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3.1.2复数的几何意义


3.1.2 复数的几何意义

知识引入
在几何上,我们用什么来表示实数?

实数可以用数轴上的点来表示。 实数 (数 )
一一对应

数轴上的点 (形 )

类比实数的表示,可以用什么来表示复数?

z ? a ? bi (a ? R, b ? R)
实部 虚部

一个复数由什 么确定?

复数的几何意义
有序实数对(a,b)

复数z=a+bi (数)
y

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b) (形) 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 Z(a,b) 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

O

x轴------实轴 y轴------虚轴

练习
1.下列命题中的假命题是( D)
(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; (B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; (C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; (D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。

2.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的( A )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

3.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的( C )。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件

结论:实轴上的点都表示实数; 虚轴上点除原点外都表示纯虚数。

复数的几何意义
复数z=a+bi?复平面内的点Z(a,b)?平面向量OZ

复数z=a+bi
一一对应 y

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ

思考: 我们所学过的知识当中, Z(a,b) 与平面内的点一一对应的 东西还有哪些?
x

O

练习:在复平面内,说出各点所表示 的复数,并描出下列各复数的点: y ⑴ 2+5i; ⑴ ⑵ -3+2i; ⑶ 2-4i;



⑷-3-i
⑸ 5; ⑹ -3i.

O




x



复数的模(或绝对值)
??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模|OZ |

|Z |=|a+bi |=

a ?b
2

2

当b=0时,|Z |=|a|

复数的模其实是实数绝对值概念的推广 复数的模的几何意义
y
Z(a,b)

复数z=a+bi在复 平面上对应的点 Z(a,b)到原点的 距离.
x

O

求下列复数的模: 练习: (1)z1=-5i (3)z3=5-5i 5

(2)z2=-3+4i 5

5 2
1? m
2

(4)z4=1+mi(m∈R)

(5)z5=4a-3ai(a<0) -5a

探究:
1.满足|z|=5(z∈C)的 复数z对应的点在复平 面上将构成怎样的图 形?
设z=x+yi(x,y∈R)
| z |? x 2 ? y 2 ? 5
–5 5

y

5 O

x

x ? y ? 25
2 2

–5

图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上

探究:
2.满足3<|z|<5(z∈C)的 复数z对应的点在复平面 上将构成怎样的图形?
–5 –3 5

y

3
O
5

3

5 x

设z=x+yi(x,y∈R)

3? x ? y ?5
2 2

9 ? x ? y ? 25
2 2

–3
–5

图形: 以原点为圆心, 半径3至5的圆环内

例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限,求实数m的取值范围。

? ?3? m ? 2 ?m 2 ? m ? 6 ? 0 得? 解:由? 2 m ? ? 2 或 m ? 1 m ? m ? 2 ? 0 ? ?

? m ? (?3,?2) ? (1,2)

一种重要的数学思想:数形结合思想 表示复数的 点所在象限 的问题 (几何问题) 转化 复数的实部与虚部 所满足的不等式组 的问题 (代数问题)

变式1:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平

面内所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数m的值。

解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面
内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2), ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0,

∴m=1或m=-2。

变式2:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i,证明对 一切m,此复数所对应的点不可能位于第四象限。

证明:若复数所对应的点位于第四象限,

?m ? m ? 6 ? 0 则? 2 ?m ? m ? 2 ? 0
2

?m ? ?3或m ? 2 即? ? ?2 ? m ? 1

不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.

练习:
2

三、例题及练习
2

2.求实数m取何值时, z =(m + 5m + 6)+(m - 2m -15)i对应的点, (1)在x轴上方 (2)在第四象限 (3)在直线x + y + 9 = 0上 2 3.2004 ( 北京)当 < m < 1时,z =(3m - 2)+(m -1)i 3 四 象限 对应的点在第_____
4.若3 - 5i,1 -i和 - 2 + ai在复平面内所对应的点

5 在同一条直线上,则实数a = ____

课堂小结
一. 数学知识: (1)复平面 (2)复数的模
二. 数学思想: (1)转化思想 (2)数形结合思想 (3)类比思想


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