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北京市西城区2014届高三一模 数学(文)试题 Word版含解析


一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.设全集 U ? x 0 ? x ? 2 ,集合 A ? x 0 ? x ? 1 ,则集合 ? UA?( A. ? 0,1? B. ? 0,1? C. ?1, 2 ?

?

?

?

?

) D. ?1, 2?

2.已知平面向量 a ? ? 2, ?1? , b ? ?1,3? ,那么 a ? b 等于( A. 5 B. 13

) C. 17 D. 13

3.已知双曲线 C : 率为( A. 2 )

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则此双曲线的离心 a 2 b2

B. 2

C. 3

D. 5

1

? 5 ,故选 D.
考点:1.双曲线的几何性质;2.双曲线的离心率 4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2 B. ) C. 4 D. 5

4 3

2

2

3

1

正(主)视图

侧(左)视图

1

5

俯视图

5.下列函数中,对于任意 x ? R ,同时满足条件 f ? x ? ? f ? ?x ? 和 f ? x ? ? ? ? f ? x ? 的函数是( A. f ? x ? ? sin x B. f ? x ? ? sin x cos x C. f ? x ? ? cos x
2


2

D. f ? x ? ? cos x ? sin x

f ? x ? ? cos 2 x ? sin2 x ? cos2x ,该函数是偶函数,且以 ? 为最小正周期的周期函数,故选 D.
2

考点:1.二倍角公式;2.三角函数的奇偶性与周期性 6.设 a ? 0 ,且 a ? 1 ,则“函数 y ? log a x 在 ? 0, ??? 上是减函数”是“函数 y ? ? 2 ? a ? x3 在

R 上是增函数”的(
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用 2 万元,从第二年起,每年运
? 营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元. 设该设备使用了 n n ? N 年后,盈

?

?

利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于( A. 4 B. 5

) C. 6 D. 7

8.如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个顶点的距离组成的 集合记为 M ,如果集合 M 中有且只有 2 个元素,那么符合条件的点 P 有( )

3

A

B C A. 4 个 【答案】C 【解析】 B. 6 个

.P

D

C. 10 个

D. 14 个

试题分析:分以下两种情况讨论: (1)点 P 到其中两个点的距离相等,到另外两点的距离分别相等,且这 两个距离不等,此时点 P 位于正四面体各棱的中点,符合条件的有 6 个点; (2)点 P 到其中三个点的距离相等,到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等,此时点 P 在正四面 体各侧面的中心点,符合条件的有 4 个点,故选 C. 考点:新定义

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.设复数

1? i ? x ? yi ,其中 x 、 y ? R ,则 x ? y ? ______. 2?i

10.若抛物线 C : y ? 2 px 的焦点在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,则 p ? _____; C 的准线方程为_____.
2

p ? 4 ,此时抛物线的准线方程为 x ? ?2 .
4

考点:抛物线的几何性质

? x ? 3, x ? 0 ? 11.已知函数 f ? x ? ? ? 1 ,若 f ? x0 ? ? 2 ,则实数 x0 ? ______;函数 f ? x ? 的最大值为_____. ,x?0 ? ? x ?1

12.执行如图所示的程序框图,如果输入 a ? 2 , b ? 2 ,那么输出的 a 值为______.
开始 输入 a, b 是

log3 a ? 4


输出 a

a?a

b

结束

【答案】 256 . 【解析】 试题分析: log3 2 ? 4 不成立,执行第一次循环, a ? 2 ? 4 ;
2

log3 4 ? 4 不成立,执行第二次循环, a ? 42 ? 16 ;

log3 16 ? 4 ? log3 34 ? log3 81 不成立,执行第三次循环, a ? 162 ? 256 ;
5

log3 256 ? 4 ? log3 81成立,跳出循环体,输出 a 的值为 256 ,故选 C.
考点:算法与程序框图

?x ? 1 ?y ? 0 ? 13.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个四边形,则实数 a 的取值范围是_______. 2 x ? y ? 6 ? ? ?x ? y ? a

范围是 ? 3,5? . 考点:线性规划 14.如图,在直角梯形 ABCD 中, AB //CD , AB ? BC , AB ? 2 ,CD ? 1 , BC ? 2 , P 为线段 AD (含 端点)上一个动点,设 AP ? xAD , PB ? PC ? y ,记 y ? f ? x ? ,则 f ?1? ? ____; 函数 f ? x ? 的值域为 _________.

6

D P A

C

B

因为 f ? 0? ? 5 ? 0 ? 8 ? 0 ? 4 ? 4 ? f ?1? ,因此 f ? x ?max ? f ? 0? ? 4 ,
2

所以函数 f ? x ? 的值域为 ? , 4 ? . 5

?4 ?

? ?

7

考点:1.平面向量的数量积;2.二次函数

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c .已知 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(1)求 A 的大小; (2)如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求 a 的值. 3

考点:1.正弦定理与余弦定理;2.同角三角函数的基本关系 16.(本小题满分 13 分)某批次的某种灯泡共 200 个,对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等品,寿命小 于 300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品. 寿命(天) 频数 频率

8

?100, 200? ?200,300?
?300, 400?

10

0.05

30
70

a
0.35 0.15

?400,500? ?500,600?
合计

b
60
200

c
1

(1)根据频率分布表中的数据,写出 a 、 b 、 c 的值; (2)某人从这 200 个灯泡中随机地购买了 1 个,求此灯泡恰好不 是次品的概率; .
? (3)某人从这批灯泡中随机地购买了 n n ? N 个,如果这 n 个灯泡的等级情况恰好与按 三个 等级分层抽 . .. .....

?

?

样 所得的结果相同,求 n 的最小值. .

所以 n 的最小值为 10 . 考点:1.频率分布表;2.古典概型 17.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD ? 2 AB , SA ? SD ,

SA ? AB , N 是棱 AD 的中点.
(1)求证: AB // 平面 SCD ;

9

(2)求证: SN ? 平面 ABCD ; (3)在棱 SC 上是否存在一点 P ,使得平面 PBD ? 平面 ABCD ?若存在,求出 明理由. S

SP 的值;若不存在,说 PC

A B

N C

D

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析; (3)存在,且

SP 1 ? . PC 2

所以 SN ? AD . 又因为 AB

AD ? A ,

所以 SN ? 平面 ABCD . (3)如图,连接 BD 交 NC 于点 F ,在平面 SNC 中过 F 作 FP //SN 交 SC 于点 P ,连接 PD 、 PC .

10

S P N F D C

A B 因为 SN ? 平面 ABCD , 所以 FP ? 平面 ABCD . 又因为 FP ? 平面 PBD , 所以平面 PBD ? 平面 ABCD . 在矩形 ABCD 中,因为 ND //BC , 所以

N

NF ND 1 ? ? . FC BC 2 NF SP 1 ? ? . FC PC 2 SP 1 ? . PC 2

在 ?SNC 中,因为 FP //SN , 所以

则在棱 SC 上存在点 P ,使得平面 PBD ? 平面 ABCD ,此时 考点:1.直线与平面平行的判定与性质;2.直线与平面垂直 18.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a ,其中 a ? R . x

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ? x ? 的图象在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)如果对于任意 x ? ?1, ?? ? ,都有 f ? x ? ? ? x ? 2 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) 3x ? y ? 5 ? 0 ; (2) ? ??, ?1? . 【解析】 试题分析: (1)将 a ? 2 代入函数解析式,求出 f ? ?1? 及 f ?1? 的值,利用点斜式写出切线方程; (2)利用
2 参数分离法将 f ? x ? ? ? x ? 2 转化为 a ? x ln x ? x ? 2 x ,构造新函数 g ? x ? ? x ln x ? x ? 2x ,问题转化
2

?

?

为 a ? g ? x ?min 来求解,但需注意区间 ?1, ?? ? 端点值的取舍. 试题解析: (1)由 f ? x ? ? ln x ? 所以 f ? ?1? ? 3, 又因为 f ?1? ? ?2 ,
11

2 1 2 ,得 f ? ? x ? ? ? 2 , x x x

所以函数 f ? x ? 的图象在点 1, f ?1? 处的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 ;

?

?

19.(本小题满分 14 分)已知椭圆 W : 线的斜率为 ?1 , O 为坐标原点. (1)求椭圆 W 的方程.

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的焦距为 2 ,过右焦点和短轴一个端点的直 a 2 b2

(2)设斜率为 k 的直线 l 与 W 相交于 A 、 B 两点,记 ?AOB 面积的最大值为 Sk ,证明: S1 ? S2 .

x2 ? y 2 ? 1; 【答案】 (1) (2)详见解析. 2
【解析】 试题分析: (1)利用题干中的已知条件分别求出 a 、 b 、 c ,从而写出椭圆 W 的方程; (2)设直线 l 的方程 为 y ? kx ? m ,将直线 l 的方程与椭圆 W 的方程联立,借助韦达定理求出弦长 AB ,并求出原点到直线 l 的

12

距离 d ,然后以 AB 为底边, d 为高计算 ?AOB 的面积,利用基本不等式验证 k ? 1 时和 k ? 2 时 ?AOB 的

验证知(*)成立;

13

当 k ? 2 时,因为 S?AOB ?

2 m2 ? 9 ? m2 ? , 9

1 n ? N ? ? . 从数列 ?an ? 中选出 k ? k ? 3? 项并按原顺序组成 ? n 1 1 1 1 的新数列记为 ?bn ? ,并称 ?bn ? 为数列 ?an ? 的 k 项子列. 例如数列 、 、 、 为 ?an ? 的一个 4 项子列. 2 3 5 8
20.(本小题满分 13 分)在数列 ?an ? 中,an ? (1)试写出数列 ?an ? 的一个 3 项子列,并使其为等比数列;

1 ?d ?0; 4 63 (3)如果 ?cn ? 为数列 ?an ? 的一个 6 项子列,且 ?cn ? 为等比数列,证明: c1 ? c2 ? c 3 ? c4 ? c5 ? c6 ? . 32 1 1 1 【答案】 (1)答案不唯一. 如 3 项子列: 、 、 ; (2)详见解析; (3)详见解析. 2 4 8
(2)如果 ?bn ? 为数列 ?an ? 的一个 5 项子列,且 ?bn ? 为等差数列,证明: ?bn ? 的公差 d 满足 ? 【解析】 试题分析: (1)根据题中的定义写出一个 3 项子列即可; (2)根据定义得到 b1 ? 1 ,利用数列 ?bn ? 的定义与

1 1 ,从而证明 ? ? d ? 0 ; (3)注意到数列 ?an ? 各 4 4 K ? 项均为有理数,从而得到数列 ?cn ? 的公比 q 为正有理数,从而存在 K 、 L ? N 使得 q ? ,并对 K 是否 L
单调性得到 d ? 0 ,然后由 b5 ? b1 ? 4d ? 0 得到 d ? ? 等于 1 进行分类讨论,结合等比数列求和公式进行证明. 试题解析: (1)答案不唯一. 如 3 项子列:

1 1 1 、 、 ; 2 4 8

(2)由题意,知 1 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? 0 , 所以 d ? b2 ? b1 ? 0 . 因为 b5 ? b1 ? 4d , b1 ? 1 , b5 ? 0 ,

14

所以 4d ? b5 ? b1 ? 0 ? 1 ? ?1 , 解得 d ? ?

1 . 4

?

1 M

1 1 1 1 1? ? 1 ? 5 ? 4 ? 3 2 ? 2 3 ? 4 ? 5 ?. K L K L K L KL L ? ?K
* 因为 L ? 2 , K 、 M ? N ,

1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 63 所以 c1 ? c2 ? c 3 ?c4 ? c5 ? c6 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 32
15

2

3

4

5

综上, c1 ? c2 ? c 3 ? c4 ? c5 ? c6 ? 考点:1.新定义;2.等比数列求和

63 . 32

16


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