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2011-2012学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)


2011-2012 学年北京市海淀区高二(上)期末数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 分)双曲线 (4 A.y=±x 的渐近线方程为( B. ) C.y=±2x D.y=±4x

2. 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 (4 A. B.1

,则数列{an}的公差是( C.2 D.3



3. 分)空间向量 =(1,1,1) =(0,1,﹣1) (4 , ,则 , 的夹角为( A.30° 4. 分)已知 (4 A.充分不必要条件 C. 充要条件
2

) D.120°

B.60° ,q:x>1,则 p 是 q 的(

C.90° ) B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 分)命题 p:?x∈R,ax +ax+1≥0,若 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是( (4 ) A.(0,4) B.[0,4] C.(﹣∞,0)∪ (4,+∞)D.(﹣∞,0]∪ [4,+∞)

6. 分) P (4 点 (2, 在不等式组 t) A.[2,3] B.

表示的平面区域内, 则点 P (2, 到原点距离的取值范围是 t) ( C. D.[2,4]



7. 分)已知定点 A(﹣1,0) (4 ,B(1,0) 是动点且直线 PA,PB 的斜率之积为 λ,λ≠0,则动点 P 的轨迹不可 ,P 能是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

8. 分)在椭圆 (4

中,F1,F2 为其左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆与椭圆交于 A,B,C, )

D 四个点,若 F1,F2,A,B,C,D 恰好为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 2 9. 分)抛物线 y =2x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离为 _________ . (4 10. 分)在△ (4 ABC 中,a=3,b=5,C=120°,则 c= _________ ,sinA= _________ .

11. 分)空间向量 =(2,﹣1,0) =(1,0,﹣1) =(1,y,z) (4 , , ,若 ⊥ , ⊥ ,则 y+z=
2

_________ .

12. 分) (4 若直线 y=x+t 与抛物线 y =4x 交于两个不同的点 A、 且弦 AB 中点的横坐标为 3, t= _________ . B, 则

13. 分)数列{an}的前 n 项和为 (4 _________ .

,则 an= _________ ,数列

中最大项的值为

14. 分)若椭圆 C1: (4

(a1>b1>0)和椭圆 C2:

(a2>b2>0)的离心率相同,且 a1

>a2.给出如下四个结论: ① 椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点; ② ;





④1﹣a2<b1﹣b2. a 则所有结论正确的序号是 _________ . 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (12 分)已知椭圆 (1)求线段 AB 的长; (2)求△ ABF1 的面积. 16. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,且 2Sn=(n+1)an,n∈N . (I) 求{an}的通项公式和 Sn; (II) 设 ,求{bn}的前 n 项和.
*

的左焦点为 F1,直线 l:y=x﹣2 与椭圆 C 交于 A、B 两点.

17. (10 分)四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,其中 AD∥ BC,O 为 AD 中点,PO⊥ 底面 ABCD.又 . (I)求直线 PA 和 CD 所成角的余弦值; (II)求 B﹣PA﹣D 的平面角的余弦值.

2

18. (10 分)椭圆

(a>b>0) ,直线 y=k(x﹣1)经过椭圆 C 的一个焦点与其相交于点 M,N,且点

在椭圆 C 上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若线段 MN 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P,问:在 x 轴上是否存在一个定点 Q,使得 求出点 Q 的坐标和 的值;若不存在,说明理由. 为定值?若存在,

3

2011-2012 学年北京市海淀区高二(上)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 分)双曲线 (4 A.y=±x 的渐近线方程为( B. ) C.y=±2x D.y=±4x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:
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由 解答: 解:由

,可得

,化简可得双曲线的渐近线方程.

,可得

,即 y=±x

∴ 双曲线

的渐近线方程为 y=±x

故选 A. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程,考查学生的计算能力,属于基础题.

2. 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 (4 A. B.1

,则数列{an}的公差是( C.2 D.3



考点: 专题: 分析: 解答:

等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列.

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由等差数列的性质可得 a1+a3=2a2,结合条件化简可得公差的值. 解:由等差数列的性质可得 a1+a3=2a2, 而原条件可化为: 代入可得 ,即 a2﹣a1=1 ,

故数列{an}的公差是 1, 故选 B 点评: 本题考查公差的定义,由等差数列的性质结合题意是解决问题的关键,属基础题.

3. 分)空间向量 =(1,1,1) =(0,1,﹣1) (4 , ,则 , 的夹角为( A.30° B.60° C.90°

) D.120°

4

考点: 空间向量的夹角与距离求解公式. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量 ? 即可得出.
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解答:

解:∵ ∴ ,



∴ , 的夹角为 90°. 故选 C. 点评: 熟练掌握非零向量 ? 是解题的关键.

4. 分)已知 (4 A.充分不必要条件 C. 充要条件

,q:x>1,则 p 是 q 的(

) B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 解分式不等式 ,可得 x>1 或 x<0,由集合{x|x>1},{x|x>1 或 x<0}的包含关系可得答案.
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解答:

解:解分式不等式

,可得 x>1 或 x<0,

因为集合{x|x>1}是集合{x|x>1 或 x<0}的真子集, 故“x>1 或 x<0”是“ ”的必要不充分条件,

故选 B 点评: 本题考查充要条件的判断,分式不等式的解法,从集合的包含关系入手是解决问题的关键. 5. 分)命题 p:?x∈R,ax +ax+1≥0,若 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是( (4 ) A.(0,4) B.[0,4] C.(﹣∞,0)∪ (4,+∞)D.(﹣∞,0]∪ [4,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的真假判断与应用. 探究型. 先求出命题 p 为真时对应的取值范围,然后利用 p 是假命题,求出非 p 的范围. 解:当 a=0 时,不等式等价为 1≥0,所以成立.
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2

当 a≠0 时,要使不等式 ax +ax+1≥0 恒成立,则有

2





,解得 0<a≤4.

综上 0≤a≤4,即 p 为真命题时,p:0≤a≤4. 因为 p 是假命题,所以¬p:a<0 或 a>4. 即实数 a 的取值范围是(﹣∞,0)∪ (4,+∞) . 故选 C. 点评: 本题考查了全称命题的真假判断以及应用,比较基础.

5

6. 分) P (4 点 (2, 在不等式组 t) A.[2,3] B.

表示的平面区域内, 则点 P (2, 到原点距离的取值范围是 t) ( C. D.[2,4]



考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组 表示的平面区域与 x=2 的直线, 由图形判断出其上到原点距离的最大最小的
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点的位置求出其坐标算出最大最小值即可. 解答: 解:先作出不等式组 表示的平面区域与 x=2 的直线,

如图 由图知点 P(2,t)到原点距离最小的点的坐标是 A(2,0) 到原点的距离,最大值为 2; 点 P(2,t)到原点距离最大的点的坐标是 B(2,﹣2)的点到原点的距离,最大值为 2 故选 B.



点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.巧妙识别目标函数的几何意义 是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包括线性的与非线性,非线性问题的介入是线性规划问题的拓 展与延伸,使得规划问题得以深化. 7. 分)已知定点 A(﹣1,0) (4 ,B(1,0) 是动点且直线 PA,PB 的斜率之积为 λ,λ≠0,则动点 P 的轨迹不可 ,P 能是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 考点: 抛物线的定义. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意可分别表示出动点 P 与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数,求得 x 和 y 的关系式,对 λ 的 范围进行分类讨论,分别看 λ>0,λ<0 且 λ≠﹣1 和 λ=﹣1 时,根据圆锥曲线的标准方程可推断出点 P 的轨 迹. 解答: 解:已知定点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,设 P(x,y)
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依题意可知

?

=λ,整理得 y ﹣λx =﹣λ,

2

2

当 λ>0 时,方程的轨迹为双曲线. 当 λ<0 时,且 λ≠﹣1 方程的轨迹为椭圆. 当 λ=﹣1 时,点 P 的轨迹为圆 ∴ 抛物线的标准方程中,x 或 y 的指数必有一个是 1,故 P 点的轨迹一定不可能是抛物线.
6

故选 D. 点评: 本题主要考查了圆锥曲线的综合.考查了学生对圆锥曲线标准方程的考查和应用.

8. 分)在椭圆 (4

中,F1,F2 为其左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆与椭圆交于 A,B,C, )

D 四个点,若 F1,F2,A,B,C,D 恰好为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图,连接 AF2,结合正六边形的性质得∠ 1AF2=90°.Rt△ 1F2 中,|F1F2|=2c,|AF1|=c,可得|AF2|= F AF 结合椭圆的定义得:|AF1|+|AF2|=(1+ )c=2a,再结合离心率公式即可算出该椭圆的离心率. 解答: 解:如图,连接 AF2,可得等腰△ ABF2 中,∠ B=120° ∴BAF2=∠ 2B=30° ∠ AF 因此∠ 1AF2=120°﹣30°=90° F Rt△ 1F2 中,|F1F2|=2c,|AF1|=c AF ∴ 2|= c,得|AF1|+|AF2|=(1+ )c=2a |AF
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c,

因此,椭圆的离心率 e= = 故选:C

=

=

点评: 本题给出椭圆的焦距恰好是其内接正六边形的长对角线,求椭圆的离心率,着重考查了椭圆的定义与基本 概念、正六边形的性质等知识,属于基础题. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 9. 分)抛物线 y =2x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离为 (4
2



考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 直接利用抛物线的定义,求解即可. 2 解:抛物线 y =2x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离, 就是这点到抛物线的准线的距离.
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抛物线的准线方程为:x=
2

, = .

所以抛物线 y =2x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离为 故答案为: .

点评: 本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线的定义的应用,考查计算能力.
7

10. 分)在△ (4 ABC 中,a=3,b=5,C=120°,则 c= 7 ,sinA=



考点: 专题: 分析: 解答:

余弦定理. 解三角形. 利用余弦定理,可求 c,利用正弦定理,可求 sinA. 解:∵ a=3,b=5,C=120°,
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∴ =a +b ﹣2abcosC= c ∴ c=7, ∵ ∴ sinA= , = .

2

2

2

=49,

故答案为:7, 点评: 本题考查余弦定理、正弦定理,考查学生的计算能力,属于基础题.

11. 分)空间向量 =(2,﹣1,0) =(1,0,﹣1) =(1,y,z) (4 , , ,若 ⊥ , ⊥ ,则 y+z= 3 .

考点: 空间向量的数量积运算;向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用 ⊥ , ⊥ ,? ,解出即可. 解答: 解:∵ ⊥ , ⊥ ,∴ ,即 ,解得

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,∴ y+z=3.

故答案为 3. 点评: 熟练掌握向量垂直于数量积的关系是解题的关键. 12. 分)若直线 y=x+t 与抛物线 y =4x 交于两个不同的点 A、B,且弦 AB 中点的横坐标为 3,则 t= ﹣1 . (4 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 设 A(x1,y1) ,B(x1,y2) ,线段 AB 的中点为 M(3,m) .利用“点差法”即可得到 m,代入直线方程即可 得到 t. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x1,y2) ,线段 AB 的中点为 M(3,m) ,
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2

把 A,B 的坐标代入抛物线方程得





两式相减得(y1+y2) 1﹣y2)=4(x1﹣x2) (y ,得 2m×1=4,解得 m=2. ∴ 2=3+t,解得 t=﹣1. 故答案为﹣1. 点评: 熟练掌握“点差法”、斜率计算公式、中点坐标公式是解题的关键.

8

13. 分)数列{an}的前 n 项和为 (4

,则 an= 2n ,数列

中最大项的值为



考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由于 a1=S1=2;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n,可得数列的通项公式为 an=2n.
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数列 解答:

的通项公式为

=

,利用基本不等式求得数列

中最大项的值.

解:∵ 数列{an}的前 n 项和为 1) +(n﹣1)]=2n, 故数列的通项公式为 an=2n. 数列 的通项公式为 = ≤
2

,则 a1=S1=2;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n +n)﹣[(n﹣

2

= ,当且仅当 n=3 时,取等号,故数列

中最大项的

值为 , 故答案为 2n, . 点评: 本题主要考查数列的前 n 项和与第 n 项的关系,求数列的通项公式,基本不等式的应用,属于基础题.

14. 分)若椭圆 C1: (4

(a1>b1>0)和椭圆 C2:

(a2>b2>0)的离心率相同,且 a1

>a2.给出如下四个结论: ① 椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点; ② ;





④1﹣a2<b1﹣b2. a 则所有结论正确的序号是 ① . ② 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用两椭圆有相同的离心率,可知两个椭圆 a,b,c 之间的关系,进而分别判断各结论是否正确. 解答: 解:因为两椭圆有相同的离心率,所以 ,
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① 因为

,即

,所以

,即

成立,因为 a1>a2,

所以 b1>b2.即椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点,所以① 正确. ② 知即 由① 成立,所以② 正确.

9

③ 因为

,且 a1>a2,所以

,即

,所以③ 错误.

④ 知 由②

, 所以

=

>b1﹣b2, 所以④ 错误.

故所有结论正确的序号是①. ② 故答案为:①. ② 点评: 本题考查了椭圆的性质以及与椭圆 a,b,c 有关的计算和推理,运算量较大,综合性较强. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (12 分)已知椭圆 (1)求线段 AB 的长; (2)求△ ABF1 的面积. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)把直线方程代入椭圆方程,求得交点坐标,可求线段 AB 的长; (2)法一:求出点 F1(﹣2,0)到直线 y=x﹣2 的距离,可求△ ABF1 的面积;法二:直线 y=x﹣2 通过椭圆
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的左焦点为 F1,直线 l:y=x﹣2 与椭圆 C 交于 A、B 两点.

的右焦点,利用 解答: 解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 因为
2

,可得结论.

和 y=x﹣2 相交,把两个方程联立,得
2 2

代入得到 x +2(x﹣2) ﹣8=0,即 3x ﹣8x=0,解得 所以 ,

所以

(2)法一:因为点 F1(﹣2,0)到直线 y=x﹣2 的距离为 所以 法二:直线 y=x﹣2 通过椭圆的右焦点 F2(2,0) , 则△ ABF2 的面积为 =

点评: 本题考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学生的计算能力,属于中档题. 16. (12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,且 2Sn=(n+1)an,n∈N . (I) 求{an}的通项公式和 Sn; (II) 设 ,求{bn}的前 n 项和.
*

考点: 数列的应用;数列的求和.

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专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用数列递推式,在写一式,两式相减,可得数列的通项,从而可求{an}的通项公式和 Sn; (II)利用等比数列的求和公式,即可得到结论. 解答: 解: (I)∵ n=(n+1)an, 2S ∴ 时,2Sn﹣1=n?an﹣1, n≥2 ∴ 两式相减,可得 2an=(n+1)an﹣n?an﹣1, ∴ =

∴n= a

?

?…?

?a1=n,



; =2
n

(II)由(I)知,

∴ 点评: 本题考查数列递推式,考查数列的通项与求和,考查学生的计算能力,属于中档题. 17. (10 分)四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为等腰梯形,其中 AD∥ BC,O 为 AD 中点,PO⊥ 底面 ABCD.又 . (I)求直线 PA 和 CD 所成角的余弦值; (II)求 B﹣PA﹣D 的平面角的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: (I)取 BC 中点 E,连接 AE,OE,则∠ PAE(或其补角)即为直线 PA 和 CD 所成角,利用余弦定理可求;
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(II)设 B﹣PA﹣D 的平面角为 α,利用 cosα= 解答: 解: (I)取 BC 中点 E,连接 AE,OE,则 ∵ AD=4,BC=8, ∴ DC AE∥ ∴PAE(或其补角)即为直线 PA 和 CD 所成角 ∠ ∵ 底面 ABCD, PO⊥ ∴ AO,PO⊥ PO⊥ OE ∵ 底面 ABCD 为等腰梯形, ∴ OE=2,AE= ,PE= ∵ PO=4,AO=2 ∴ PA=

可求.

11

∴ PAE= cos∠

=

=



(II)设 B﹣PA﹣D 的平面角为 α,则 ∵ 底面 ABCD 为等腰梯形,AD=4,BC=8,∴ABC=45°,∴BAD=135°, ∠ ∠ 在△ BAO 中, ∴ PB= =6 ,AB= ,∴ PAB= cos∠ =﹣ ,∴ BO= =

在△ PAB 中,PB=6,PA= ∴ PAB= sin∠ ∴ ∵ ∴ cosα= =8 = = .

=6

点评: 本题考查空间角,考查余弦定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.本题解答中用到了 投影面法求二面角,注意总结其原理且能使用

18. (10 分)椭圆

(a>b>0) ,直线 y=k(x﹣1)经过椭圆 C 的一个焦点与其相交于点 M,N,且点

在椭圆 C 上. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若线段 MN 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P,问:在 x 轴上是否存在一个定点 Q,使得 求出点 Q 的坐标和 的值;若不存在,说明理由. 为定值?若存在,

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)确定椭圆的焦点,利用点 在椭圆 C 上,建立方程,求出几何量,即可得到椭圆的方程;
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(II)直线 y=k(x﹣1)与椭圆方程联立,利用韦达定理,确定 MN 垂直平分线方程,|MN|,可得 P 的坐标, 从而可得结论. 解答: 解: (I)由题意,椭圆的一个焦点为(1,0) , 又∵ 点 在椭圆 C 上,

12



∴ =4,b =3 a ∴ 椭圆 C 的方程为 (II)存在, 直线 y=k(x﹣1)与椭圆方程联立可得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 , ,
2 2 2 2

2

2





∴ 垂直平分线方程为 MN

令 y=0,可得 x=

∴ P(

,0) ,

设 Q(a,0) ,则|PQ|=

∵ |MN|=

=





=

∴ 时, a=7

=

∴ Q(7,0) . 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题.

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