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2012届华师一附中高一年级课外基础训练题(八)---任意角的三角函数答案


高一课外基础训练题(八)
? ? 3 15 ?cos x(? ? x ? 0) 1.设f(x)是定义域为R,最小正周期为 π 的函数,若f(x)= ? 则f(- π )的值等于 2 2 4 ?sin x(0 ? x ? ? ) ?
_______________. 解:f(x)的最小正周期为

3? 15 15? 3? 3? 3? 3? ? ,∴f(- π )=f(·2)=f()=f(+ ) 2 4 4 2 4 4 2

=f(

3? 3? ? ? 2 )=sin =sin(π - )=sin = . 4 4 4 4 2
2 2 6 8

2. 已知 cos ? +cos ? =1,则 sin ? +sin ? +sin ? =______________. 2 6 8 2 4 2 4 2 4 2 2 解:sin ? +sin ? +sin ? =sin ? +sin ? (sin ? +sin ? )=sin ? +sin ? (sin ? +cos ? )= 2 4 2 2 sin ? +sin ? =sin ? +cos ? =1. 3.已知 f ( n) ? sin(

n? ) ? 1( n ? N ) ,则 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2008)= 2 解:原式 ? 2009 .



4.已知|logsinα cosα |<|logcosα sinα |(α 为锐角),则α 的取值范围为______________. 解:|logsinα cosα |<|logcosα sinα |,即

lg cos ? lg sin ? 2 2 ,即|lgsinα | >|lgcosα | , ? lg sin? lg cos ?

即|lgsinα |>|lgcosα |.∵lgsinα <0, lgcosα <0, ∴lgsinα <lgcosα .∴sinα <cosα . 且α ∈ (0, ) ,

?

2

∴α 的取值范围是 (0, ) . 5.若sin(

?

? 2? -α )=a,则cos( -α )=_____________. 3 6 2? ? ? ? ? ? 解:cos( -α )=cos[π -( +α )]=-cos( +α )=-sin[ -( +α )]=-sin( -α )=-a. 3 3 3 2 3 6

4

6.求值:sin 6900 ? sin1500 ? cos9300 ? cos8700 ? tan1200 ? tan(?10500 ) ? sin(?3300 ) =_____________. 解:原式=sin(2×360°-30°)·sin(180°-30°)+cos210°·cos(2×360°+150°) +tan(180°-60°)·tan(3×360°-30°)+

1 2 1 2

=(-sin30°)·sin30°+cos210°·cos150°+(-tan60°)·(-tan30°) + =-sin 30°+(-cos30°)(-cos30°)+tan60°·tan30°+ 7. 已知集合P ? {x | x ? 2 cos 解: P ? Q 8.若 sinα +cosα = 2 ,则 tanα +cotα =_______________;
2

k? 2k ? 3 Q之间的关系是___________. , k ? Z},Q ? {x | x ? 2 sin ? , k ? Z} 则P, 3 6

1 1 1 2 2 2 =cos 30°-sin 30°+1+ =2cos 30°+ = 2 . 2 2 2

1

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? 1 解: (1)tanα +cotα = 。由sinα +cosα = 2 ,则 ? ? ? cos? sin ? sin ? cos? sin ? cos?
sin α +cos α +2sinα cosα =2,则sinα cosα = 9.已知函数 f ( n) ? sin 解:原式 ? ( ) .
34
2 2

n? (n∈N*) ,则 f(1)·f(3)·f(5)·…·f(101)=_________________. 6

1 . ∴tanα +cotα =2. 2

10.当 ? ? (0,

) 时,试比较 ? ,sin ? , tan ? 的大小:_____________________(用不等号连接) 。 2 解: sin ? ? ? ? tan ? m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? , ? ? ? ? ,则 m 的取值为________________。 11.若 sin ? ? m?5 m?5 2 解: m ? 8 .
12.已知 f (? ) ? 解: ?

?

1 2

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan( ?? ? cos (?? ? ? )

3? ) 2 ,则 f (? 31? ) 的值为_____________. 3

1 2

1 (0 ? ? ? ?) , tan ? ? _______, sin3 ? ? cos3 ? ? ________. 5 12 ? , 0 ? ? ? ? , 得 cos ? ? 0,?? ? ( , ? ), 解:由 sin ? cos ? ? ? 25 2 49 7 2 ,? sin ? ? cos ? ? , 由 (sin ? ? cos ? ) ? 25 5
13. 已知 sin ? ? cos ? ?

? ?sin ? ? cos ? ? ? 联立 ? ?sin ? ? cos ? ? ? ?

1 4 ? ? sin ? ? 5 4 4 3 91 5? ? t an? ? ? ; sin 3 ? ? cos 3 ? ? ( ) 3 ? (? ) 3 ? ? 7 3 5 5 125 3 ?cos ? ? ? 5 5 ?

9 2 2 ,则 tan ? +sec ? ·csc ? +cot =_____________。 8 sin 2 ? ? cos 2 ? 9 8 9 ? ,即sin ? ? cos ? ? ,∴tan2 ? +sec ? ·csc ? +cot2 ? 解:∵ tan ? ? cot ? ? ,∴ sin ? ? cos ? 8 9 8 1 9 9 25 2 =(tan ? +cot ? ) -2+ 。 ? ( )2 ? 2 ? ? sin? ? cos ? 8 8 64
14. 已知 tan ? ? cot ? ? 15.若

1 ? sin x ? tan x ? sec x, 则x的取值范围是 _______________.. 1 ? sin x ? 3? (k ? Z ) 解: 2k? ? ? x ? 2k? ? 2 2
若 tan ? ?

16.

2mn 2 2 2 , | m |?| n |,mn ? 0 ,则 2mncos ? -(m -n )sin ? ·cos ? =______________。 2 2 m ?n 1 1 1 解:原式= 2mn ? (m2 ? n2 ) tan ? ? cos 2 ? ? 2mn 2 ? (m2 ? n2 ) tan ? ? 2 2 sec ? sec sec ?
2

?

1 2mn 1 [2mn ? (m2 ? n2 ) 2 ]? (2mn ? 2mn) ? 0 。 2 sec? m ?n sec2 ?

17.是否存在 ? , ? , ? ∈(-

? ? ? , ), ? ∈(0, π ),使等式 sin(3? ? ? ) ? 2 cos( ? ? ) , 2 2 2

3 cos(?? ) ? ? 2 cos(? ? ? ) 同时成立。若存在,求出α 、β 的值;若不存在,请说明理由。
解:由条件得: ?

?sin ? ? 2 sin ? , (1) ? 2 2 2 2 (1) +(2) 得sin α +3cos α =2, ? 3 cos? ? 2 cos ? , (2) ?

∴sin α = ∴β =

2

1 ? ? ? ? ? 3 ,而α ∈(- , ), ∴α = 或α =- 。将α = 代入(2)得cosβ = ,又β ∈(0, π ), 2 2 2 4 4 4 2

? ? ? ? ? 代入(1)符合。将α =- 代入(2)得β = 代入(1)不适合。即α = , β = . 6 4 6 4 6
2 2 2 2 2

18. 已知 3sin α +2sin β =2sinα ,求 sin α +sin β 的取值范围.

3 3 2 2 2 2 2 sin α , ① 则有 y=sin α +sin β =sin α +sinα - sin α 2 2 1 3 2 1 2 1 2 2 1 =- (sinα -1) + .由①知 0≤sinα - sin α ≤1.解得 0≤sinα ≤ .∵函数 y=- (sinα -1) + 2 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 在[0, ]上是增函数,∴当 sinα =0 时,ymin=0;当 sinα = 时,ymax= .∴sin α +sin β 的取值范围 3 3 9 4 是[0, ]. 9
解:由已知得 sin β =sinα 19.求下列函数的值域: (1) y ? 2sin x ? 2cos x ? 3 ;
2

(2) y ?

tan2 x ? 1 ; tan2 x ? 1
1 2

1 . 2 3 1 1 ? 9 1 ? ?1 ? cos x ? 1. ? ? ? cos x ? ? ,? 0 ? (cos x ? ) 2 ? ,? ?5 ? y ? ? .即原函数的值域 2 2 2 2 4 2 1 为 [ ?5,? ] 2
2 2 解: (1) y ? ?2 cos x ? 2 cos x ? 1 ? ?2(cos x ? ) ?

(2)令 t ? tan x ,则 y ? 数的值域为 ? ?1,1? . 20.已知函数 f ( x) ?

t 2 ?1 2 1? y 1? y 2 ? 0, ? ?1 ? y ? 1 ,故原函 .?t ? R ,且 t ? 0 ,? ?t ? 2 1? y 1? y t ?1

6 cos 4 x ? 5sin 2 x ? 4 ,求 f (x) 的定义域判断它的奇偶性,并求其值域. 2 cos 2 x ? 1

2 k ? 为 x{x | x ? R, 且x ? ? ? , k ? Z} .因为 f (x) 的定义域关于原点对称. 2 4

解:由 cos 2 x ? 0 ,得 2 x ? k? ?

?

,解得 x ?

k? ? ? , k ? Z .∴ f (x) 的定义域 2 4

3

且 f ( ? x) ?

6 cos4 (? x) ? 5 sin 2 (1 ? x) ? 4 6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 ? ? f ( x) ,∴ f (x) 是偶函数.当 cos 2 x cos(?2 x)

x?

6 cos4 x ? 5 sin 2 x ? 4 (2 cos2 x ? 1)(3 cos2 x ? 1) k? ? ? , k ? Z 时, f ( x) ? ? ? 3 cos2 x ? 1 . 2 4 cos2 x cos2 x
? ? 1 1 ? 或 ? y ? 2? 2 2 ?

所以 f (x) 的值域为 ? y | ?1 ? y ?

4


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