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3.5.1二元一次不等式组所表示的平面区域


想 问题 一 在平面直角坐标系中,直线x+y-1=0 想 将平面分成几部分呢? y? 答:分成三部分:
1

(1)点在直线上
1

0

x (2)点在直线的右上方 x+y-1=0 (3)点在直线的左下方

?不等式x+y-1>0对应平面内哪部分的点呢?

探索规律

表示直线x +y-1=0 (1,1) (0,0) 右上方的平面区域; (2,0) (-1,0) 2、点集{(x,y)|x+y-1<0} 代入点的坐标 表示直线 x) +y-1=0 (2,1 (-1,1) 左下方的平面区域。 (-1,-1) (2,2) 3、直线x+y-1=0 正 叫做这两个 负 x+y-1值的正负 区域的边界。

区域内的点

直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直 线两侧的点的坐标代入x+y-1中,也等于 0吗?先完成下表,再观察有何规律呢? y 1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
右上方点 左下方点

1

0

1

x

x+y-1=0

同侧同号,异侧异号

画二元一次不等式表示的平面区域的步骤:

方法总结:

1、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+B y+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界(注意边界的虚实) 平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中,所得 2、 2、点定域(代入特殊点验证) 实数符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个 特别地,当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中,从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

典例精析
题型一:画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域

y
x+4y>4

(1)x +4y>4 变式: (2)x-y-4<0 (3)x-y-4>0

x+4y=4

o

x
x+4y<4

y
o
x-y-4>0 x-y-4=0

x

题型二:画二元一次不等式组表示的区域 例2、画出不等式组表示的平面区域。 y

x-y+5≥0 x+y≥0 x ≤3
画二元一次不等式组表 分析: 由于所求平面区域的点的坐 示的平面区域的步骤: 标需同时满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集,即公共部分。
-5

x-y+5=0
5

o

x
4

x+y=0

x=3

练习1. 画下列不等式表示的区域:
⑴ x-y+1<0 ⑵2x+3y≥6
Y

(3) 2x+y>0
y

Y
1 -1

左上方
X

右上方
2 O 3 X

o

o

x

右上方

注:若不等式不取=,则边界应画成虚线, 否则应画成实线。

练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域

?y ? x ? ?x ? 2 y ? 4 ? y ? ?2 ?

Y

2 o
-2

4 x

注:画图应非常准确,否则可能得不到正确结果。

跟踪练习

如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在区域应为:( )
y 1 O 2

B y
O y 1

1

y 1
O 2

(A)

χ

2

χ

(B)

(C)

χ

O

2

(D)

χ

例3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥 料,生产1车皮甲种肥料需用的主要原料 是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨,生产1车皮乙 种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨,硝 酸盐15吨,现有库存磷酸盐10吨,硝酸盐 66吨。如果在此基础上进行生产,设x,y 分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车 皮数,请列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。

解:设x,y分别是计划生产甲、乙两种混 合肥料的车皮数,则x,y所满足的数学关 系式为
? 4 x ? y ≤ 10 ?18 x ? 15 y ≤ 66 分别画出不等式组中, ? ? x≥0 ? 各不等式所表示的区域. ? y≥0 ?

y

然后取交集,就 是不等式组所表示

的区域。

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 O

4x+y=10

18x+15y=66 x 1 2 3 4

典例精析 题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组)

写出表示下面区域的二元一次不等式 解析:边界直线方程为 x+y-1≤0 紫色区域 x+y-1=0 代入原点(0,0) 绿色区域 x-2y+2 > 0 得0+0-1<0 即所求不等式为 蓝色区域 y≥-1 x+y-1≤0 黄色区域

y

1 -2

o
-1

1

x

x+y-1≤0 x-2y+2>0 y≥-1

方法总结

根据平面区域写出二元一次 不等式(组)的步骤:
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式(组)

题型四:综合应用

x-y+5≥0

例5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2

y
5

C x-y+5=0
D

所表示的平面区域的面积
解析: 如图,平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为 1 S= ?3 ? 5?? 2 ? 8 2 -5

2A

B
2

y=2

o

x

x=2


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