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【三维设计】2013版高中数学 第1部分 第二章末小结 知识整合与阶段检测课件 新人教A版必修1


章末 小结 第 二 章 知识 整合 与阶 段检 测

核心要点归纳

阶段质量检测

一、指数函数 1.根式 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其 中n>1,且n∈N .式子 数,a叫做被开方数.
*

n

a 叫做根式,其中n叫做根指

(1)当n为奇数时, n

n

an =a;当n为偶数时,

? ?a(a≥0), n a =|a|=? ? ?-a(a<0).

(2)0的任何次方根都是0,记作 0=0. (3)负数没有偶次方根.

n

2.分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂:a n∈N*,且n>1). (2)正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数 幂的意义相仿,就是:a 且n>1).
? m n

m n



n

am (a>0,m,



1 a
m n



1 n am

(a>0,m,n∈N*,

(3)0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. (4)有理数指数幂的运算性质:ar· as=ar+s(a>0,r,s∈Q); (ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

3.指数函数的图象和性质 函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表: a>1 0<a<1

图 象

a>1

0<a<1

定义域
值域 定点 性 质 单调性

R
(0,+∞) 图象过定点(0,1) 在(-∞,+∞) 上 是增函数 当x>0时,ax>1; 在(-∞,+∞) 上是 减函数 当x>0时,0<ax<1;

函数值的 变化情况

当x=0时,ax=1; 当x=0时,ax=1;

当x<0时,0<ax<1

当x<0时,ax>1

[说明] (1)指数函数的底数决定其单调性,当底数不确 定时,要注意分类讨论. (2)指数函数f(x)=ax具有性质:f(x+y)=f(x)· f(y),

f(1)=a≠0,因此满足性质f(x+y)=f(x)· f(y),f(1)=
a≠0的函数的一个原型就是指数函数.在解决有关抽象 函数的问题时,可以借助其原型解决有关问题.

二、对数函数 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做

以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底
数,N叫做真数. (1)对数式与指数式的互化:ax=N?logaN=x; (2)负数和零没有对数,loga1=0,logaa=1.

2.两个重要对数 (1)常用对数:以10为底的对数lg N; (2)自然对数:以无理数e=2.718 28…为底数的对数ln N.

3.对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M· N)=logaM+logaN; M (2)loga N =logaM-logaN; (3)logaMn=nlogaM(n∈R).

4.有关对数的一些等式 logcb (1)换底公式: logab= (a>0,且 a≠1; c>0, 且 c≠1;b>0); logca (2)对数恒等式:aloga N=N; (3)logaan=n.

5.对数函数的图象和性质

a>1

0<a<1




a>1
定义域(0,+∞) 值域R 性 质 恒过定点(1,0) 非奇非偶函数

0<a<1

在(0,+∞)上单调递增
当x>1时,y>0;当0<x<1 时,y<0

在(0,+∞)上单调递减
当x>1时,y<0;当0<x<1 时,y>0

三、幂函数的图象与性质
函数 定义域 值域 y=x R R y=x2 R {y|y≥0} y=x3 R R
1 2

y=x

1 y=x {x|x≠0} {y|y≠0}

{x|x≥0} {y|y≥0}

函数 奇偶性

y=x 奇函 数 在R

y=x

2

y= x

3

y=x

1 2

1 y=x 奇函数

偶函数 在(-∞,0) 上递减,在 (0,+∞) 上 递增

奇函 数

非奇非 偶函数

在 R 在(0,+ 上递 增 ∞) 上 递增

在(-∞,0) 和(0,+∞) 上递减

单调性

上递 增

函数

y=x

y=x

2

y=x

3

y=x

1 2

1 y=x

图象

过定点

(0,0),(1,1)

(1,1)

[说明]

比较两个幂的大小的方法

(1)当幂的底数相同,指数不同时,可以利用指数函

数的单调性比较.
(2)当幂的底数不同,指数相同时,可以利用幂函数 的单调性比较.

(3)当幂的底数和指数都不相同时,一种方法是
作商,通过商与1的大小关系确定两个幂的大小;另 一种方法是找到一个中间值,通过比较两个幂与中 间值的大小,从而确定两个幂的大小.


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