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直线倾斜角与斜率的概念教学设计




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2014年2月

直线倾斜角与斜率的概念教学设计
◎湖 北









学汪庆红

⑩湖北省仙桃市教育科学研究院曹时武

人教A版普通高中课程标准实验教科书数学2(必

系灵感的小故事,简单介绍坐标法的产生 师:同学们:相信黄梅戏中的 名段《天仙配》,大家应该是再熟

修)第三章“3.1直线的倾斜角与斜率”第一课时——直线
倾斜角与斜率的概念. 本节课是一节典型的概念课.笔者通过创设江汉大 桥这一背景,以桥为线索展开教学,让学生感到知识就在 我们的生活中;在倾斜角与斜率这两个概念的建构过程 中,为帮助学生克服思维障碍,有效地实现教学目标,教 学中采用几何画板来现场演示倾斜角的变化范围,利用 实物投影展示学生所画的函数k=tans的图象,突破难点 的同时,既渗透了数形结合的思想和函数观点,又为学生 直观有效地抓住图形进行分析,进一步理解斜率与倾斜 角的对应关系提供了便利. 一、教学过程设计

悉不过了,图1中的桥一II桃汉

江大桥也是一个天仙配.她连接 着江汉平原中的天门市和仙桃

市,这个桥给天、仙两地人民的交

图1

通带来了极大的便利.其实数学中也有一座桥梁,这就是 直角坐标系,它沟通了几何和代数的联系,有了它就可以 用代数方法来研究几何图形,使得几何研究跨入了一个 新的领域,这就是我们今天将要学习的一门新的学

科——解析几何.
师:知道直角坐标系是谁发明的吗?我们来听听: (画外音)17世纪中叶法国数学家笛卡儿在研究能否 用代数中的计算来代替几何中的证明时,他想了很多办 法,但总是百思不得其解.笛卡儿被这个问题困扰了很长

【环节1:情景创设——江汉大桥话解几】
动态画面展示汉江大桥同时,借助笛卡儿建立坐标

题源3:(苏教P,丌,感受理解5)已知圆(髫一口)2+y2=1与 圆戈2+y2=25没有公共点,求正数口的取值范围. (苏教P¨6,练习2)若圆戈2+y2=m与圆戈2+俨+甑一8y一1 相交,求实数m的取值范围. 相似处:都是研究圆与圆的位置关系问题,解决的方 法都是利用圆与圆的位置关系所满足的结论; 不同处:真题解决两圆相交或相切,这两道题解决圆 与圆没有公共点、相交问题. 本题以重要知识直线与圆为载体,解决直线与圆、圆 与圆位置关系方法为依托,立足基础,考查能力,突出对 知识和方法的灵活运用,加大了分析和解决问题的思考 力度,反映了新课程的理念,使被动学习者和题海战术者 在应试中力不从心、难有作为. 反思:回归课本不是简单阅读课本或将课本上的例 习题重做一遍,而是要认真研读课本,读出思想方法、读 出拓展创新、读出对数学的欣赏、读出知识网络交接处的
1=0

闪光点等,充分挖掘课本中例习题的潜在功能,比如:习
题的一题多解与多提一解;类比探究与逆向探究;强化、 弱化条件;一般化结论等.每年大量出现的源于课本的高 考试题还不足以让我们清醒吗? “思路决定出路”.敢问高考之路在哪里?“路”就在教 材中.研究高考试题是高中教师必做的功课,潜心研究一 些典型的高考试题,有助于教师从更高的视角审视教材, 从整体上把握教材,让课堂教学更贴近高考.

参考文献: 1.李宽珍.数学教学中无处不在的“反思”[J].中学数
学(上),2013(3).

2.张雪松.谈如何有效利用高考题[J].中国数学教育
(高中版),2010(9).

3.徐萍.上好二轮复习课的几个着眼点——从一节数
列复习课谈起[J].中学数学(上),2013(3).■

萝≥≯;蘧零中。?毒幺??高中版
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材 法

时间,有一天他想着、想着就趴在桌上睡着了,在梦境中 他看见窗户上有一只蜘蛛正忙着结网,蜘蛛顺着吐出的 丝在空中来回移动,忽然,一个念头闪过脑际,如果将蜘 蛛看作一个点,那么这个点到相邻两个窗框的距离是可

角要方便些呢? 生:直线与戈轴的正方向所成的角. 师:说说你的理由. 生:因为前面我们学习三角函数中的在直角坐标系 中表示任意角时是以戈轴的非负半轴为始边,旋转到和终 边重合.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针

以确定的,蜘蛛上、下、左、右移动的每一个位置——点,
不就可以用一对有序实数来表示吗?所有的平面曲线不 就是由这些点运动而成的吗?既然点可以用数来表示,那 么曲线也能用数表示! 从梦的灵感中醒来后,笛卡儿又进行了深入的思考 和研究,发明了直角坐标系,并直接促成了解析几何的诞 生. 师:我们来看看画面中的桥,画面中有直角坐标系吗? 生:没有. 师:我们可以建立一个直角坐标系,如何建立最方便 呢? 生:用桥面上一侧的水平线为x轴,用戈轴同一平面内 的铅垂线为v轴建立直角坐标系. 师:恩,不错,在这个直角坐标系下,这些斜拉索可以 看成什么呢? 生:直线! 师:对,本节课就是要以这座桥为背景,在直角坐标 系中来研究这些直线的倾斜角和斜率.(板书课题)

方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何
旋转,我们称它形成了一个零角. 师:所以选这个方向的角比较合理.但是,这个角唯 一吗?如果不唯一怎么办? 生:如果按照任意角的旋转方法,那么这个角不唯 一,但是我们可以只取正角中的最小角,也就是将z轴按 逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小角.

师:这个主意不错,既保证了存在性,又保证了唯一
性.既然这个角可以表示直线的倾斜程度,我们就该给它 取个名字,下个定义,叫什么好呢? 生:倾斜角! 师:好!那么怎样定义倾斜角呢?

生:当一条直线与确扫相交时,如果把戈轴绕着交点按
逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角叫做直 线的倾斜角. 师:也可以按照课本上的定义给出.定义中我们要注 意哪几点呢? 生:一定要按逆时针方向旋转,同时还要注意必须是

直线倾斜角与斜率的概念 【设计意图】让学生从身边事例人手,用数学眼光观
察世界,指明课题,激发学生的学习兴趣.

最小的角.

【设计意图】由于学生已经学习了三角函数,通过旋
转得到角应该是学生现在最熟悉的,但是旋转得到的角 不唯一,因此一定要强调角的唯一性和合理性. 问题2:倾斜角的范围是多少呢?

【环节2:问题探究——铁索引出倾斜角】
在桥的画面中引导学生建立合适的直角坐标系,将 铁索看成直线放在直角坐标系中进行研究. 问题1:在直角坐标系中,这些直线都过了定点P,它 们的不同区别在哪里呢? 生:倾斜程度不同. 师:在直角坐标系中,任何一条直线与舛由都有一个 相对的倾斜度,用哪些量来刻画这种倾斜程度呢? 生1:角度. 生2:比值,在直角坐标系中可以是对边比邻边. 生3:还可以是对边比斜边以及邻边比斜边. 师:还可以有哪些量,比如两点可以吗? 生:可以. 师:下面我们将从这几个方面来研究,首先来研究用 角度刻画直线的倾斜程度. 师:当一条直线与礴由相交会形成四个角,选用哪个

【设计意图】通过学生自己动手画图和几何画板演示
让学生得到倾斜角的范围是[0,订).

【环节3:开放探究——引桥坡度出斜率】
师:我们继续观察大桥,看看它的引桥,大桥为什么 会建引桥呢?

生:为了使坡度平缓,便于车辆通行.
师:讲的好,这里描述倾斜程度时用了“坡度”,“坡 度”是什么呢?

生:删㈦=淼㈣坡觥正腩舢).
师:坡度中有两个关键的量,升高量与前进量,这两 个量在实际中容易测量,这个比值是好度量的.再看看这 个比值与坡角的关系,它就是坡角口的正切函数.从变化

高中版中。?毒《:’?;鑫嘲蘸霉交蔑鼗
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的角度看坡角的范围是多少呢?

更合理了.想一想再讨论一下. 生7:我觉得用tanot更合理,因为我们在表示坡度时 用的就是正切,为了保持倾斜角为锐角时与坡度的一致 性,应该用tanot. 生8:我也觉得用tanot更合理,除了他说的这个原因 以外,关键是用a的正切值度量比余弦要简洁方便,因为 这里的升高量与前进量在平面直角坐标系中用坐标表示 更方便. 师:大家同意他的观点吗? 生:同意. 师:好!我也同意,那么我们该给这个tanot取一个什



生:大于零,小于善.


师:当坡角0在大于零,小于_"ll-的范围时,坡度tanO是

增函数,每一个坡角都有唯一一个坡度与它对应,坡度刻
画了坡的倾斜程度. 师:那么我们能否直接用“坡度tan0”刻画所有直线 的倾斜程度呢? 生1:可以,因为坡度反映了坡的倾斜程度,它同时也 应该可以反映直线的倾斜程度.

生2:不能,因为坡角的范围是大于零,小于_7T,而倾
斜角的范围是大于等于零,小于叮r,这两个角的范围不同. 问题3:如果将坡角p换成倾斜角ot,这时tan仅能刻画 所有直线的倾斜程度吗?同学们分组讨论一下. (学生通过分组讨论,发言.) 生3:tanot不能反映所有直线的倾斜程度,比如倾斜

么名称要好呢? 生:斜率. 师:好,斜即倾斜,率即比值,这个名称很形象!在大 家的共同努力下我们得到了斜率的定义(板书)我们把一 条直线的倾斜角仅的正切值叫做这条直线的斜率.即蠡=
tanot.

【设计意图】倾斜角只是从形上说明了直线的倾斜程 角d=_"a-时,tanot不存在,这时就不能用正切tanot表示这条


度,还需要我们从数的角度来说明倾斜程度,让学生借助 图形讨论比值的各种不同形式的理解倾斜角与斜率之间
的联系,从而得到斜率的定义.

直线的倾斜程度.我们组觉得可以用sinot来表示所有直线
的倾斜程度,因为sinot对[0,1『)的每个角都有意义. 生4:用sinot表示所有直线的倾斜程度不行,因为正 弦函数在[0,丌)时它不是单调函数,同一个函数值有两

【环节4:认知升华——正切性质探斜率】
问题4:请同学们再仔细观察一下斜率定义式的结 构,看一看有哪些特点?

个角度和它对应,比如当si删=÷时d=詈或詈'si删不
具有唯一性.

【设计意图】除了加深对斜率定义理解外,还可以引 导学生运用函数的观点看斜率,拓展了学生学习的视角. 【环节5:课堂演练——师生合作用新知】
例l下列说法正确的是(). A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 B.直线的倾斜角越大,斜率也越大 C.两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等 D.两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等 答案:D 例2将下列表格填写完整:

生5:我们组认为余弦函数COSot在[0,竹)上单调递减,
它具有唯一性应该可以表示所有直线的倾斜程度.

生6:我们组认为正切函数在[o,i"tr]和(詈,百)上都
是增函数,它除不能表示倾斜角为{的直线外,其他直
线的倾斜程度都能表示 列表如下:
l倾斜角d 的范围 tanct的 符号 直线的 状态

(o,号)
tana>O

d=要
tanOt

(号,叮r)
tanc£<O

ct=O

倾嚆斗角仅
tanot=O


6 0




不存在 Z垂直于 戈轴

斜率k

、/丁

一l

上升

下降

f垂直于 Y轴

例3如图2,假设在汉江大桥斜拉索中有一条倾斜

师:刚才同学们的发言太精彩了,通过你们的思考, 讨论,交流发现可以用COSO!和tanot来表示直线的倾斜程 度,因为它们都具有唯一性.究竟用哪一个表示就要看谁

角为詈的直线“另一条直线f:的倾斜角为孚,求倾斜角 在(号,孚)这一范围内直线斜率的取值范围.

露黧窝零麟十。?毒i:-7高中版
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了三角函数的基础,所以才有在斜率概念的意义建构中 的这些探究内容,所以才能展示这些生动的探究活动;有 了三角函数的基础,所以斜率与倾斜角的关系才能够从 图象上观察,教学才有这样的高度. 改进之处:教学容量偏大,时间不太够,学生思考和
图2

做题时间比较仓促.建议将过两点的斜率的坐标公式和

【设计意图】加深学生对定义的理解,巩固倾斜角和 斜率之间的联系,学会融会贯通,最后又回到大桥,首尾
呼应.

应用放到下一节课时中去,将教学的重心放在核心概念
的建构上,并增加利用几何画板,强化动态效果. 困惑之处:如果按照人民教育出版社的顺序没有三 角函数的基础,这一节课怎么上?还会有这样的效果吗? 三、教学点评 本课探索了将有效创设情景线、学生探究活动线、概

【环节6:知识归纳——课堂小结说新知】
(1)直线的倾斜角定义及其范围:[0,盯);

(2)直线的斜率定义:k=tana(d≠詈);
(3)斜率k与倾斜角O/之间的关系:
a=Ojk=tanO=O,

念定义建构线、思想方法蕴含线贯通融合成为“四线交 织”,将知识、方法和能力串通融合为“三位一体”的概念

“∈(o,詈)j抽an仅>o,

课教学的具体作法,通过自然流畅的六个教学环节,让学 生经历了倾斜角和斜率的建构过程,真正体现了以知识 理解为主要目标的概念课的教学特点,突出表现在如下 三个方面: 一是凸现了对直线斜率的开放探究过程.当讨论tanct 能否刻画所有直线的倾斜程度时,同学们的意见出现了 分歧.教师因势利导、恰时恰点组织课堂辩论,充分利用 学生提出的sintl、cosd,作为比较性学习材料,利用三角 函数知识,对sinct与tana相比较而择优,对cosd和tanct,相 区别而共存.将本课例的核心内容直线的斜率定义的唯 一性与合理性及其形成的过程展现得淋漓尽致.对co洲 不急于否定,而是鼓励同学们将探索进行到底,下一课时

仁詈号tana(不存在)j后不存在,

a∈㈢盯卜=t一<o.
【设计意图】对本节课所学知识进行归纳、整理,明确
本节课所学知识. 课后思考:如何用两点来刻画直线的倾斜程度?

【设计意图】将探索进行到底.
二、课后反思

本节课涉及两个概念—倾斜角和斜率.倾斜角是
几何概念,它主要起过渡作用,是联系新旧知识的纽带,

研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用
这个概念;斜率概念,不仅其建立过程很好地体现了解析 法,而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题 时也起核心作用.由于我省按照必修数学1、4、5、2、3的顺 序,所以学生已经具备了较为系统的三角函数知识,所以 对倾斜角和斜率的关系探究相对接受起来比较容易一 些. 可取之处:在本节课教学中,一是问题的引入较好, 达到内容和情境的和谐统一,吸引了学生注意力;二是六 个环节设计环环相扣,引人人胜,特别是利用坡度引发冲 突来体现倾斜角与斜率的关系,对学生的认知起到了较 好的引导作用;三是因为有了三角函数的基础,所以在倾 斜角的教学中能够避开课本上的分类定义而采用大纲版 定义,这样不仅简洁,方便更是体现了数学的和谐美;有

会有分晓
二是展现出寓数学概念和理性思维于情境之中的融 合之美.选用仙桃汉江大桥为素材,贯穿全课程,独具匠 心.高悬的铁索,长长的引桥,承载了本课例所需的主要 元素.教师引导学生用数学眼光观察这座桥,抽象出直角 坐标系、直线、倾斜角、坡度让学生感到自然、亲近,学生 积极性倍增.这座大桥在本课例中起到引入、奠基、示例、

反馈等作用.课后淡出,余香缭绕,耐人寻味.本课例散出
教学设计的精细之美. 三是教师娴熟地应用了各种教学方法和技巧.如问 题引导,分组讨论,课堂交流,课堂辩论.教学过程如行云 流水、朴实、自然.学生广泛参与,效果十分显著.利用必要 的电子视频,配上和蔼可亲、富有激情的语言,使本课成 为展现教学艺术的一个范例.■

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