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解析几何教程答案 (1)


第一章 向量代数 习题 1.1 1. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。 证明: 如下图, 梯形 ABCD 两腰 BC , AD 中点分别为 E , F , 记向量 AB ? a, FA ? b ,

????

??? ?

D F

C
E

b
A

a

B

则 DF ? b, 而向量 DC 与 AB 共线且同向, 所以存在实数 ? ? 0, 使得 DC ? ? AB. 现在

????

????

????

????

????

??? ? ???? FB ? b ? a, FC ? ?b ? ? a, 由于 E 是 BC 的中点,所以
???? 1 ??? ? ???? ???? 1 1 1 FE ? ( FB ? FC ) ? (b ? a ? ? a ? b) ? (1 ? ? )a ? (1 ? ? ) AB. 且 2 2 2 2 ???? 1 ???? 1 ???? ???? 1 ???? ???? FE ? (1 ? ? ) AB ? ( AB ? ? AB ) ? ( AB ? DC ). 2 2 2
故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。 习题 1.2 。 1. 设平行四边形 ABCD 的对角线交于点 P , 设 DM ?

???? ?

? 1 ???? ???? 1 ??? DB , CN ? CA. 在仿射标 5 6

架 A; AB , AD 下,求点 P , M , N 的坐标以及向量 MN 的坐标。 解:作如下示意图,

?

???? ????

?

?????

D

M P

N

C

A

B

因为 P 是 DB 中点,所以 AP ?

????

1 ???? 1 ???? AB ? AD. 2 2

???? ? ???? ? ???? 1 ???? ???? 1 ???? ???? ???? 1 ???? 4 ???? AM ? DM ? AD ? DB ? AD = ( AB ? AD ) ? AD ? AB ? AD. 5 5 5 5

???? ???? ???? ? 5 ???? 5 ???? ???? 点 P , M , N 的坐标分别 AN ? AC ? ( AB ? AD ). 故在仿射标架 A; AB , AD 下, 6 6

?

?

为 ( , ),( , ),( , ).

1 1 2 2

1 4 5 5

5 5 6 6

????? ???? ? ???? ???? 1 ???? ???? 1 ???? MN ? MD ? DC ? CN ? BD ? AB ? AC 5 6 ? 1 ???? ???? ???? 1 ???? ???? 19 ???? 1 ???? ( AD ? AB ) ? AB ? ( AB ? AD ) ? AB ? AD, 5 6 30 30
?????

所以向量 MN 在仿射标架 A; AB , AD 下的坐标为 ( 习题 1.3

?

???? ????

?

19 1 , ). 30 30

2.已知 a ? 3, b ? 2, ?(a , b) ?

?
6
2

,求 (3a ? 2b)? (2a ? 5b) 。
2

解: (3a ? 2b)? (2a ? 5b) ? 6 a ? 10 b ? 11a? b

? 54 ? 40 ? 11?2?3cos

?
6

? 14 ? 33 3.

习题 1.4 5. 在直角坐标系中,已知 a ? (2, 3, ?1), b ? (1, ?2, 3) ,求与 a , b 都垂直,且满足如下 条件之一的向量 c : (1) c 为单位向量; d ? 10 ,其中 d ? (2,1 ? 7) 。 (2) c ? 解:因为向量 c 与 a , b 都垂直,所以可设 c ? ? a ? b ,而

e1 a?b ? 2 1

e2 e3 3 ?1 ? (7, ?7, ?7), a ? b ? 7 3 。 ?2 3
1 1 ? ,故 a?b 7 3

( 1 ) 因 为 c 为 单 位 向 量 , 所 以 c ? 1 , 即 ? a ? b ? 1, ? ?

c??

1 3

(1, ?1, ?1) 。

( 2 ) 由 d ?( 2 , ?1

, 7 )c ?d ? 10 , 得 ? ( 1 ? 4 ?7

5 ? 4 9 ? ) ? 1 0 ,于 是 28

,

c?

5 ( 1? , 1?,。 1 ) 4

7.证明 Jacobi 恒等式 a ? (b ? c ) ? b ? (c ? a ) ? c ? (a ? b) ? 0 。 证明:由双重外积公式

a ? (b ? c ) ? b ? (c ? a ) ? c ? (a ? b) ? (a ? c)b ? (a? b)c ? (b? a )c ? (b? c )a ? (c? b)a ? (c ? a )b ? 0 。

习题 1.5
2.证明: a, b, c 不共面当且仅当 a ? b, b ? c , c ? a 不共面。 证明:因为 [(a ? b) ? (b ? c )]? (c ? a ) ? {[(a ? b)? c]b ? [(a ? b)? b]c}? (c ? a )

? {[(a ? b)? c]b}? (c ? a) ? [(a ? b)? c][b? (c ? a)] ? [(a ? b)? c]2 ,
所以 (a ? b)? c ? 0 ? [(a ? b) ? (b ? c )]? (c ? a ) ? 0 。 故 a, b, c 不共面当且仅当 a ? b, b ? c , c ? a 不共面。 3. 在 右 手 直 角 坐 标 系 中 , 一 个 四 面 体 的 顶 点 为 A(1, 2, 0), B( ?1, 3, 4) , C (?1, ?2, ?3), D(0, ?1, 3) ,求它的体积。 解:因为

?2 1 4 ???? ???? ???? ( AB, AC , AD ) ? ?2 ?4 ?3 ? 59, ?1 ?3 3
所以四面体 ABCD 的体积 VABCD ? 4.证明 Lagrange 恒等式

1 ???? ???? ???? 59 ( AB, AC , AD ) ? . 6 6

(a ? b)? (c ? d ) ?

a? c a? d 。 b? c b? d

证明: (a ? b)? (c ? d ) ? a ? [b ? (c ? d )] ? a ? [(b? d )c ? (b? c )d ]

? (a ? c )(b? d ) ? (a ? d )(b? c) ?

a? c a? d 。 b? c b? d
第二章 直线与平面

习题 2.1 1.求通过两点 A(2, 3,4) 和 B(5, 2, ?1) 的直线方程。 解:直线的方向向量为 AB ? (3, ?1, ?5) ,所以直线的方程为

????

x?2 y?3 z?4 ? ? . 3 ?1 ?5

3.在直角坐标系中,求通过点 (1, 0, ?2) 并与平面

?1 : 2 x ? y ? z ? 2 ? 0 和 ? 2 : x ? y ? z ? 3 ? 0
均垂直的平面方程。 解:平面 ?1 , ? 2 的法向量分别是 n1 ? (2,1, ?1), n2 ? (1, ?1, ?1) ,所求平面与 ?1 , ? 2 均 垂直,所以它的法向量 n 与 n1 , n2 均垂直,因此

n ? n1 ? n2 ? (2,1, ?1) ? (1, ?1, ?1) ? (?2,1, ?3),
平面的方程为 ?2( x ? 1) ? y ? 3( z ? 2) ? 0, 即 2 x ? y ? 3 z ? 6 ? 0. 习题 2.2 1.求经过点 ( ?2,1, 3) , 并且通过两平面 2 x ? 7 y ? 4z ? 3 ? 0 与 3 x ? 5 y ? 4 z ? 11 ? 0 的 交线的平面方程。 解:经过交线的平面束方程为 ?1 (2 x ? 7 y ? 4z ? 3) ? ?2 (3 x ? 5 y ? 4z ? 11) ? 0 ,其中

?1 , ?2 不全为零。所求平面经过点 ( ?2,1, 3) ,将它代入上式得到 ?1 ? 6?2 ? 0 ,可以取

?1 ? 6, ?2 ? 1 ,因此平面的方程为 15 x ? 47 y ? 28z ? 7 ? 0.
4.求通过点 N 0 (1,4, ?2) 且与两平面

?1 : 6 x ? 2 y ? 2z ? 3 ? 0, ?2 : 3 x ? 5 y ? 2z ? 1 ? 0
均平行的直线方程。 解:直线的方向向量 v ? ( X , Y , Z ) 与已知两平面均平行,所以

?6 X ? 2Y ? 2 Z ? 0, 得到 X : Y : Z ? 1 : 3 : ( ?6), ? ? 3 X ? 5Y ? 2 Z ? 0
于是直线的方程为

x ?1 y ? 4 z ? 2 ? ? . 1 3 ?6
8. 在直角坐标系中,求直线 l : 直投影直线的方程。 解: 垂直投影直线在过直线 l 且垂直于平面 ? : x ? 2 y ? 6 ? 0 的平面 ? 1 中, 平面 ? 1 的 方程为

x ?1 y ?1 z ? 3 ? ? 在平面 ? : x ? 2 y ? 6 ? 0 上的垂 2 ?1 4

x ?1 2 1

y ?1 z ? 3 ?1 2 4 0 ? ?8 x ? 4 y ? 5 z ? 3 ? 0,

所以垂直投影直线方程是

? x ? 2 y ? 6 ? 0, ? ?8 x ? 4 y ? 5z ? 3 ? 0.

习题 2.3

7.求点 M1 (3, ?1, 2) 到直线 ? 解:直线方程的标准形式为

? 2 x ? y ? z ? 1 ? 0, 的距离。 ?x ? y ? z ?1 ? 0

x y?1 z , ? ? , 所 以 直 线 经 过 点 M( 0 ? , 1, 0 ) 方 向 向 量 为 v ? (0,1,1) , 则 0 1 1
?????? ? ? ? ? ?? MM1 ? v MM 2 , 3 , ,点 3 ) M1 (3, ?1, 2) 到直线的距离为 d ? ? 1 ? v?( ? v
8.求下列各对直线之间的距离。 (1)

22 2

? 11.

x ?1 y ?1 z ? 5 x y ? 6 z ? 5 ? ? , ? ? ; ?1 3 2 3 ?9 ?6 x y ? 2 z ?1 x ?1 y ? 3 z ?1 ? ? , ? ? ; 2 ?2 ?1 4 2 ?1

(2)

(3) ?

? x ? y ? z ? 1 ? 0, ? x ? 2 y ? 3z ? 6 ? 0, ? ? x ? y ? 0, ? 2 x ? y ? 3z ? 6 ? 0.

解: ( 1 ) 两 直 线 分 别 经 过 点 M1 (?1,1, ?5) , M 2 (0, 6, ?5) , 方 向 向 量 分 别 是

v1 ? (?1, 3, 2), v2 ? (3, ?9, ?6) ,因此两直线平行,它们的距离为一直线的某点到另一直线
的距离,所以 M1 M2 ? v1 ? (10, ?2,8) ,它们的距离为

??????? ?

d?

??????? ? M1 M 2 ? v1 v1

?

168 14

? 2 3.

( 2 ) 两 直 线 分 别 经 过 点 M1 (0, ?2,1) , M 2 (1, 3, ?1) , 方 向 向 量 分 别 是

??????? ? v1 ? (2, ?2, ?1), v2 ? (4, 2, ?1) , M1 M2 ? (1,5, ?2), v1 ? v2 ? (4, ?2,12), ??????? ? ??????? ? ( M1 M2 , v1 , v2 ) ? M1 M2 ? (v1 ? v2 ) ? ?30 ,所以它们异面,它们的距离为
d? ??????? ? ( M1 M 2 , v1 , v2 ) v1 ? v2 ? 30 164 ? 15 41 .

(3)两直线方程的标准形式可写为

x y z ?1 x y z?2 ? ? , ? ? , 两直线分别经过点 M1 (0, 0,1) , M 2 (0, 0, ?2) ,方 1 ?1 0 1 ?1 ?1
向向量分别是 v1 ? (1, ?1,0), v2 ? (1, ?1, ?1) , v1 , v2 不平行, M1 M2 ? (0,0, ?3),

??????? ?

??????? ? ??????? ? v1 ? v2 ? (1,1,,0), ( M1 M2 , v1 , v2 ) ? M1 M2 ? (v1 ? v2 ) ? 0 ,所以它们相交,它们的距
离为 0。 11.求下列直线与平面的夹角。 (1) l :

x ?1 y z ?1 ? ? , ? : x ? 2 y ? 4 z ? 1 ? 0; 2 1 ?1

(2) l : ?

? x ? y ? z ? 2 ? 0, ? : 2 x ? z ? 1 ? 0. ? 2 x ? 3 y ? 3 ? 0,

解: ( 1 ) 直 线 l 的 方 向 向 量 为 v ? (2,1, ?1) , 平 面 的 法 向 量 为 n ? (1, ?2, 4) , 则

v ?n ? ?4 , 所以夹角满足 sin ? ?

v1 ? v2 v1 v2

?

4 6 21

?

2 14 2 14 . , 因此夹角 ? ? arcsin 21 21

( 2 ) 直 线 l 的 方 向 向 量 为 v ? ( ?3, ?2, ?1) , 平 面 的 法 向 量 为 n ? (2, 0, ?1) , 则

v ?n ? ?5 ,所以夹角满足 sin ? ?

v1 ? v2 v1 v2

?

5 14 5

?

70 70 . , 因此夹角 ? ? arcsin 14 14

第三章 常见曲面 习题 3.1
2 2 2 1.证明:如果 a ? b ? c ? d ? 0 ,那么由方程

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2ax ? 2by ? 2cz ? d ? 0
给出的曲面是一球面,求出它的球心坐标和半径。 证明:将方程配方得

( x ? a )2 ? ( y ? b)2 ? ( z ? c )2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? d ,由 a 2 ? b2 ? c 2 ? d ? 0 ,得到方

程表示球心是 ( ? a , ? b, ? c ) ,半径为 a 2 ? b2 ? c 2 ? d 的球面。 6.曲面 S 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求其球面坐标方程。 解: 将球面坐标与直角坐标的关系 x ? R cos? cos ? , y ? R cos? sin ? , z ? R sin? 代 入方程得到 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2 cos2 ? ? R2 sin2 ? ? 25, 即 R2 cos 2? ? 25. 习题 3.2 1.求半径为 1,对称轴为 x ?

y z ? 的圆柱面方程。 2 3 y z ? 的距离是常数 1,所以 2 3

解:圆柱面上的点 ( x , y, z ) 到对称轴 x ?

( x, y, z ) ? (1, 2, 3) 1? 4 ? 9

? 1 ,即有 (3 y ? 2z )2 ? ( z ? 3 x)2 ? (2 x ? y)2 ? 14.

? 2 y2 ? 1, ?x ? 9.求顶点为 (0,1, 0) ,准线为 ? 的锥面方程。 4 ? z ? ?5 ?
解:锥面上的点 ( x , y, z ) 一定在经过准线上某点 ( x0 , y0 , z0 ) 的母线上,所以
2 ? 2 y0 ? 1, ? x0 ? 4 ? ? z0 ? ?5, ? 因此得到锥面方程 20 x 2 ? 5 y 2 ? z 2 ? 2 yz ? 10 y ? 2z ? 5 ? 0. ? x0 ? tx , ? y ? 1 ? t ( y ? 1), ? 0 ? z0 ? tz ? ?

13.求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程, 和在各坐标面上的投影曲线, 并作出曲 线的简图:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? x ? y ? 4a , ? x ? y ? z ? 4, ? x ? y ? z ? 4a , (1)? 2 (2)? 2 (3)? 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? x ? 2 y ? z ? 5a ; ? x ? ( y ? 3) ? z ? 4; ? x ? y ? 2ax ? 0.

解: (1)向 xOy 面投影的投影柱面方程是 x 2 ? y 2 ? 4a 2 ,在 xOy 面上的投影曲线是

? x 2 ? y 2 ? 4a 2 , ? ? z ? 0.
在方程组中消去 x 得到向 yOz 面投影的投影柱面方程是 y 2 ? z 2 ? a 2 ,在 yOz 面上的

投影曲线是

? y2 ? z2 ? a2 , ? ? x ? 0.
在方程组中消去 y 得到向 xOz 面投影的投影柱面方程是 x 2 ? z 2 ? ?a 2 ,在 xOz 面上 的投影曲线是

? x 2 ? z 2 ? ?a 2 , ? ? y ? 0.
(2) 在方程组中分别消去 x , y , z 得到向 yOz , xOz , xOy 面投影的投影柱面方程分别是

2 y ? 3 ? 0( x ? 2, z ? 2), x 2 ? z 2 ?

7 , 2 y ? 3 ? 0( x ? 2, z ? 2). 4

在 yOz , xOz , xOy 面上的投影曲线方程分别是

7 ? 2 2 ? 2 y ? 3 ? 0, ? x ? z ? , ? 2 y ? 3 ? 0, ( z ? 2), ( x ? 2). 4 ? ? ? z ? 0, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0,
(3) 在方程组中分别消去 x , y , z 得到向 yOz , xOz , xOy 面投影的投影柱面方程分别是

z 4 ? 4a 2 z 2 ? 4a 2 y 2 ? 0, z 2 ? 2ax ? 4a 2 ? 0, x 2 ? y 2 ? 2ax ? 0 。
在 yOz , xOz , xOy 面上的投影曲线方程分别是

? z 4 ? 4a 2 z 2 ? 4a 2 y 2 ? 0, ? z 2 ? 2ax ? 4a 2 ? 0, ? x 2 ? y 2 ? 2ax ? 0, ? ? ? ? x ? 0, ? y ? 0, ? z ? 0.
习题 3.3

? x 2 ? y 2 ? 1, ? 1.求曲线 ? 绕 z 轴旋转所得的曲面方程。 2 ? ?z ? x
解:点 ( x , y, z ) 在旋转面上当且仅当它是曲线上点 ( x0 , y0 , z0 ) 旋转而来:
2 2 ? x0 ? y0 ? 1, ? 2 ? z0 ? x0 , 2 2 消去 x0 , y0 , z 0 得到旋转面的方程: x ? y ? 1 ,由于曲线只是 ? 2 2 2 2 ? x ? y ? x0 ? y0 , ? z ? z ? 0, 0 ?

0 ? z ? 1 的一部分,所以旋转面也是一部分: x 2 ? y 2 ? 1 , 0 ? z ? 1 。

4.证明: z ?

1 表示一个旋转面,并求它的母线和转轴。 x ? y2
2

? y 2 z ? 1, ? x 2 z ? 1, 证明:方程的形式可改写为 ( x ? y ) z ? 1 ,发现以曲线 ? 或? 为母 ?x ? 0 ?y ? 0
2 2

线, z 轴为旋转轴,就可得到曲面的方程。 习题 3.4 习题 3.5 1.求单叶双曲面

x2 y2 z2 ? ? ? 1 上过点 (2, 3, ?4) 的直母线。 4 9 16 x2 y2 z2 ? ? ? 1 的直母线族为 4 9 16

解:单叶双曲面

y y ? x z ? x z u( ? ) ? v (1 ? ) ? 0, u( ? ) ? v (1 ? ) ? 0, ? ? ? 2 4 ? 2 4 3 3 及 (?? ) ? (? ) ? ? u(1 ? y ) ? v ( x ? z ) ? 0 ? u(1 ? y ) ? v ( x ? z ) ? 0 ? ? 3 2 4 3 2 4 ? ?
将点 (2, 3, ?4) 代入直母线族的方程中,得到(I)的参数为 v =0,(II)的参数为 u ? v ? 0 , 所以过点 (2, 3, ?4) 的直母线为

? 2 x ? z ? 0, ? x ? 2 ? 0, , (?? ) ? (? ) ? ?y?3? 0 ?4 y ? 3 z ? 0.
习题 3.6 2.作出由不等式组 0 ? z ? 域简图。 第4章 二次曲线和二次曲面

8 ? x 2 ? y 2 , 0 ? y ? 4 ? x 2 , 0 ? x ? 2 所确定的空间区

习题 4.1 1. 在直角坐标系 xOy 中,以直线 l : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0为新坐标系的 x ? 轴,取通过 A(1, ?3) 且 垂 直 于 l 的 直 线 为 y? 轴 , 写 出 点 的 坐 标 变 换 公 式 , 并 且 求 直 线

l1 : 3 x ? 2 y ? 5 ? 0 在新坐标系中的方程。
解:直线 l : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 的方向是 (3, 4) ,与它垂直的方向是 ? ( ?4, 3) ,新坐标 系 的 x ? 轴 的 坐 标 向 量 取 为 ( , ) , y? 轴 坐 标 向 量 取 为 ( ?

3 4 5 5

4 3 , ) ,与直线 5 5

l : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 垂直且的直线方程可设为 3 x ? 4 y ? c ? 0 ,由于过点 A(1, ? 3) ,得 到直线方程是 3 x ? 4 y ? 9 ? 0 ,两直线的交点 ( ?3, 0) 是新坐标原点,所以点的坐标变换
公式:

?3 ? x? ? 5 ? y? ? ? 4 ? ? ? ? ?5

4? ? ? ? 5 ? x ? ? ?3 ? ? ?? ? ?. 3 ?? ? y? ? ? 0 ? 5 ? ?

直线 l1 : 3 x ? 2 y ? 5 ? 0 在新坐标系中的方程:

3 4 4 3 l1 : 3( x? ? y? ? 3) ? 2( x? ? y? ) ? 5 ? 0 , 5 5 5 5
化简有 l1 : x? ? 18 y? ? 20 ? 0. 习题 4.3 1.利用不变量求下列曲面的简化方程: (1) 11 x 2 ? 10 y 2 ? 6z 2 ? 12 xy ? 8 yz ? 4 xz ? 72 x ? 72 y ? 36z ? 150 ? 0; (2) x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 2 xy ? 2 yz ? 2 xz ? 2 x ? 4 y ? 4z ? 12 ? 0; (3) xy ? yz ? xz ? a 2 ? 0; (4) 9 x 2 ? 4 y 2 ? 4z 2 ? 12 xy ? 8 yz ? 12 xz ? 4 x ? y ? 10z ? 1 ? 0; (5) 2 y 2 ? 4 xz ? 2 x ? 4 y ? 6z ? 5 ? 0. 解: (1)二次曲面的矩阵:

? 11 ? ?6 A? ? ?2 ? ? 36
计算不变量

?6 10 ?4 ?36

2 ?4 6 18

36 ? ?36 ? ?, 18 ? ? 150 ?

I1 ? 11 ? 10 ? 6 ? 27, I 2 ? 11 I 3 ? ?6 2 ?6 10 ?4 2

11 ?6

?6 10

?

11 2 2 11 6

?

10 ?4

?4 6 2 ?4 6 18

? 180, 36 ?36 ? ?12 ? 4 ? 81. 18 150

?6 10 ?4 ?36

?6 ?4 ? 4 ? 81 ? 324, I 4 ? 2 6 36

特征方程是 ?? 3 ? 27? 2 ? 180? ? 324 ? 0, 即 (? ? 3)(? ? 6)(? ? 18) ? 0, 特征根为 ?1 ? 3, ?2 ? 6, ?3 ? 18,

I4 ? ?12, I3

于是,简化方程为 3 x?2 ? 6 y? 2 ? 18z? 2 ? 12 ? 0. 即 x?2 ? 2 y? 2 ? 6z? 2 ? 4 ? 0. (2)二次曲面的矩阵:

?1 ?1 A? ? ?1 ? ? ?1
计算不变量

1 3 1 2

1 1 1 2

?1? 2? ?, 2? ? 12 ?

I1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 5, I 2 ? 1 1 1

1 1 1 3 1

? 1

1 1 1 1 1

?

3 1 1 1

? 4,

?1

1 3 1 2 I 3 ? 1 3 1 ? 0, I 4 ? ? ?18. 1 1 1 2 1 1 1 ?1 2 2 12
特征方程是 ?? 3 ? 5? 2 ? 4? ? 0, 即 ? (? ? 1)(? ? 4) ? 0, 特征根为 ?1 ? 1, ?2 ? 4, ?3 ? 0,

I 4 ?18 9 ? ?? , I2 4 2

于是,简化方程为 x? 2 ? 4 y? 2 ? 3 2z? ? 0. (3)二次曲面的矩阵:

? ?0 ? ?1 A ? ?2 ? ?1 ?2 ?0 ?

1 2 0 1 2 0

1 2 1 2 0 0

? 0 ? ? 0 ? ?, ? 0 ? ? 2? ?a ?

计算不变量

0 I1 ? 0, I 2 ? 3 1 2

1 2 0

??

3 , 4 1 2 0 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 0 0 ?a 2 ?? a2 . 4

0 I3 ? 1 2 1 2

1 2 0 1 2

0 1 2 1 1 1 ? , I4 ? 2 2 4 1 0 2 0

特征方程是 ? ? 3 ?

3 1 ? ? ? 0, 即 (? ? 1)(2? ? 1)2 ? 0, 4 4 1 I4 , ? ?a 2 , 2 I3

特征根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?3 ? ? 于是,简化方程为 x? 2 ? (4)二次曲面的矩阵:

1 2 1 2 y? ? z? ? a 2 ? 0. 2 2

?9 ? ?6 A? ? ?6 ? ? 2 ? ?

6 4 4 1 2

6 4 4 5

2? 1? ? 2? , 5? ? ? 1? ?

计算不变量

I1 ? 9 ? 4 ? 4 ? 17, I 2 ?

9 6 9 6 4 4 ? ? ? 0, 6 4 6 4 4 4
9 6 4 4 1 2 6 4 4 5 2 1 2 ? 0. 5 1

9 6 6 6 I 3 ? 6 4 4 ? 0, I 4 ? 6 6 4 4 2

9 K2 ? 6 2

6 4 1 2

2 4 9 6 2 1 ?6 4 5? 4 2 2 5 1 1 1 2

4 4 5

1 2 833 5 ?? , 4 1

特征方程是 ?? 3 ? 17? 2 ? 0, 特征根为 ?1 ? 17, ?2 ? ?3 ? 0,

K2 49 ?? , I1 4

于是,简化方程为 17 x? 2 ? 7 y? ? 0. (5)二次曲面的矩阵:

?0 ?0 A? ? ?2 ? ?1

0 2 0 ?2

2 0 0 3

1? ?2 ? ?, 3? ? 5?

计算不变量

I1 ? 2, I 2 ? 0 I3 ? 0 2 0

0 0 2

0 2

?

0 2

2 0

? 0

2 0 0 0 2 0 ?2 0

? ?4, 2 0 0 3 1 ?2 ? 0. 3 5

0 2 0 ? ?8, I 4 ? 2 0 0 1

特征方程是 ?? 3 ? 2? 2 ? 4? ? 8 ? 0, 即 (? ? 2)2 (? ? 2) ? 0, 特征根为 ?1 ? ?2 ? 2, ?3 ? ?2,

I4 ? 0, I3

于是,简化方程为 2 x?2 ? 2 y?2 ? 2z?2 ? 0. 即 x?2 ? y? 2 ? z? 2 ? 0.

2 2.证明:二次曲面为圆柱面的条件为 I3 ? 0, I1 ? 4 I 2 , I4 ? 0 。

证明:用不变量表示的圆柱面的简化方程是

?1 x 2 ? ?2 y 2 ?

K2 ? 0 ,于是 I 3 ? I4 ? 0, 特征方程 ?? 3 ? I1? 2 ? I2? ? 0 有两个相 I2

2 同的根,即 ? 2 ? I1? ? I2 ? 0 有两个相同的根,因而 I1 ? 4I2 .

3.求 a , b 之值,使二次曲面

x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2axz ? 2byz ? 2 x ? 4 y ? 2z ? 0
表示二次锥面。 解:二次锥面的不变量 I 3 ? 0, I 4 ? 0, 所以

1 0 0 1 I4 ? a b ?1 ?2

a ?1 b ?2 ? 4a 2 ? b 2 ? 4ab ? 2a ? 4b ? 4 ? 0. ?1 1 1 0

习题 4.4 1.求下列曲面的中心 (1) 14 x 2 ? 14 y 2 ? 8z 2 ? 8 xy ? 4 xz ? 4 yz ? 18 x ? 18 y ? 5 ? 0;

解: (1)曲面的中心满足

?14 x ? 4 y ? 2 z ? 9 ? 0, 1 1 ? ? ?4 x ? 14 y ? 2 z ? 9 ? 0, 此方程组有唯一解 ( ? , , 0) ,即为中心。 2 2 ? ?2 x ? 2 y ? 8 z ? 0, ?
习题 4.5 2.已知曲面 x 2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 2 xy ? 2 yz ? 2 xz ? 4 x ? 1 ? 0 , 求与方向 1 : ( ?1) : 0 共轭 的直径面方程。 解:曲面的矩阵

?1 ? ?1 A? ? ?1 ? ? ?2

?1 1 ?2 ? 2 ?1 0 ? ? ,与方向 1 : ( ?1) : 0 共轭的直径面方程 ?1 ?1 0 ? ? 0 0 ?1 ?

x ? y ? z ? 2 ? (? x ? 2 y ? z ) ? 0 ,即 2 x ? 3 y ? 2z ? 2 ? 0 。
5.求下列二次曲面的主方向与主径面,并且求出直角坐标变换,写出简化方程。 (1) 14 x 2 ? 14 y 2 ? 8z 2 ? 4 yz ? 4 xz ? 8 xy ? 18 x ? 18 y ? 5 ? 0; 解: (1)曲面的矩阵

? 14 ? ?4 A? ? ? ?2 ? ?9

?4 14 ?2 ?9

?2 ?2 8 0

9? ?9 ? ?, 0? ? 5?

不变量 I1 ? 36, I 2 ?

14 ?4 14 ?2 14 ?2 ? ? ? 396, I 3 ? 362 , ?4 14 ?2 8 ?2 8
9 ?9 ? ?4 ? 362 . 0 5

14 ?4 I4 ? ?2 9

?4 14 ?2 ?9

?2 ?2 8 0

特征方程是 ?? 3 ? 36? 2 ? 396? ? 362 ? 0,即 (? ? 6)(? 2 ? 30? ? 216) ? 0, 特征根 是 ?1 ? 6, ?2 ? 12, ?3 ? 18. 简化方程是 6 x?2 ? 12 y? 2 ? 18z? 2 ? 4 ? 0. 特征根 ?1 ? 6 的主方向满足方程组

?8 X ? 4Y ? 2 Z ? 0, ? ? ?4 X ? 8Y ? 2 Z ? 0, 得到主方向 X : Y : Z ? 1 : 1 : 2 , ?4 (1,1, 2) ? 0 对应的主经 ? ?2 X ? 2Y ? 2 Z ? 0 ?

面是 x ? y ? 2z ? 0. 特征根 ?2 ? 12 的主方向满足方程组

? 2 X ? 4Y ? 2 Z ? 0, ? ? ?4 X ? 2Y ? 2 Z ? 0, 得到主方向 X : Y : Z ? 1 :1 : ( ?1) , ?4 (1,1, ?1) ? 0 对应的 ? ?2 X ? 2Y ? 4 Z ? 0 ?
主经面是 x ? y ? z ? 0. 特征根 ?3 ? 18 的主方向满足方程组

? ?4 X ? 4Y ? 2 Z ? 0, ? ? ?4 X ? 4Y ? 2 Z ? 0, 得到主方向 X : Y : Z ? 1 : ( ?1) : 0 , ?4 (1, ?1,0) ? 18 对应 ? ?2 X ? 2Y ? 10 Z ? 0 ?
的主经面是 x ? y ? 1 ? 0. 曲面的中心是 ( , ?

1 2

1 , 0) ,直角坐标变换是 2

? ? ? x? ? ? y? ? ? ? ? ? ?z? ? ? ? ? ? ?

1 6 1 6 2 6 ?

1 3 1 3 1 3

1 ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ?x ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 1? ? . ? y? ? ? 2 ? ? ? ? 2? ? z? ? ? ? ?? ? ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ?

习题 4.6 1.写出下列二次曲面在已知点处的切平面和法线的方程: (1) x 2 ? y 2 ? z ,点 (1, 2, 5); (2) x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 xy ? 4 xz ? 4 yz ? 2 x ? 2 y ? 18 ? 0 ,点 (1, 2, 3). 解: (1)点 (1, 2, 5) 在曲面 x 2 ? y 2 ? z 上,

F1 ( x , y , z ) ? x , F2 ( x , y , z ) ? y , F3 ( x , y , z ) ? ? F1 (1, 2, 5) ? 1, F2 (1, 2, 5) ? 2, F3 (1, 2, 5) ? ?
切平面方程是 1( x ? 1) ? 2( y ? 2) ? 法线方程是

1 2

1 2

1 ( z ? 5) ? 0 ,即 2 x ? 4 y ? z ? 5 ? 0. 2

x ?1 y ? 2 z ? 5 ? ? . 2 4 ?1 (2) F (1, 2, 3) ? ?6, 点 (1, 2, 3) 不在曲面上,所以过点 (1, 2, 3) 有曲面的切锥,

F1 ( x, y, z ) ? x ? 2 y ? 2z ? 1, F2 ( x, y, z ) ? ?2 x ? y ? 2z ? 1, F3 ( x, y, z ) ? ?2 x ? 2 y ? z ,

F1 (1, 2, 3) ? ?8, F2 (1, 2, 3) ? ?5, F3 (1, 2, 3) ? ?3,
切锥方程是

[?8( x ? 1) ? 5( y ? 2) ? 3( z ? 3)]2 ? 6[( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? ( z ? 3)2 ? 4( x ? 1)( y ? 2) ? 4( x ? 1)( z ? 3) ? 4( y ? 2)( z ? 3)] ? 0,
即 70 x 2 ? 31 y 2 ? 15z 2 ? 56 xy ? 24 xz ? 6 yz ? 324 x ? 198 y ? 126z ? 549 ? 0. 6.求平面 ? x ? ? y ? z ? ? ? 0 与二次曲面 Ax 2 ? By 2 ? 2Cz 相切的条件。 解:设二次曲面 Ax 2 ? By 2 ? 2Cz 的切平面的切点是 ( x0 , y0 , z0 ) ,则切平面方程是

Ax0 x ? By0 y ? C ( z ? z0 ) ,设它就是平面 ? x ? ? y ? z ? ? ? 0 ,于是有
Ax0 ? By0 ?

?

?

?C ?C C ?Cz0 ,即有 x0 ? , y0 ? , z 0 ? ?? . 因为 ( x0 , y0 , z0 ) 在 ? A B 1 ?
) ? B(
2

曲面上,故 A(

?C
A

?C
B

) ? ?2C? , 即
2

?2
A

?

?2
B

?

2? ? 0. C


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