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2013届高三理科班数学附加题速成教材1


2013 届高三理科班数学附加题速成教材 1
(一)基础知识 参数极坐标 1.极坐标定义:M 是平面上一点, ? 表示 OM 的长度, ? 是 ?MOx ,则有序实数实数对 ( ? ,? ) , ? 叫极径,

? 叫极角;一般地, ? ? [0, 2? ) , ? ? 0 。

2.常见的曲线的极坐标方程 (1)直线过点 M ( ?0 ,?0 ) ,倾斜角为 ? 常见的等量关系: 正弦定理
OP OM , ?OMP ? ? ? ? ? ?0 ?OPM ? ? ?? ; ? sin ?OMP sin ?OPM

(2)圆心 P ( ?0 ,?0 ) 半径为 R 的极坐标方程的等量关系:勾股定理或余弦定理; (3) 圆锥曲线极坐标: ? ?
ep , e ? 1 时, 当 方程表示双曲线; e ? 1 时, 当 方程表示抛物线; 0 ? e ? 1 当 1 ? e cos ?

时,方程表示椭圆.提醒:极点是焦点,一般不是直角坐标下的坐标原点。 极坐标方程 ? ?
3 表示的曲线是 2 ? 4cos?

双曲线

3.参数方程: (1)圆 ( x ? a)2 ? ( x ? b)2 ? r 2 的参数方程: x ? a ? r cos? , x ? b ? r sin ? (2)椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的参数方程: x ? a cos? , x ? b sin ? a 2 b2

(3)直线过点 M ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的参数方程: tan ? ? 即? ?
x ? x0 ? t cos ?

y ? y0 x ? x0 y ? y0 即 ? ?t , x ? x0 cos ? sin ?

? y ? y0 ? t sin ?

注: cos? ?

???? x ? x0 y ? y0 , sin ? ? 据锐角三角函数定义, t 的几何意义是有向线段 MP 的数 t t

量; 如:将参数方程 ? ?
? x ? 2 ? sin 2 ?
2 ? y ? sin ? ?

(? 为参数 ) 化为普通方程为 y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

将 y ? sin 2 ? 代入 x ? 2 ? sin2 ? 即

可,但是 0 ? sin2 ? ? 1 ;
1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? 如: 直线 ? (t ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2

为参数 ) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为____直线为 x ? y ? 1 ? 0 d ?

1 2 ? 2 2

22 ? (

2 2 14 ) ? 2 2



弦长 14 . 4. 极坐标和直角坐标互化公式: ?
?? 2 ? x2 ? y2 ? x ? ? cos? 或? ,θ 的象限由点(x,y)所在象限确定. ? y ? tan ? ? ( x ? 0) ? y ? ? sin ? ? x

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(1)它们互化的条件则是:极点与原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合. (2)将点 ( ? ,? ) 变成直角坐标 ( ? cos? , ? sin ? ) ,也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。 5. 极坐标的几个注意点: (1)极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点)
? x ? 3 ? 2cos ? ? 如:已知圆 C 的参数方程为 ? ? y ? 2sin ? ?

( ? 为参数) ,若 P 是圆 C 与 y 轴正半轴的交点,以圆心 C
5? )?2 6

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点 P 的圆 C 的切线的极坐标方程。 ? cos(? ?

如:已知抛物线 y 2 ? 4 x ,以焦点 F 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求抛物线的极坐标方程。 即??
2 1 ? cos ?



(2)对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足 如:已知椭圆的长轴长为 6,焦距 F1F2 ? 4 2 ,过椭圆左焦点 F1 作一直线,交椭圆于两点 M、N,设
?F2 F1M ? ? (0 ? ? ? ? )

,当α 为何值时,MN 与椭圆短轴长相等? ? ? 或
6

?

5? 6

(3)直角坐标和极坐标一般不要混合使用: 如:已知某曲线的极坐标方程为 ? 2 ? 2 2? sin(? ? ) ? 2 ? 0 。 (1)将上述曲线方程化为普通方程; (2)若 4 点 P( x, y) 是该曲线上任意点,求 x ? y 的取值范围。 [2 ? 2 (二)基本计算 1.求点的极坐标:有序实数实数对 ( ? ,? ) , ? 叫极径,? 叫极角;如:点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的 极坐标为
(2, 2? 2? ) 提示: (2,2k? ? ), k ? Z 都是点 M 的极坐标. 3 3
2, 2 ? 2 2]

?

2. 求曲线轨迹的方程步骤:

(1)建立坐标系; (2)在曲线上取一点 P ( ? ,? ) ; (3)写出等式; (4)根

据 ? ,? 几何意义用 ? ,? 表示上述等式,并化简(注意: x ? ?, y ? ? )(5)验证。如:长为 2a 的线段,其 ; 端点在 Ox 轴和 Oy 轴正方向上滑动,从原点作这条线段的垂线,垂足为 M ,求点 M 的轨迹的极坐标方 程( Ox 轴为极轴) ,再化为直角坐标方程. 解:设点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) ,则 ?OBM ??AOM ? ? ,且 | OA | ?2asin ? , ? ?| OA | cos? ? 2a sin? cos? ? a sin 2? ,∴ 点 M 的 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? a sin 2? (0 ? ? ? ) . 由 ? ? a sin 2? 可 得
2

?

? 3 ? 2a? 2 sin? cos? , ∴ ( x 2 ? y 2 ) 2 ? 2axy 其直角坐标方程为 ( x 2 ? y 2 ) 2 ? 2axy ( x ? 0, y ? 0) .

3

3

3.求轨迹方程的常用方法: ⑴直接法:直接通过建立 x 、 y 之间的关系,构成 F ( x, y) ? 0 ,是求轨迹最基本的方法. ⑵待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程 ⑶代入法(相关点法或转移法).
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如:从极点作圆 ? ? 2a cos? 的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) ,圆
? ? 2a cos? 上的动点的极坐标为 ( ?1,?1 ) 由题设可知, ?
? ?1 ? ? ? ? ,将其代入圆的方程得: ? ? a cos? (? ? ? ? ) . 2 2 ? ?1 ? 2?

⑷定义法:如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法): 当动点 P( x, y) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将

x 、 y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.
4.参数和极径的几何意义的运用: ? 表示 OM 的长度;几何意义是有向线段 MP 的数量; 如:已知过点 P(9, 设? ?
? x ? 9 ? t cos ? ? y ? 3 ? t sin ? ?
3) 的直线 l 与 x 轴正半轴、

????

y 轴正半轴分别交于 A B 两点,则 AB 最小值为

8 3 提示:

倾斜角为 ? ,则 AB ? t1 ? t2 或 AB= | t1 | ? | t2 | , t1 ? ?

9 3 9 3 ,则 l (? ) ? ? , ? , t2 ? ? cos ? sin ? cos ? sin ?

l ?(? ) ? ?

9sin ? ? 3 cos ? ? cos2 ? sin 2 ?

?

3 1 1 ?9sin3 ? ? 3 cos3 ? 令 l ?(? ) ? 0 , tan 3 ? ? ? 所 以 , tan ? ? ? , ? ? 150? , ?? 2 2 3 9 cos ? sin ? ( 3) 3

l (? )min ? l (150? ) ? ?

9 3 ? ? 8 3 注意:本题可以取倾斜角的补角为 ? ? cos150 sin150?
? 的直线,交抛物线于 A, B 两点,求线段 AB 的长度. 4
4 1 ? cos ?

如 过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F 作倾斜角为

解:对此抛物线有 e ? 1, p ? 4 ,所以抛物线的极坐标方程为 ? ?
| FA |? 4 (1 ? cos ? 4) ? 4(2 ? 2) , | FB ? 4 ? 1 c?o s ? 4?) | ( 5 4, (2

, A, B 两点的极坐标分别为 ? 和 5? ,
4 4

∴ 2 ) | AB |?| FA | ? | FB |? 16 .∴线段 AB 的长度为

16.

如一颗慧星的轨道是抛物线,太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳 1.6 ?108 千米时,极半径和轨道 的轴成
? 角.求这颗慧星轨道的极坐标方程,并且求它的近日点离太阳的距离.解:以太阳的位置为极点,轨道 3
p 1 ? cos ?

的轴为极轴, 建立极坐标系, 设轨道的极坐标方程为 ? ? ∴ p ? 8 ?107 ,∴轨道的极坐标方程为 ? ?
8 ? 10 7 1 ? cos ?

, 因为 ?

?

? 3

时,? ? 1.6 ?108 , 1.6 ?108 ? ∴

p ? 2p , 1 ? cos ? 3
8 ? 10 7 1 ? cos ?

,当 ? ? ? 时, ? ? 4 ?107 .∴这颗慧星轨道的极坐标方程为 ? ?



它的近日点离太阳的距离为 ? ? 4 ?107 千米. 5.参数方程的应用----求最值: 如:已知点 P( x, y) 是圆 x2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数

a 的取值范围。 [?
如:在椭圆
2 2

5 ? 1, 5 ? 1] .(2) x ? y ? a ? cos? ? sin? ? 1 ? a ? 0 [? 2 ? 1, ??) .

x y ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值.解:设椭圆的参数方程为 16 12

4cos? ? 4 3 sin ? ? 12 ? x ? 4cos? 4 5 4 5 ? ? ,d ? ? cos? ? 3sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 ? 5 5 3 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

当 cos(? ? ) ? 1 ,即 ? ?
3

?

5? 3

时, dmin ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) . 5
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典型例题 1.⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos?,? ? ?4sin ? . (1)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. 解(1)⊙O1 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 0 ;⊙O2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 y ? 0 .
2 2

2

2

(2) y ? ?x . 2.求直线 ? (sin ? ? cos ? ) ? 4 被圆 ? ? 4sin ? 截得的弦长. 解 2 2. 3.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin ? ? 3 ,求点 (2, ) 到直线 l 的距离.

?

6

解 2. 说明 设计极坐标的问题,一般采取首先将极坐标转化为直角坐标,得出结论后再转化为极坐标. 4.已知直线 l 的参数方程: ?

? x ? t, ? ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? 2 2 sin(? ? ) . 4 ? y ? 1 ? 2t,

(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,⊙C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和⊙C 的位置关系. 解(1)直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ;⊙C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 .
2 2

(2)直线 l 和⊙C 相交. 5.已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? ?
2

12 ,点 F1 , F2 为其左,右焦点,直线 l 的参数方程 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

? 2 t, ?x ? 2 ? ? 2 为? (t为参数,t ? R ) . 2 ? ? y ? 2 t, ?

(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求点 F1 , F2 到直线 l 的距离之和. 解(1)直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ;曲线 C 的普通方程为 6.已知 M 椭圆
x2 y 2 ? ? 1 . (2) 2 2 4 3

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)上在第一象限的点,A(a,0)和 B(0,b)是椭圆的两个顶点, a2 b2

O 为原点,求四边形 MAOB 的面积的最大值。 解

2 ab . 2

说明 重点掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化,特别是将极坐标方程化 为直角坐标方程、参数方程化为普通方程;理解记忆几个简单图形的极坐标方程以及直线、圆及椭圆的参 数方程,并会简单应用圆、椭圆的参数方程解题.
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