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2015年上海市春季高考模拟试卷五


2015 年上海市春季 1 高考模拟试卷五 Zheng-yiting
一、填空题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1、函数 y ? log2 ( x ? 2) 的定义域是_____________. 2、已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 z ? (1 ? 3i) ? 1 ,则 | z |? _______. 3、已知函数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f 则f
?1 ?1

( x) ,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像经过点 (3 , 1) ,

(1) 的值是___________.
*

4、已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ( n ? N ) ,则 a8 的值是__________. 5、已知圆锥的母线长为 5

cm ,侧面积为 20? cm2 ,则此圆锥的体积为________ cm3 .
4 ?? ? ,则 tan?? ? ? ? ____________. 5 4? ?

6、已知 ? 为第二象限角, sin ? ?

7、已知双曲线

a x2 y2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )满足 2 b a b

1 ? 0 ,且双曲线的右焦点与 2

抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦点重合,则该双曲线的方程为______________. 8、分别从集合 A ? {1 , 2 , 3 , 4} 和集合 B ? {5 , 6 , 7 , 8} 中各取一个数,则这两数之积为偶 数的概率是_________. 9、 在平面直角坐标系中, △ ABC 的顶点坐标分别为 A(1 , 2) , 点 C 在直线 y ? 4 B(?7 , 3) , 上运动, O 为坐标原点, G 为△ ABC 的重心,则 OG ? OC 的最小值为__________.

? r ? 10、若 lim? ? 存在,则实数 r 的取值范围是_____________. n?? 2r ? 1 ? ?
2 2 2 2 11、设集合 A ? {( x , y ) ( x ? 4) ? y ? 1 } , B ? {( x , y ) ( x ? t ) ? ( y ? at ? 2) ? 1 } ,

n

若存在实数 t ,使得 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是___________.
2 ? ?ax ? 2 x ? 1 , x ? 0 , 12、已知函数 f ( x) ? ? 是偶函数,直线 y ? t 与函数 f ( x) 的图像自左 2 ? ?? x ? bx ? c , x ? 0

至右依次交于四个不同点 A 、 B 、 C 、 D ,若 | AB |?| BC | ,则实数 t 的值为________. 二、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 13、设向量 a ? ( x ? 1 , 1) , b ? (3 , x ?1) ,则“ a ∥ b ”是“ x ? 2 ”的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 14、 若? x ? A. 180 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 )

?

?

?

?



? ?

2 ? 则展开式中的常数项是 ( ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大, x2 ?
B. 120 C. 90 D. 45

n

15、将函数 y ? sin 2 x ( x ? R )的图像分别向左平移 m ( m ? 0 )个单位,向右平移 n ( n ? 0 )个单位,所得到的两个图像都与函数 y ? sin? 2 x ? 的最小值为( A. ) B.

? ?

??

? 的图像重合,则 m ? n 6?
4? 3

2? 3

5? 6

C. ?

D.

16、已知 ? 为锐角, sin ? ? A. ?

1 7

4 ? ,则 tan(? ? ) =( ) 5 4 1 B. C. ? 7 7


D.7

17、复数 z ? A.1 ? i

1 (i 为虚数单位)的共轭复数 z 是( 1? i
B.1+i C.

1 1 ? i 2 2

D.

1 1 ? i 2 2

18、建立从集合 A ? {1, 2,3, 4} 到集合 B ? {5,6,7} 的所有函数,从中随机抽取一个函数,则 其值域是 B 的概率为( A. )

9 16

B.

19、将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? 坐标缩短到原来的 A. ?

?
4

3 16

C.

4 9

D.

8 9

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图象上每一点的横

1 8

1 ? 倍,所得图象关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为( ) 2 4 3 3 1 B. ? C. ? D. ? 8 4 2


20、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n (n ? N * ) ,则 S2012 =(

A. 2

2012

?1

B. 3 ? 21006 ? 3 D. 3 ? 21005 ? 2

C. 3 ? 21006 ? 1

21 、 已 知 函 数 f ( x ) 的 导 函 数 的 图 像 如 图 所 示 , a 、 b 、 c 分 别 若 ?ABC 所 对 的 边 且

3a 2 ? 3b2 ? c2 ? 4 ab 角三角形,则一定成立的是(
A. f (sin A) ? f (cos B) C. f (sin A) ? f (sin B)



B. f (sin A) ? f (cos B) D. f (cos A) ? f (cos B) )

22、若关于 x 的不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? a 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为( A. ? ??,1? B. ? ??,1? C. ? ??,5? D. ( ??,5)
2

23、定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? 3 f ( x) ,当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x ? 2x ,若

1 3 x ?[?4, ?2] 时, f ( x) ? ( ? t ) 恒成立,则实数 t 的取值范围是( 8 t
A. ? ??, ?1? ? ? 0,3? C. ? ?1,0? ? ?3, ???



B. ??, ? 3 ? ? 0, 3 ?

?

?

?

?

D. ? ? 3, 0 ? ? 3, ??

?

?

?

?

24、设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在 [a , b] 上是单调函数;② f ( x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] ,则称区间 [a , b] 是函数 .下列结论错误的是???????????????( f ( x) 的“和谐区间”
2 A.函数 f ( x) ? x ( x ? 0 )存在“和谐区间”



B.函数 f ( x) ? e ( x ? R )不存在“和谐区间”
x

C.函数 f ( x ) ?

4x ( x ? 0 )存在“和谐区间” x ?1
2

D.函数 f ( x) ? loga ? a x ? ? ( a ? 0 , a ? 1 )不存在“和谐区间”

? ?

1? 8?

三、解答题 25、 (本题满分 7 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 , x ? R . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形 ABC 中,若 f ( A) ? 1 , AB ? AC ?

2 ,求△ ABC 的面积.

26、 (本题满分 7 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 An , a1 ? a5 ? 6, A9 ? 63. (1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前 n 项和 An ; (2) 数列 {bn }的前 n 项和 Bn 满足: 数列 {an ? bn } 的前 n 项和为 Sn , 6Bn ? 8bn ?1,(n ? N * ) , 求证:

Sn 1 ?? . n 4 8

27、 (本题满分 8 分) 如图,正三棱锥 A ? BCD 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 , E 为棱 BC 的中点. (1)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)求该三棱锥的体积 V .
A

B E
C

D

28、 (本题满分 13 分)

? 3? 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4,且点 ? ?1, 2 ? ? 在椭圆 C 上. ? ?
(1)求椭圆 C 的方程;
? ? (2) 设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点, 过 P 作方向向量 d ? ? 2,1? 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、B

两点,求证: PA ? PB 为定值.

2

2

29、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

m ? 2 ( m 为实常数) . x

(1)若 y ? f ( x) 图像上动点 P 到定点 Q(0 , 2) 的距离的最小值为 2 ,求实数 m 的值; (2)若 y ? f ( x) 在区间 [2 , ? ?) 上是增函数,试用单调性的定义求实数 m 的取值范围. (3)设 m ? 0 ,若不等式 f ( x) ? kx 在 x ? ?

?1 ? , 1 有解,求 k 的取值范围. ?2 ? ?

30、 (本题满分 13 分) 过点 P (4,2) 作直线 l 交 x 轴于 A 点、交 y 轴于 B 点,且 P 位于 AB 两点之间.
??? ? ??? ? (1) AP ? 3PB ,求直线 l 的方程;

??? ? ??? ? (2)求当 AP ? PB 取得最小值时直线 l 的方程.

31、 (本题满分 18 分) 已知 m ? 1 ,直线 l: x ? my ? 焦点. (1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. (ⅰ)求线段 AB 长度的最大值;

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C: 2 ? y 2 ? 1 , F1 , F2 分别为椭圆 C 的左、右 2 m

y A
O l

x

B

(ⅱ) V AF1 F2 , VBF1 F2 的重心分别为 G,H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数

m 的取值范围.

2015 年春季高考模拟试卷五参考答案

13-17BACCD 18-24CBBAC CD 25、详细解答如下:

26、 an ? 2n ? 3, An ? n2 ? 2n ;

S n 6n ? 11 11 S n ?1 S n 1 11 ? ? , n ?1 ? n ? ? ? 0. n n 4 18 18 ? 4 4 4 3 6 ? 4n ?1
27、详细解答如下:

28、详细解答如下:

29、详细解答如下:

30、解:显然直线 l 的斜率 k 存在且 k ? 0 ,
2 设 l: y ? k ( x ? 4) ? 2 ,得 A(4 ? ,0) , B(0,2 ? 4k ) k

因为 P 位于 AB 两点之间,所以 4 ?

2 ? 4 且 2 ? 4 k ? 2 ,所以 k ? 0 . k

??? ? ??? ? 2 AP ? ( ,2) , PB ? (?4,? 4k ) . k ??? ? ??? ? 1 2 (1) AP ? 3PB ,所以 ? 3 ? (?4) ,所以 k ? ? . 6 k
直线 l 的方程为 x ? 6 y ? 16 ? 0 .
??? ? ??? ? 1 1 (2) AP ? PB ? 8((?k ) ? (? )) ≥16 ,当 ?k ? ? 即 k ? ?1 时,等号成立. k k ??? ? ??? ? 所以当 AP ? PB 取得最小值时直线 l 的方程为 x ? y ? 6 ? 0

31、解: (1)因为直线 l: x ? my ? 所以 m2 ? 1 ?

m2 ? 0 经过 F2 ( m2 ? 1 , 0) , 2

m2 ,得 m2 ? 2 , 2

又因为 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,故直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 (2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 )

? m2 x ? my ? ? m2 ? 2 ,消去 x 得 2 由? 2 2 y ? my ? ?1 ? 0 , 4 ? x ? y2 ? 1 ? ? m2

m2 ? 1) ? ?m2 ? 8 ? 0 ,知 m2 ? 8 , 4 m2 1 m 且有 y1 ? y2 ? ? , y1 ? y2 ? ? 2 8 2
则由 ? ? m2 ? 8( (ⅰ) | AB |? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (m2 ? 1)(( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 )
? (m2 ? 1)((? m 2 m2 1 1 1 81 7 ) ? 4?( ? )) ? (m2 ? 1)(8 ? m2 ) ? ? (m2 ? ) 2 2 8 2 2 2 4 2

所以,当 m2 ?

7 9 时, | AB |max ? 2 4

x y x y (ⅱ)由于 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) ,可知 G( 1 , 1 ) , H ( 2 , 2 ) , 3 3 3 3 ???? ? ???? 因为原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,所以 OH ? OG ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

所以 x1 x2 ? y1 y2 ? (my1 ?

m2 1 m2 m2 ) ( ? )?0 , )(my2 ? ) ? y1 y2 ? (m2 ? 1 8 2 2 2

解得 m2 ? 4 (符合 m2 ? 8 )又因为 m ? 1 ,所以 m 的取值范围是 (1,2)


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