ? ], 单增区间是[? , ??) 2a 2a b b a ? 0时, 单增区间是(??, ? ], 单减区间是[? , ??) 2a 2a

用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 设元,设x1,x2是区间上任意两个实数,且x1<x2;

(2) 作差, f(x1)-f(x2) ;
(3)变形,通过因式分解转化为易于判断符号的形式 (4)判号, 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (5)下结论.

1 例11.证明:函数f ( x) ? x ? 在( 1, ? ?)上是增函数. x

2x+1, (x≥1)
1. 函数f (x)= 4-x, (x<1) 则f (x)的递减区间为( B )

你知道函 数的最 值吗?

A. [1, +∞)

B. (-∞, 1)

C. (0, +∞) D. (-∞, 0] 2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)上 是增函数,求实数a的取值范围

拓展提升
e ?e 1 判断函数 y ? 2
x ?x

的单调性。

2 求函数y=log 0. 5(x2-1) 的单调区间。

3 若函数y= x2+ax+1在[-1,1]上是单调函数, 求a的取值范围。

四、函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 2.偶函数:对任意的 x ? I ,都有 f (? x) ? f ( x) 3.奇函数和偶函数的必要条件:
定义域关于原点对称.

注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定
义域区间是否关于原点对称!

奇(偶)函数的一些特征
1.若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则
f(0)=0.

2.奇函数图像关于原点对称,且在对称的区间上 不改变单调性. 3.偶函数图像关于y轴对称,且在对称的区间上改
变单调性

例12 判断下列函数的奇偶性
(1) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1

1 (3) f ?x ? ? x ? x

3 (2) f ? x ? ? 2 x

(4) f ?x ? ? x , x ? ?? 2,3?
2

例13已知f ( x )是奇函数. 且当x ? 0时, f ( x) ? x(1 ? x);

( 1 )求x ? 0时, f ( x )表达式;

(2)求f ( x ).

例14

f ? x ? 是定义在 ? ?11 , ? 上的减函数,

若f ? 2 ? a ? ? f ? 3 ? a ? ? 0, 求a的取值范围

例15 已知f ? x ? 是定义在区间? ?11 , ? 上的 奇函数,在区间? 0, 1? 上是减函数,且 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? 2a ? ? 0, 求实数a的取值范围.

(二)二次函数给定区间值域问题
例9 已知函数 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 3, 求x ? ? ?3, 4?时的值域

x ? ? ?3,2?

x ? ? 2, 4?

1 例1 判断函数f ( x) ? 1 ? x 的奇偶性。 2 ?1 1 变:若函数 f ( x) ? a ? x 为奇函数,求a。 2 ?1

例2 若f(x)在R上是奇函数,当x∈(0,+∞)时为增函数, 且f(1)=0,则不等式f(x)>0的解集为______

例3 若f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且在[-1,1]是单调
增函数,求不等式f(x-1)+f(2x)>0的解集.

函数的图象
1、用描点法画图。
2、用某种函数的图象变形而成。

(1)关于x轴、y轴、原点对称关系。
(2)平移关系。

例 作函数的图象

(1) y ? log a ( ? x) (2) y=log a (x+1)
y

a>1 a>1

y

o

1

x

o

1

x


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