fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考第一轮复习数学:9.11 多面体与正多面体 2


9.11

多面体与正多面体

●知识梳理 1.每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面 体. 2.正多面体有且只有 5 种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面 体. ●点击双基 1.一个正方体内有一个内切球面,作正方体的对角面,所得截面图形是

A

B

C

D

答案:B 2.正多面体只有_____________种,分别为________________. 答案:5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 3.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、BB1 的中点,则直线 AM 与 CN 所成的角的余弦值是_____________. 解析:过 N 作 NP∥AM 交 AB 于点 P,连结 C1P,解三角形即可. 答案:

2 5

●典例剖析 【例 1】 已知甲烷 CH4 的分子结构是中心一个碳原子,外围有 4 个氢原子(这 4 个氢 原子构成一个正四面体的四个顶点).设中心碳原子到外围 4 个氢原子连成的四条线段两两 组成的角为θ ,则 cosθ 等于 A.-

1 3

B.

1 3

C.-

1 2

D.

1 2

解析:将正四面体嵌入正方体中,计算易得 cosθ =

( 3 ) 2 ? ( 3 ) 2 ? (2 2 ) 2 2? 3 ? 3

=-

1 (设正方体的棱长为 2). 3

答案:A 【例 2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离. 解:如图,设正八面体的棱长为 4a,以中心 O 为原点,对角线 DB、AC、QP 为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,-2 2 a,0) 、B(2 2 a,0,0) 、C(0,2 2 a,

0) 、P(0,0,2 2 a) ,设 E 为 BC 的中点,连结 PE、QE、OE,则∠PEQ=2∠PEO 即为 所求二面角的平面角,∵OE=2a,OP=2 2 a,∴tan∠PEO= 2 ,∠PEQ=2arctan 2 .设 n= (x,y,z)是 AB 与 PC 的公垂线的一个方向向量,则有 n· AB =x+y=0,n· PC =y-z=0, 解得
z P D A O C E B x Q y

n=(-1,1,1) ,所以向量 BC =(-2 2 a,2 2 a,0)在 n 上的射影长 d= 即为所求.

| n ? BC | 3

=

4 6a 3

特别提示
由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多,所以便于建立直角坐标系,运用解析法 处理.要注意恰当选取坐标原点,一般取其中心或顶点(如正四棱柱). 【例 3】 三个 12×12 cm 的正方形,如图,都被连结相邻两边中点的直线分成 A、B 两 片〔如图(1),把 6 片粘在一个正六边形的外面〔如图(2),然后折成多面体〔如图(3), 〕 〕 〕 求此多面体的体积.
B A

(1)

(2)

(3)

解法一: 补成一个正方体,如图甲,V=

1 1 V 正方体= ×123=864 cm3. 2 2

甲 乙 解法二:补成一个三棱锥,如图乙,V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864 cm3.

思考讨论
补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体,这是求多面体体积的常用方法. ●闯关训练 夯实基础 1.每个顶点处棱都是 3 条的正多面体共有 A.2 种 B.3 种

C.4 种

D.5 种

解析:正多面体只有 5 种. 答案:B 2.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为正方形 ABCD 的中心,E、F 分别为 AB、BC 的中点,则异面直线 C1O 与 EF 的距离为_____________.
D1 A1 B1 C1

D A E

O F B

C

答案:

2 4

培养能力 3.四面体的一条棱长是 x,其他各条棱长为 1. (1)把四面体的体积 V 表示为 x 的函数 f(x) ; (2)求 f(x)的值域; (3)求 f(x)的单调区间. 解: (1)设 BC=x,则 S 到平面 ABC 的垂足 O 是△ABC 的外心,连结 AO 并延长交 BC 于 D,则 D 是 BC 的中点,且 AD⊥BC,求得 AD=
S

4 ? x2 x ,S ?ABC = 2 4

4 ? x2 .

A

O D B

C

设△ABC 的外接圆的半径为 R,求得 R=

1 4 ? x2

,SO=

3 ? x2 , 4 ? x2

∴V=

1 x S ?ABC ·SO= 3 12

3 ? x 2 (0<x< 3 ).

(2)f(x)=

x 12

3 ? x2 =

1 12

x 2 ? (3 ? x 2 ) =
1 ). 8

1 12

3 9 ? (x 2 ? )2 ? , 2 4

∵0<x2<3,∴f(x)∈(0, (3)∵当 x=

6 时,f(x)取得最大值, 2

6 6 ] ,递减区间是[ , 3 ). 2 2 4.(文)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的中点.
又∵0<x< 3 ,∴f(x)的单调递增区间是(0,

D1 A1 M D A O B B1

C1

C

(1)求证:直线 B1O⊥平面 MAC; (2)求二面角 B1—MA—C 的大小. (1)证明:∵BB1⊥平面 ABCD,OB⊥AC, ∴B1O⊥AC. 连结 MO、MB1,则 MO= 3 ,B1O= 6 ,MB1=3. ∵MO2+B1O2=MB12,∴∠MOB1=90°. ∴B1O⊥MO. ∵MO∩AC=O,∴B1O⊥平面 MAC. (2)解:作 ON⊥AM 于点 N,连结 B1N. ∵B1O⊥平面 MAC,∴AM⊥平面 B1ON. ∴B1N⊥AM. ∴∠B1NO 就是二面角 B1—MA—C 的平面角. ∵AM= 5 ,CM= 5 ,∴AM=CM. 又 O 为 AC 的中点,∴OM⊥AC.则 ON=OAsin∠MAO= 2 ?

3 5

=

6 5

.

在 Rt△B1ON 中,tan∠B1NO=

B1O = 5, ON

∴∠B1NO=arctan 5 ,即所求二面角的大小为 arctan 5 . 说明:本题的两问是递进式的,第(1)问是为第(2)问作铺垫的.第(2)问中构造二 面角的平面角的方法是典型的三垂线法. (理)在边长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB 与 C1D1 的中点. (1)求证:四边形 A1ECF 是菱形; (2)求证:EF⊥平面 A1B1C; (3)求 A1B1 与平面 A1ECF 所成角的正切值. (1)证明:取 A1B1 的中点 G,连结 C1G、GE. ∵A1G∥FC1 且 A1G=FC1,∴A1GC1F 是平行四边形.∴A1F∥C1G.同理 C1G∥CE.∴A1F ∥CE.由勾股定理算得 A1E=A1F=CE=CF=

5 a,∴四边形 A1ECF 是菱形. 2 (2)证明:连结 C1B,∵E、F 分别为 AB 与 C1D1 的中点,∴C1F=BE.又 C1F∥BE, ∴C1FEB 为平行四边形.∴C1B∥EF.而 C1B⊥B1C, ∴EF⊥B1C.又四边形 A1ECF 是菱形, ∴EF⊥A1C.∴EF⊥面 A1B1C. (3) 由 解: (2) EF⊥平面 A1B1C, EF ? 平面 A1ECF, 知, 又 ∴平面 A1B1C⊥平面 A1ECF. ∴B1 在平面 A1ECF 上的射影在线段 A1C 上.∴∠B1A1C 就是 A1B1 与平面 A1ECF 所成的 角.

∵A1B1⊥B1C,在 Rt△A1B1C 中,tan∠B1A1C=

B1C = 2 .∴A1B1 与平面 A1ECF 所成角 A1 B1

的正切值为 2 . 探究创新 5.(2003 年烟台诊断性测试) (B)正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,且 AC 与 BD 交于点 O,E 为棱 DD1 的中点,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A—xyz,如图所示.
z A1 B1 C1 F O C D1 E D y

A B x

(1)求证:B1O⊥平面 EAC; (2)若点 F 在 EA 上且 B1F⊥AE,试求点 F 的坐标; (3)求二面角 B1—EA—C 的正弦值. (1)证明:由题设知下列各点的坐标: A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0) ,E(0,2,1) 1(2,0,2). ,B 由于 O 是正方形 ABCD 的中心, ∴O(1,1,0). ∴ B1O =(-1,1,-2) AC =(2,2,0) AE =(0,2,1). , , ∴ B1O · AC =(-1,1,-2)(2,2,0)=-1·2+1·2-2·0=0, · · B1O · AE =(-1,1,-2)(0,2,1)=-1·0+1·2-2·1=0. ∴ B1O ⊥ AC , B1O ⊥ AE . ∴B1O⊥平面 ACE. (2)解:设点 F 的坐标为 F(0,y,z) ,则 B1 F =(-2,y,z-2) , ∵ B1 F ⊥ AE , ∴ B1 F · AE =(-2,y,z-2)(0,2,1)=2y+z-2=0. · 又∵点 F 在 AE 上,∴ AF =λ AE (λ ∈R). 又 AF =(0,y,z) , ∴(0,y,z)=λ (0,2,1)=(0,2λ ,λ ). ①

? y ? 2? , 于是 ? ?z ? ??



2 4 2 ,y= ,z= , 5 5 5 4 2 ∴F(0, , ). 5 5
由①②可得λ = (3)解:∵B1O⊥平面 EAC,B1F⊥AE,连结 OF,由三垂线定理的逆定理得 OF⊥AE, ∴∠OFB1 即为二面角 B1—EA—C 的平面角. ∵| B1O |= (?1) 2 ? 12 ? (?2) 2 = 6 , 又 B1 F =(-2,

4 8 ,- ) , 5 5

6 5 4 8 ∴| B1 F |= (?2) 2 ? ( ) 2 ? (? ) 2 = . 5 5 5
在 Rt△B1OF 中,sin∠B1FO=

| B1O | | B1 F |

=

30 . 6

故二面角 B1—EA—C 的正弦值为

30 . 6

●思悟小结 1.割补法是求多面体体积的常用方法. 2.理解多面体、正多面体、凸多面体的概念,熟悉五种正多面体. ●教师下载中心 教学点睛 学习本节要使学生理解多面体、正多面体的概念. 拓展题例 【例 1】 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 CD1 和 BC1 所成的角是 A.60° B.45° C.90° D.120° 解析:连结 D1A1、AC,知△ACD1 是等边三角形,且 D1A∥BC1,所以 BC1 与 CD1 所成 的角是 60°. 答案:A 【例 2】 边长为 a 的正三角形,要拼接成一个正三棱柱且不剩料,应如何设计?(在图 中用虚线画出)
A

A1

O B B1 C1 C

解:设 O 为△ABC 的中心,连结 OA、OB、OC,并设 OA、OB、OC 的中点分别为 A1、 B1、C1,过 A1、B1、C1 分别向三边作垂线,则所得三个矩形即为三个侧面,三个角上的小 四边形拼在一起即为上底面. 【变式】 △ABC 若为一般三角形,又如何拼接? 【例 3】 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 A1B1 和 B1C1 的中点.

D1 A1 E B1 F

C1

D A B

C

(1)求二面角 B1—BF—E 的大小. (2)求点 D 到平面 BEF 的距离. (3)能否在棱 B1B 上找到一点 M,使 DM⊥面 BEF?若能,请确定点 M 的位置;若不 能,请说明理由. 解: (1)过 B1 作 B1G⊥BF 于 G,连结 EG,则由 EB1⊥面 B1BCC1,可知 EG⊥BF.
D1 A1 E N F B1 G H D A B M C C1

∴∠B1GE 是二面角 B1—BF—E 的平面角. 在 Rt△BB1F 中,B1B=a,B1F= ∴BF= B1 B 2 ? B1 F 2 =

a , 2

5 a, 2

a B B ? B1 F 2 = 5 a. B1G= 1 = 5 BF 5 a 2 a?
5 a ,B1G= a, 5 2 a B1 E 5 ∴tan∠B1GE= = 2 = . 2 B1G 5 a 5
在 Rt△B1GE 中,B1E= ∴∠B1GE=arctan

5 . 2 5 . 2

故二面角 B1—BF—E 的大小为 arctan

(2)连结 B1D1 与 EF 交于 N, 则 EF⊥B1D1.又 BB1⊥EF, ∴EF⊥面 BB1D1D.又 EF ? 面 BEF, ∴面 BEF⊥面 BB1D1D,且面 BEF∩面 BB1D1D=BN. 过 D 作 DH⊥BN 于 H,则 DH⊥面 BEF. ∴DH 的长即为点 D 到面 BEF 的距离. 在矩形 BB1D1D 中, 易证△BDH∽△NBB1,



BB1 ? DB a ? 2 a 4 DH DB 4 = ,DH= = = a.故点 D 到面 BEF 的距离为 a. BB1 BN 3 3 BN 3 2 a 4

(3)在平面 BB1D1D 中,延长 DH 交 BB1 于 M,由(2) ,DH⊥面 BEF, ∴DM⊥面 BEF. 由△BDM∽△B1BN,有

BM BD = , B1 N BB1

BD ? B1 N ∴BM= = BB1

2a ?

2 a 4 =a . a 2

则 M 为 BB1 的中点. 故在棱 BB1 上可找到点 M,使 DM⊥面 BEF,此时 M 为 BB1 的中点.


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图