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高中数学不等式的恒成立问题


高中数学不等式的恒成立问题
高三数学备课组 肖英文 2011-11-23 不等式恒成立的问题既含参数又含变量,往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来, 具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式:一是证明某个不 等式恒成立,二是已知某个不等式恒成立,求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键 是转化化归,通过等价转化可以把问题顺利解决,下面我就结合自己教学谈谈不等式的恒成立 问题的处理方法。 题型一:构造函数法(利用一次函数的性质) 在解决不等式恒成立问题时, 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数, 即构造函数法, 然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确 定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更加面目更加清晰明了,一般来说,已知存 在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.例如; 类型 1:对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有:

?? x1 ? x2 ?? f ( x1) ? f ( x2 ) ? ? 0
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

?? x1 ? x2 ?? f ( x1) ? f (?x2 ) ? ? 0

又? f ( x) 是奇函数

(2) 解:? f ( x) ? m ? 2am ? 1 对所有 x ?? ?1,1? , a ?? ?1,1? 恒成立,即

? f ( x) 在 ??1,1? 上单调递增。

m2 ? 2am ? 1 ? fmax ,? fmax ? f (1) ? 1 ?m2 ? 2am ? 1 ? 1

? m2 ? 2am ? 0

?a ? 0 ?a ? 0 ? f ( m) ? 0 ,或(ⅱ) ? ;亦可合并定成 ? ; f ( x) ? 0恒成立 ? (ⅰ) ? ? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? f (m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 2 例 1.对于满足|a| ? 2 的所有实数 a,求使不等式 x +ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范围。
分析:在不等式中出现了两个字母:x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作 为常数。显然可将 a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于 a 的一次函数大于 0 恒成立的问题。 2 解:原不等式转化为(x-1)a+x -2x+1>0, 2 设 f(a)= (x-1)a+x -2x+1,则 f(a)在[-2,2]上恒大于 0,故有:
2 ? x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? ?x ? 4x ? 3 ? 0 即 解得: ? ? 2 ? ? ? x ? 1或x ? ?1 ? f (2) ? ?x ? 1 ? 0

1 ? a ? ? ? ? g (?1) ? 1 ? 2a ? 0 ? 2 2 ?? 即 g (a) ? ?2am ? m ? 0 在 ??1,1? 上恒成立。? ? 1 ? g (1) ? 1 ? 2a ? 0 ?a ? ? ? 2 1 1 ?? ? a ? 。 2 2
例 2.已知不等式 解:由 似,于是我们可以设 的一切实数 恒成立 对 对任意的 移项得: 则不等式 恒成立.当 都成立,求 的取值范围. .不等式左侧与二次函数非常相 对满足 时,



∴x<-1 或 x>3. 引申:在不等式中出现 3 个字母: m 、 x 、 a

解得

故 的取值范围是

.

已知函数 f ( x ) 是定义在 ??1,1? 上的奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 a, b ?? ?1 ,1 ? , a ? b ? 0 ,有

f (a ) ? f (b) 2 ? 0, ( 1 )证明 f ( x ) 在 ??1,1? 上的单调性; ( 2 )若 f ( x) ? m ? 2am ? 1 对所有 a?b a ???1,1? 恒成立,求 m 的取值范围。
分析: 第一问是利用定义来证明函数的单调性, 第二问中出现了 3 个字母, 最终求的是 m 的 范围,所以根据上式将 m 当作变量,a 作为常量,而 x 则根据函数的单调性求出 f ( x ) 的最大值 即可。 (1) 简证:任取 x1, x2 ?? ?1,1? 且 x1 ? x2 ,则 ? x2 ?? ?1,1?

评注:此类问题常因思维定势,学生易把它看成关于 的不等式讨论,从而因计算繁琐出 错或者中途夭折;若转换一下思路,把待求的 x 为参数,以 为变量,令 则问题转化为求一次函数(或常数函数) 的值在 内恒 为负的问题,再来求解参数 应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 题型二:分离参数法 类型 1: f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) min ? ? f ( x) ? ? 对一切x ? I 恒成立 .

? f ( x)max ? ? 类型 2: f ( x) ? g ( x) 对于任意的 x ? [a, b] 恒成立 ? f ( x)min ? g ( x)max ,或 f ( x) 在

x ? [a, b] 上的图像始终在 g ( x) 的上方.(通常移项,使 h( x) min ? f ( x) ? g ( x) ? 0 即可; 若 h( x) 的最值无法求出,则考虑数形结合,只需在 x ? [a, b] 上 f ( x) 的图像始终在 g ( x) 的
上方即可.) 在不等式中求含参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其 它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求时, 常用分离参数法. 例 3.设奇函数 f ( x)在[?1,1] 上是增函数,且 f (?1) ? ?1, 若函数 f ( x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的 x ? [?1,1] 都成立,当 a ? [?1,1] 时,则 t 的取值范围是( D ) A. ? 2 ? t ? 2 例 4.已知函数 在区间 上是减函数. 都有 在 上恒成立,求实数 的取值范 B. ? 当

解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数 恒成立,所以函数 时, 所以



的图象,由于不等式 的图象下方,因此,

的图象应总在函数 故 的取值范围是

1 1 ?t ? 2 2

C. t ? 2或t ? ?2或t ? 0

D. t ?

1 1 或t ? ? 或t ? 0 2 2

( 为常数)是实数集

上的奇函数,函数

注:解决不等式问题经常要结合函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个函 数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构 造函数,准确做出函数的图象.如:不等式 在区间 在 上是减函数. 上恒成立 ,在 时恒成立,求 的取

(Ⅰ)若对(Ⅰ)中的任意实数 围. 解析:由题意知,函数

值范围.此不等式为超越不等式,求解时一般使用数形结合法,设 然 后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象,借助图象观察便可求解. 题型四:最值法 当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时,可直接求出这个最值(最值可能含 有参数),然后建立关于参数的不等式求解. 例 6. 已知函数 时,求 的单调区间; 恒成立,求实数 的取值范围. 即 恒成立.由于 ,

注:此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数, 于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于 取值范围内的任一个数都有 立,则 ;若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立,则 恒成

(Ⅰ)当 (Ⅱ)若 解(Ⅱ)当

时,不等式 时,不等式

. 题型三:数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时,可通过图象、图形的位 置关系建立不等式求得参数范围.

,亦即 例 5.已知函数 范围是 若不等式 . 恒成立,则实数 的取值 ,由 得 .且当

,所以 时,

.令 ;当 时,

,则 ,





上单调递增,在

上单调递减,所以



处取得极大值



也就是函数

在定义域上的最大值.因此要使

恒成立,需要

,所以 的

? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立
b ? b ? ? b ? ? ?? ≤ ? ≤ ? ?? ?? ?? ? ? 2a 或? 或 ? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0
例 8.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ,在 R 上 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。 分析: y ? f ( x) 的函数图像都在 X 轴上方,即与 X 轴没有交点。
2

取值范围为 . 例 7.对于任意实数 x,不等式│x+1│+│x-2│>a 恒成立,求实数 a 的取值范围分析①:把左 边看作 x 的函数关系,就可利用函数最值求解. 解法 1:设 f(x)=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,(x≤1)3,(-1<x≤2)2x-1,(x>2) ∴f(x)min=3. ∴a<3. 分析②:利用绝对值不等式│a│-│b│<│a±b│<│a│+│b│求解 f(x)=│x+1│+ │x-2│的最小值. 解法 2:设 f(x)=│x+1│+│x-2│, ∵│x+1│+│x-2│≥│(x+1)-(x-2)│=3, ∴f(x)min=3. ∴a<3. 分析③:利用绝对值的几何意义求解. 解法 3:设 x、-1、2 在数轴上的对应点分别是 P、A、B,则│x+1│+│x-2│=│PA│+│ PB│,当点 P 在线段 AB 上时,│PA│+│PB│=│AB│=3,当点 P 不在线段 AB 上时,│PA│+│ PB│>3,因此不论点 P 在何处,总有│PA│+│PB│≥3,而当 a<3 时,│PA│+│PB│>a 恒 成立,即对任意实数 x,不等式│x+1│+│x-2│>a 恒成立.∴实数 a 的取值范围为(-∞,3). 点评: 求 “恒成立问题” 中参数范围, 利用函数最值方便自然, 利用二次不等式恒为正 (负) 的充要条件要分情况讨论,利用图象法直观形象. 从图象上直观得到 0<m<1 后,还需考查区间(0,)右端点 x=处的函数值的大小,这一 点往往被忽视. 题型五:利用一元二次函数的判别式 类型 1:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) (1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 . 类型 2:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

略解: ? ? a2 ? 4 ?3 ? a ? ? a2 ? 4a ?12 ? 0 ??6 ? a ? 2
2

变式 1:若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

a ? a2 ? 解: f ( x) ? ? x ? ? ? ? a ? 3 ,令 f ( x) 在 ? ?2,2? 上的最小值为 g (a) 。 2? 4 ? a 7 ⑴当 ? ? ?2 ,即 a ? 4 时, g (a) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又? a ? 4 2 3 ? a 不存在。 a a a2 ? ? ?a? ? 3 0 ??6 ? a ? 2 又 ⑵ 当 ? 2 ? ? ? 2 , 即 ?4 ? a ? 4 时 , g ( a ) ? f ( ) 2 2 4 ? ?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2 a ⑶当 ? ? 2 ,即 a ? ?4 时, g (a) ? f (2) ? 7 ? a ? 0 ? a ? ?7 又? a ? ?4 ??7 ? a ? ?4 2 总上所述, ?7 ? a ? 2 。 变式 2:若 x ?? ?2,2? 时, f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。
解法一:分析:题目中要证明 f ( x) ? a 在 ? ?2,2? 上恒成立,若把 a 移到等号的左边,则把原题 转化成左边二次函数在区间 ? ?2,2? 时恒大于等于 0 的问题。
2 2

略解: f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ? 2 ? 0 ,即 f ( x) ? x ? ax ? 1 ? a ? 0 在 ? ?2,2? 上成立。
2

b ? b ? ? b ?? ? ? ?? ≤ ? ≤ ? ?? ? ? (1) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或 ? 2a , 2a ? ? ? ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0

⑴ ? ? a ? 4 ?1 ? a ? ? 0 ??2 ? 2 2 ? a ? ?2 ? 2 2

?? ? a 2 ? 4(1 ? a) ? 0 ? f (2) ? 0 ? ? ⑵ ? f (?2) ? 0 ? ?5 ? a ? ?2 2 ? 2 ? ?? a ? 2或 ? a ? ?2 ? ? 2 2 综上所述, ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 。
解法二: (利用根的分布情况知识) ⑴当 ?

—2

2

a 5 ? ?2 ,即 a ? 4 时, g (a) ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 2 ? a ? ? ? 4, ?? ? ? a 不存在。 2 3 a a a2 )f ? ( ? ) ?a? ? 3 ⑵ 当 ? 2 ? ? ? 2 , 即 ?4 ? a ? 4 时 , g ( a ? , 2 2 4 -2 2 ? 2 ? a ? 2 2 ? 2 ? ?4 ? a ? 2 2 ? 2 a ⑶当 ? ? 2 ,即 a ? ?4 时, g (a) ? f (2) ? 7 ? a ? 2 ,? a ? ?5 ??5 ? a ? ?4 2 综上所述 ? 5 ? a ? 2 2 ? 2 。
此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定的情形,还有与其相反的,轴动区间定。 综上,恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的一个热门题 型,它以“参数处理”为主要特征,以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、 最值等有关,所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来,通过函数最值求解相关问题. 不等式恒成立问题,因题目涉及知识面广,解题方法灵活多样,技巧性强,难度大等特点,要 求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力,上述方法是比较常用的,但因为问题形式 千变万化,考题亦常考常新,因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学,在平时的 训练中不断领悟和总结,教师也要介入心理辅导和思想方法指导,从而促使学生在解决此类问 题的能力上得到改善和提高.

2


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