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【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(文)精品课件:第一章 1.1集合的概念与运算


数学 B(文)

第一章

集合与常用逻辑用语

§1.1 集合的概念与运算

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

基础知识·自主学习
1.集合与元素

知识梳理

(1)集合元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、 无序性 .
(2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 关系,用符号 ∈ 或 ? 表示.

(3)集合的表示法: 列举法 、 描述法 、 图示法 .
(4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 N+(或N*) 整数集 有理数集 实数集 Q Z R

符号

N

基础知识·自主学习
2.集合间的关系 关系 子集 自然语言 集合A中所有元素都在 集合B中(即若x∈A, 则x∈B) 集合A是集合B的子集, 真子集 且集合B中至少有一个 元素不在集合A中
A B(或 B A)

知识梳理

符号语言 A?B(或B?A)

维恩图

基础知识·自主学习

知识梳理

集合 集合A,B中元素相同或集
相等 合A,B互为子集

A=B

基础知识·自主学习
3.集合的运算 集合的并集 图形 符号 集合的交集

知识梳理

集合的补集

A∪B={x|x∈
A或x∈B}

A∩B={x|x∈
A且x∈B}

?UA={x|x∈U,且x
?A }

基础知识·自主学习
4.集合关系与运算的常用结论

知识梳理

(1)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为 2n 个 ,

非空子集个数为 2n-1 个,真子集有 2n-1 个.
(2)A?B?A∩B= A ?A∪B= B .

基础知识·自主学习
? 思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

知识梳理

(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × )

)

(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)?(A∪B)恒成立.( √

)

基础知识·自主学习

知识梳理

(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( × ) (5)已知集合M={1,2,3,4},N={2,3},则M∩N=N.( √ ) )

(6)若全集U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<4},则?UP={2}.( √

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
A A C
?3 4? ? ? , ?4 3? ? ?

解析

2
3

4

A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3}, 根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数, 则这个整数为2, 所以有f(2)≤0且f(3)>0,

因为函数 y =f(x) =x2- 2ax -1 的对称轴为 x =a>0 ,f(0) =- 1<0 ,

? 3 ? ?a≥4, ?4-4a-1≤0, 即? 所以? ? ?9-6a-1>0, ?a<4. ? 3

3 4 即 ≤a< . 4 3

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一

个元素,则a等于(
A.4 C.0

)
B.2 D.0或4

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一

不要忽视集 合 中 元素 的 互异性.

个元素,则a等于(
A.4 C.0

)
B.2 D.0或4

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

当 a = 0 时,方程化为 1 = 0 ,

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一

无解,集合A为空集,不符
合题意; 当a≠0时,由Δ=a2-4a= 0,解得a=4.

个元素,则a等于(
A.4 C.0

)
B.2 D.0或4

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

当 a = 0 时,方程化为 1 = 0 ,

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一

无解,集合A为空集,不符
合题意; 当a≠0时,由Δ=a2-4a= 0,解得a=4.

个元素,则a等于( A )
A.4 C.0 B.2 D.0或4

题型分类·深度剖析 题型一
例1

集合的基本概念

思维点拨

解析

答案

思维升华

(1)(2013· 江西 ) 若集合 A =

用描述法表 示 集 合 , 首 先要搞清楚 集 合 中代 表 元素的含义 , 再 看元 素

{x∈R|ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一

个元素,则a等于( A )
A.4 C.0 B.2 D.0或4

的限制条件 , 明白集合
的 类 型 ,是 数 集 、点 集

还是其他类型集合;

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

例1

(2)设 a,b∈R,集合{1,a b-a=

? ? b ? ? ? +b,a}=?0,a,b? ,则 ? ? ?

________.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

例1

(2)设 a,b∈R,集合{1,a b-a=

? ? b ? ? ? +b,a}=?0,a,b? ,则 ? ? ?

不要忽视集 合 中 元素 的 互异性.

________.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

(2)设 a,b∈R,集合{1,a 因为{1,a+b,a}= ? ? b ? ? ? ? b ? ? ?0, ,b?,a≠0, ?,则 b-a= ? 0 , , b + b , a} = ? ? a ? ? ? ? a

例1

?

?

________.

b 所以 a+b=0,得a=-1,

所以a=-1,b=1. 所以b-a=2.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

(2)设 a,b∈R,集合{1,a 因为{1,a+b,a}= ? ? b ? ? ? ? b ? ? ?0, ,b?,a≠0, ?,则 b-a= ? 0 , , b + b , a} = ? ? a ? ? ? ? a

例1

?

?

2 ________.

b 所以 a+b=0,得a=-1,

所以a=-1,b=1. 所以b-a=2.

题型分类·深度剖析
思维点拨 解析 答案 思维升华

例1

(2)设 a,b∈R,集合{1,a b-a=

? ? b ? ? ? +b,a}=?0,a,b? ,则 ? ? ?

集合中元素 的 互 异性 常 常容易忽略 , 求 解问 题 时要特别注 意 . 分类 讨 论的思想方 法 常 用于 解 决集合问题.

2 ________.

题型分类·深度剖析
跟踪训练1
A.3 (1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+ B.4 C.5 D.6 b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( B )

解析

因为集合M中的元素x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b

=4时,a=1,2,3,此时x=5,6,7.

当b=5时,a=1,2,3,此时x=6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知,x=5,6,7,8.

即M={5,6,7,8},共有4个元素.

题型分类·深度剖析
(2) 已 知 集 合 A = {m + 2,2m2 + m} , 若 3∈A , 则 m 的 值 为 ________. 解析 因为3∈A,
所以m+2=3或2m2+m=3. 当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3, 此时集合A中有重复元素3, 所以m=1不符合题意,舍去;

题型分类·深度剖析
(2) 已 知 集 合 A = {m + 2,2m2 + m} , 若 3∈A , 则 m 的 值 为
3 -2 ________ .

3 当 2m +m=3 时,解得 m=- 或 m=1(舍去), 2
2

3 1 3 此时当 m=- 时,m+2= ≠3 符合题意,所以 m=- . 2 2 2

题型分类·深度剖析 题型二
例2

集合间的基本关系

解析

答案

思维升华

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x

+2=0,x∈R},B={x|0<x<5, x∈N},则满足条件A?C?B的集 合C的个数为( A.1 ) B.2

C.3

D.4

题型分类·深度剖析 题型二
例2

集合间的基本关系

解析

答案

思维升华

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x 由 x2 - 3x + 2 = 0 得 A =

+2=0,x∈R},B={x|0<x<5, {1,2}. x∈N},则满足条件A?C?B的集 又B={1,2,3,4}. 合C的个数为( A.1 ) B.2
∴满足A?C?B的集合C可以 是{1,2},{1,2,3},{1,2,4}, {1,2,3,4}共4个.

C.3

D.4

题型分类·深度剖析 题型二
例2

集合间的基本关系

解析

答案

思维升华

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x 由 x2 - 3x + 2 = 0 得 A =

+2=0,x∈R},B={x|0<x<5, {1,2}. x∈N},则满足条件A?C?B的集 又B={1,2,3,4}. 合C的个数为( D ) A.1 B.2
∴满足A?C?B的集合C可以 是{1,2},{1,2,3},{1,2,4}, {1,2,3,4}共4个.

C.3

D.4

题型分类·深度剖析 题型二
例2

集合间的基本关系

解析

答案

思维升华

(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x

+2=0,x∈R},B={x|0<x<5, x∈N},则满足条件A?C?B的集 合C的个数为( D ) A.1 B.2

空集是任何集合的子集, 在涉及集合关系时,必须 优先考虑空集的情况,否

C.3

D.4

则会造成漏解;

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},
B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,则 实数m的取值范围是________.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7}, 当B=?时,有m+1≥2m-1,
B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,则 则m≤2. 当B≠?时,若B?A,如图. 实数m的取值范围是________.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},

?m+1≥-2 ? B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,则 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1 实数m的取值范围是________.



解得2<m≤4. 综上,m的取值范围为m≤4.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},

?m+1≥-2 ? B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,则 则?2m-1≤7 ? ?m+1<2m-1 -∞,4]. 实数m的取值范围是( ________



解得2<m≤4. 综上,m的取值范围为m≤4.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例2 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7},已知两个集合间的关系求参
B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,则 -∞,4]. 实数m的取值范围是( ________

数时,关键是将条件转化为

元素或区间端点间的关系,
进而转化为参数所满足的关

系.常用数轴、维恩图来直
观解决这类问题.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 (1)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,

y1)∈M,存在(x2 ,y2)∈M,使得x1x2 +y1y2=0成立,则称集合 M是“Ω集合”.给出下列4个集合:①M={(x,y)|y=1 }; x ②M={(x,y)|y=ex-2};③M={(x,y)|y=cos x};④M={(x,
y)|y=ln x}.其中所有“Ω集合”的序号是( A.②③ C.①②④ B.③④ D.①③④ )

题型分类·深度剖析
解析 方法一 对于①若x1x2+y1y2=0,
1 1 则 x1x2+x · =0, x 1 2

即(x1x2)2=-1,显然①错误.
对于④取(1,0)∈M,由(x2,y2)∈M, 则x1x2+y1y2=1×x2+0×y2=x2>0, 显然④错误.故选A.

题型分类·深度剖析

方法二

设点A(x1,y1)为函数f(x)图象上任意一点,由已知

存在点B(x2,y2)满足x1x2+y1y2=0 ,有OA⊥OB ,作出各函 数图象,观察即得结论.

答案 A

题型分类·深度剖析
(2) 已知集合 A = {x|y = lg(x - x2)} , B = {x|x2 - cx<0 , c>0} ,若
A?B,则实数c的取值范围是( B )

A.(0,1]
C.(0,1)

B.[1,+∞)
D.(1,+∞)

A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,

c>0}=(0,c),
因为A?B,画出数轴,如图所示,得c≥1.

题型分类·深度剖析 题型三
例3

集合的基本运算

解析

答案

思维升华

(1)(2014· 辽宁)已知全集U=

R , A = {x|x≤0} , B = {x|x≥1} , 则集合?U(A∪B)等于( A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} ) B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

题型分类·深度剖析 题型三
例3

集合的基本运算

解析

答案

思维升华

(1)(2014· 辽宁)已知全集U=

∵A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0或x≥1}, 在数轴上表示如图.

R , A = {x|x≤0} , B = {x|x≥1} , 则集合?U(A∪B)等于( A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} ) B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

∴?U(A∪B)={x|0<x<1}.

题型分类·深度剖析 题型三
例3

集合的基本运算

解析

答案

思维升华

(1)(2014· 辽宁)已知全集U=

∵A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0或x≥1}, 在数轴上表示如图.

R , A = {x|x≤0} , B = {x|x≥1} , 则集合?U(A∪B)等于( D ) A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}

∴?U(A∪B)={x|0<x<1}.

题型分类·深度剖析 题型三
例3

集合的基本运算

解析

答案

思维升华

(1)(2014· 辽宁)已知全集U= 一般来讲,集合中的元素若

R , A = {x|x≤0} , B = {x|x≥1} , 是离散的,则用维恩图表示; 则集合?U(A∪B)等于( D ) A.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} B.{x|x≤1} D.{x|0<x<1}
集合中的元素若是连续的实

数,则用数轴表示,此时要
注意端点的情况.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3 (2)设U=R,集合A={x|x2

+ 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 + (m + 1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则m的值是________.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3 (2)设U=R,集合A={x|x2

A={-2,-1}, 由(?UA)∩B=?,得B?A, ∵ 方程 x2 + (m + 1)x + m = 0 的判别式 Δ = (m + 1)2 - 4m

+ 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 + (m + 1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则m的值是________.

=(m-1)2≥0,∴B≠?.
∴B={-1}或B={-2}或B

={-1,-2}.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3 (2)设U=R,集合A={x|x2 ①若B={-1},则m=1;

+ 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 + (m + ②若B={-2},则应有-(m 1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则m的值是________.
+1)=(-2)+(-2)=-4, 且m=(-2)×(-2)=4,

这两式不能同时成立,
∴B≠{-2};

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2)设U=R,集合A={x|x2

③若 B = { - 1 ,- 2} ,则应 有- (m + 1) = ( - 1) + ( - 2) =- 3 ,且 m = ( - 1)×( - 2) =2,由这两式得m=2. 经检验知 m = 1 和 m = 2 符合 条件. ∴m=1或2.

+ 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 + (m + 1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?, 则m的值是________.

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3

(2)设U=R,集合A={x|x2

③若 B = { - 1 ,- 2} ,则应 有- (m + 1) = ( - 1) + ( - 2) =- 3 ,且 m = ( - 1)×( - 2) =2,由这两式得m=2. 经检验知 m = 1 和 m = 2 符合 条件. ∴m=1或2.

+ 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 + (m + 1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,
1或2 . 则m的值是________

题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华

例3 (2)设U=R,集合A={x|x2

+ 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 + (m + 1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,
1或2 . 则m的值是________

运算过程中要注意集合间的
特殊关系的使用,灵活使用 这些关系,会使运算简化.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)(2014· 浙江 ) 设全集 U = {x∈N|x≥2} ,集合 A

={x∈N|x2≥5},则?UA等于( B ) A.?
解析

B.{2}

C.{5}

D.{2,5}

因为 A={x∈N|x≤- 5或 x≥ 5},

所以?UA={x∈N|2≤x< 5},故?UA={2}.

题型分类·深度剖析
(2) 设集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠?,则 实数a的取值范围一定是( D ) A.-1≤a<2 C.a≥-1 B.a≤2 D.a>-1

解析 ∵M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且M∩N≠?,

如图只要a>-1即可.

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是_________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是_________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的实数根所构成的集

合,由B?A,可知集合B中的元素都在集合A中,在解题中
容易忽视方程无解,即B=?的情况,导致漏解.

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是_________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

解析 因为A={0,-4},所以B?A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4}, 由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是_________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

由根与系数的关系,得
?Δ=4?a+1?2-4?a2-1?>0, ? ?-2?a+1?=-4, ? 2 ?a -1=0,

解得 a=1;

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是_________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

②当B≠?且B A时,B={0}或B={-4},

并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,

(-∞,-1]∪{1} . x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是_________________
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

③当B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.

综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1.

题型分类·深度剖析 易错警示系列1 遗忘空集致误
典例:设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,

(-∞,-1]∪{1} . x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是_________________
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类
问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知

集合B ,若已知 A?B或 A∩B=?,则考生很容易忽视 A =?而造
成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.

思想方法·感悟提高
1 .集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异

方 法 与 技 巧

性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符
号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合 理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取 值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可

借助维恩图.这是数形结合思想的又一体现.

思想方法·感悟提高
1 .解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代 表元素(集合是点集、数集还是图形集).

失 误 与 防 范

2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,

时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属
关系;二是集合与集合的包含关系. 4.维恩图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补 运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意 端点是实心还是空心.

练出高分
1
2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

练出高分
1
2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

1.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={2,3},N={3,2}

)

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={2,3},N={(2,3)}

练出高分
1
2 3 4

A组
5

专项基础训练
6 7 8 9 10 11 12

解析

选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集,集

合 N 表示由点 (2,3) 所组成的单点集,故集合 M 与 N 不是同一

个集合.
选项C中的集合M表示由直线x+y=1上的所有点组成的集合, 集合 N 表示由直线 x + y = 1 上的所有点的纵坐标组成的集合, 即N={y|x+y=1}=R,故集合M与N不是同一个集合.

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选项D中的集合M是数集,而集合N是点集,故集合M与N 不是同一个集合. 对选项 B ,由集合元素的无序性,可知 M , N 表示同一个 集合. 答案 B

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2 . (2014· 课标全国 Ⅱ) 设集合 M = {0,1,2} , N = {x|x2 - 3x + 2≤0},则M∩N等于( D ) A.{1} 解析 B.{2} C.{0,1} D.{1,2}

由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0,

解得1≤x≤2,故N={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2}.

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3 .已知全集 S = {1 , 2 , a2 - 2a + 3} , A = {1 , a} , ? SA = {3},则实数a等于( D ) A.0或2
解析

B .0

C.1或2

D.2

?a=2, 由题意,知? 2 则 a=2. ?a -2a+3=3,

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4.已知集合M={x|x2-5x≤0},N={x|p<x<6},且M∩N=
{x|2<x≤q},则p+q等于( B )

A.6

B.7

C.8

D .9

解析 由题意得M={x|0≤x≤5},

画出数轴已知p=2,q=5.
所以p+q=7.

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5 . (2013· 辽宁 ) 已知集合 A = {x|0 < log4x < 1} , B = {x|x≤2} , 则A∩B等于( D ) A.(0,1) 解析 B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]

A={x|1<x<4},B={x|x≤2},

∴A∩B={x|1<x≤2}.

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6. 设全集U为整数集,集合A={x∈N|y=

7x-x2-6 } ,

B={x∈Z|-1<x≤3},则右图中阴影部分
表示的集合的真子集的个数为( 解析 因为A={x∈N|y= 6≥0}={x∈N|1≤x≤6}, )

7x-x2-6 } = {x∈N|7x - x2 -

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由题意知,图中阴影部分表示的集合为A∩B={1,2,3},

所以其真子集有:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},
共7个. 答案 C

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7.已知集合A={x|x>1},B={x|x2-2x<0},则A∪B等于( A ) A.{x|x>0} C.{x|1<x<2} B.{x|x>1} D.{x|0<x<2}

解析 由x2-2x<0,得0<x<2,

∴B={x|0<x<2},
故A∪B={x|x>0}.

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8 .已知集合 A = {x| - 1<x<0} , B = {x|x≤a} ,若 A?B ,则 a 的取值范围为( B ) A.(-∞,0] C.(-∞,0) B.[0,+∞) D.(0,+∞)

解析 用数轴表示集合 A,B(如图) 由A?B得a≥0.

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9.(2014· 重庆)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},

B={1,3,5,7,9},则(?UA)∩B=________.

{7,9}

解析 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},画出维恩图, 如图所示,阴影部分就是所要求的集合, 即(?UA)∩B={7,9}.

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10.已知全集U=R,集合A={x∈Z|y=

x-3 },

{3,4,5} B={x|x>5},则A∩(?UB)=________.
解析 ∵A={x∈Z|x≥3},?UB={x|x≤5}, ∴A∩(?UB)={3,4,5}.

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11.已知x∈R,y>0,集合A={x2+x+1,-x,-x-1}, y B={-y,- ,y+1}.若A=B,则x2+y2的值为_____. 2
由 x∈R,y>0 得 x2+x+1>0 , y -y<0,-2<0,y+1>0 , y 且-x>-x-1,-y<- . 2 解析

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?x2+x+1=y+1, ? ?-x-1=-y, 而 A=B,所以? ? y -x=- , ? 2 ?

得x=1,y=2,

从而集合A={3,-1,-2},B={-2,-1,3},
符合条件,故x2+y2=5. 答案 5

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12 .已知集合 A = {x|1≤x<5} , C = {x| - a<x≤a + 3} .若 (-∞,-1] . C∩A=C,则a的取值范围是___________ 解析 因为C∩A=C,所以C?A.

3 ①当 C=?时,满足 C?A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2 ?-a<a+3, ? 3 - a ≥ 1 , ? ②当 C≠?时,要使 C?A,则 解得- <a≤-1. 2 ? ?a+3<5, 综上,a的取值范围是(-∞,-1].

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13 . 设 集 合 A = {1,2,3,4,5,6} , B = {4,5,6,7,8} , 则 满 足 S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( B ) A.57 B.56 C.49 D.8

解析 集合S的个数为26-23=64-8=56.

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14.已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A}, 则B中所含元素的个数为( B )

A.2
解析

B.3

C.4

D.6

集合B中所满足条件的元素有(1,1),(1,2),(2,1),共3个.

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15.若集合A={x|x2-9x<0,x∈N

A∩B中元素个数为( D )

4 ∈N+},则 +},B={y| y

A.0 B .1 C.2 D.3 解析 由 A 得 x2 - 9x<0 , x∈N + ,所以 0<x<9 ,且 x∈N + , 得A={1,2,3,4,5,6,7,8}, 4 由 B 得 ∈N+ ,即 y = 1 、 2 、 4 ,得 B = {1,2,4} ,故 A∩B = y {1,2,4}.

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1 16.已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=x ,x>2},则?UP ?1 ? ? ? ,+ ∞ ?2 ? ? ? =________.

解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},
1 1 P={y|y= ,x>2}={y|0<y< }, x 2 ?1 ? 1 ? ∴?UP={y|y≥ }=?2,+∞? . ? 2 ? ?

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17.若x,y∈R,A={(x,y)|(x+1)2+y2=2},B={(x,y)|x + y + a = 0} , 当 A∩B≠ ? 时 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________,A∩B=?时,则实数a的取值范围是_________. 解析 观察得集合A表示的是以(-1,0)为圆心, 2 为半径的

圆上的点, B 表示的是直线 x + y + a = 0 上的点,若满足 A∩B≠?,只需直线与圆相切或相交.

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|a-1| 即满足不等式 ≤ 2,|a-1|≤2,-2≤a-1≤2, 2 即-1≤a≤3.

若A∩B=?时,只需直线与圆相离,
|a-1| 即满足不等式 > 2,即 a<-1 或 a>3. 2

答案 [-1,3] (-∞,-1)∪(3,+∞)

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18.已知集合A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=bx+1,b>0,

b≠1},若集合A∩B只有一个真子集,则实数a的取值范围 ,+∞). 是(1 ________
解析 由于集合B中的元素是指数函数y=bx的图象向上平移 一个单位长度后得到的函数图象上的所有点 ,要使集合 A∩B 只有一个真子集,那么 y = bx + 1(b>0 , b≠1)与 y = a 的 图象只能有一个交点,所以实数a的取值范围是(1,+∞).

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