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纵向泵浦固体激光介质热透镜效应的理论研究


 第 12 卷 第 1 期  2000 年 2 月















H IGH POW ER LA SER AND PA R T ICL E B EAM S

. V o l 12, N o. 1  Feb. , 2000 

文章编号: 1001- 4322 ( 2000) 01- 027- 05

纵向泵浦固体激光介质热透镜效应的理论研究
余 锦, 檀慧明, 钱龙生, 刘伟仁
( 中国科学院长春光学精密机械研究所, 长春 130022)

  摘 要:  在分析了纵向泵浦、 周边致冷固体激光棒内加热及冷却机理的基础上, 将热传 导方程简化为一维形式, 求解出以级数方式表达的棒内温度分布, 获得了激光棒中热致应力 场和应变场。 考虑热色散、 热致应力双折射和端面变形, 推导出纵向泵浦固体激光棒有效热焦 距的解析表达式。 将所获结果运用于常用的激光晶体 N d ∶YA G, 发现当使用 10 半导体激 W 光器泵浦时, 所产生的有效热焦距在毫米量级。   关键词:  纵向泵浦; 热透镜效应; 有效热焦距   中图分类号: TN 241    文献标识码: A

  自进入九十年代以来, 随着大功率半导体激光器 (LD ) 的发展, LD 泵浦的全固体激光器已逐渐成为 当今激光领域的重要发展方向。与传统的灯泵浦激光器相比, LD 纵向泵浦 ( 也称为端面泵浦) 的全固体 激光器具有体积小、 结构简单、 可靠性好、 转换效率高、 光束质量好等独特的优点。 但是, 由于这种泵浦结 构所引起的非均匀温度场及相应的热聚焦作用会对激光器的运转带来严重的影响, 并成为实现其大功 率化时的最终限制因素之一。   对纵向泵浦固体激光棒热效应的分析, 目前常用的办法是借助于计算机, 采用数值解法 [ 1, 2 ] , 或是将 讨论仅限于热色散[ 3, 4 ]。很明显, 这样的分析方法或是不够直观, 或是不够全面, 各自均具有局限性。A. ( “大礼帽” top 2ha t ) 光束纵向泵浦的激光棒进行了分析, 建立了棒内温度及应力的解 K. Cou sin s 对采用 [5] 析模型 。 但是, 他没有进一步对激光介质的热透镜效应进行分析, 并且, 作者过于简化的泵浦光束模型 也影响了文章结论的实用性。   事实上, 目前用作泵浦源的多是端面发射的二极管激光器列阵 (a rray ) , 它复杂的空间光强分布用 高斯函数来近似更为合理。 本文中, 我们就对这种高斯光束纵向泵浦、 周边冷却的固体激光棒所产生的 热透镜效应进行了探讨。 首先, 分析了影响温度场分布的诸因素, 把热传导方程简化为只考虑径向传导 的一维形式, 并获得以级数形式表示的棒内温度和热致应力、 应变的表达式。 然后, 在分别考虑了激光棒 热色散、 热致应力双折射和端面变形后, 推导出等效热透镜有效焦距的解析表达式, 并将结论应用于 N d ∶YA G 晶体, 发现在 GaA lA s 半导体激光器泵浦下, 所产生的热透镜效应比以前作者所估计的要严重 得多。

1 端泵浦激光棒内的温度分布

  图 1 为典型的纵向泵浦固体激光棒结构, 整个装置由长度 L 、 半径 R 0 的激光晶体, 铜制热沉和致冷 器组成。 在主动致冷作用下, 激光晶体的侧表面具有固定温度 T b。 热导率为 k 的固体激光棒受到发热强 度分布为 q ( r , z ) 的热源作用时, 其稳态温度分布 T ( r , z ) 应满足泊松方程 2 ( 1)     - k T ( r, z ) = q ( r, z )   考虑到一般用作泵浦源的半导体激光器, 其光强分布可用高斯函数来近似。 设激光棒内热源只有一 种, 即激光内跃迁损耗 ( quan tum defect ) , 那么, 棒内热源函数也是高斯型。假定泵浦能量在激光棒内以 指数形式衰减, 则可把热源函数q ( r , z ) ( 即激光棒内部某一点处由于激光内跃迁损耗而在单位时间单位

Ξ

Ξ

国家 863 激光技术领域及青年科技基金资助课题。

1999 年 2 月 16 日收到原稿, 1999 年 11 月 17 日收到修改稿。

余 锦, 男, 1971 年 7 月出生, 博士. 现在吉林大学物理系从事博士后研究

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体积内产生的热量) 表示为
q ( r, z ) =

式中, Α为激光晶体对泵浦光功率的吸收系数; Γh 是由 荧光量子效率和内跃迁损耗决定的热转换系数; P in 代 表入射泵浦功率, w p 为泵浦高斯光束半径。 对于周边 冷却的固体激光棒, 边界条件可用如下方程表示 5T ( 3) = 0,   r = 0 5r ( 4) T = T h ,  r = R 0 5T ( 5) k (T - T ∞ ) = 0,  z = 0, L h 5n 其中, T h 和 T ∞ 分别是热沉及周围环境的温度; 5T 5n 固体激光棒内温度分布表示为
T ( r, z ) = T b +

表示在两个端面上温度沿外法向的导数; h 代表激光 棒 端面对流换热系数。 方程 ( 3) 表明激光棒内温度场 ( 分布具有连续、 沿轴向对称的性质。 4) 式为狄立拆利 (D irich let ) 条件, 表明激光棒侧面因主动制冷且与热 沉的良好接触而具有恒定的温度 T b。 方程 ( 5) 也即牛 顿冷却定律, 它表明稳态时, 从激光棒两端面上因对流 而向周围环境散失的热量将由从棒内因传导而带来的 热量补偿。 该式在受泵浦端面 ( z = 0) 取 - ’ 号, 而在 ‘ 泵浦光出射端面 ( z = L ) 取 + ’ ‘ 号。对大多数激光器, 热沉均由铜制成, 其热传导系数是典型激光晶体 YA G

的约 30 倍, 从棒端面散发的热量也仅占总散热量的很 vs rad iu s fo r d ifferen t p um p ing w aists 小一部分, 约 1% 左右 [ 4~ 6 ]。 因此, 除了受泵浦端面附近  图 2 不同大小的泵浦光斑下, 激光棒温度的径向分布因子 3 很小的区域外, 纵向热传导对棒内温度分布几乎不产 t ( r) 在横截面内的变化, 图中, W p = w p R 0 [4 6] ~ 生什么影响 。 我们所感兴趣的是光束通过激光棒 后产生的畸变, 所以可将方程 ( 1) 简化为一维形式 1 5 5T ( r , z ) 1 (r ) = ( 6) q ( r, z ) r 5r 5r k 将方程 ( 2) 代入 ( 6) 中, 并将热源函数 q ( r , z ) 中的指数项展开为级数形式, 经过计算, 我们可以把端泵浦

式中 t ( r ) 为激光棒内温度径向分布因子。图 2 为在不同大小的泵浦光斑下, t ( r ) 在激光棒横截面内的变 化。 从图中可以看到, 泵浦光斑越小, 激光棒轴线附近的温度变化越剧烈, 且在整个棒内的分布越不均 匀。 很明显, 棒内温度与激光棒物理性质、 冷却情况和入射泵浦光功率及其横向分布有关, 并沿轴向以指 数形式衰减。 正是这复杂的温度场决定着激光棒的热聚焦性质。

2 端泵浦激光棒的有效热焦距

  一般用于纵向泵浦的固体激光棒, 其纵向尺寸均比横向尺寸小许多。对纵横比 L R 0 < 1 的激光棒, 可以采用薄板近似, 即假定轴向应力为零, 把问题简化为平面应力问题。 在这样的近似下, 根据热弹性力 [7] 学原理 , 棒内径向、 角向和轴向热应力 Ρr、 Η 和 Ρz 分别为 Ρ
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2Α h P in eΓ

Α h P in Γ e 4Π k

2 Π p w

2 2 r2 w p - Α z

e

( 2)

图 1 典型纵向泵浦固体激光棒结构主视及侧视图

F ig. 2 T he rad ial facto r of rod tem p eratu re



Α z

∑m
m= 1

( - 1) m 2 m 2m Α h P in Γ ( 2 ) ( r - R 2m ) = T b + e 0 m! wp 4Π k

F ig. 1 Side 2and end 2view of a typ ical long itud inally 2 um p ed laser rod p
Α z

t ( r)

( 7)

第1期

余 锦: 纵向泵浦固体激光介质热透镜效应的理论研究

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式中 Α 、 分别代表激光介质的热膨胀系数及杨氏弹性模量。 这些热应力的存在, 使得激光棒内出现了 T E 各处不等的应变分布, 以 Μ 代表激光晶体的泊松比, 此不均匀性可由轴上应变与轴外应变之差异来表示 ∞ ( - 1) m Α Γh P in - Αz T 2 r2 ) ( 2m + 1) ( 2 ) m ?Ε = Ε ( 0, z ) - Ε ( r , z ) = ( 1 + Μ e ∑ r r r (m + 1) . 8Π k wp m= 1 m   对沿轴向传播的平面波相干光束, 因泵浦而在棒内无限小距离 d z 内产生的光程差 d s ( r , z ) 为[ 2, 5 ] 3 5n ( ) 5n ( 10) d s ( r, z ) = T r , z d z + ( n 0 - 1) Ε d z + ∑ Ε dz z ij 5T T i, j = 1 5 决定, 且式中积分是从 z = 0 到 z = L 沿轴向进行。   对如 YA G 这样的立方晶体, 由应变导致的折射率变化为 [ 8 ] 5n r 5Ε r 5n r 5Ε z 5n r 5Ε = Η
n0
3

在棒出射面 z = L 上, 不同半径 r 处具有不同的光程差。而激光棒的热聚焦性质是由这些光程差之间的 差异决定的, 即由 ? s ( r) =

其中 p ij 值代表激光晶体的应变光弹性系数; 下标 r 和 Η用于指示折射率的径向和切向分量。 有关系 ?<f = k ’2 2f , 也即 r
f r= f =

  对于所讨论的端泵浦激光棒, 可以把它视为有效热焦距为 f 的薄透镜, 其热聚焦性质由整个棒体 在出射面上所引入的位相差 ?<f 来决定。 从参考文献 [ 9 ] 中可知, 对于波数为 k ’ 的入射波, ?<f 与 f 之间 把 ( 7) 至 ( 12) 式代入方程 ( 13) , 并只考虑近轴光束的聚焦特性, 即将二次方及二次方以上各项视为象差 而予忽略, 那么, 有效焦距的轴向及切向分量可分别表示为
2 Π p kw Γh E in ( 1 - e-

2   从方程 ( 14) , 我们可以看到两个方向的热焦距均与泵浦光束尺寸 w p 成正比、 与入射泵浦功率 P in 成 - Α L 反比。 事实上, 分母中的 Γh P in ( 1- e ) 代表着单位时间内激光棒所吸收的热能, 因此, 吸热越多, 热效应

越严重。式中三项很明显地表示出了热透镜效应的三个组成部分。径向和角向有效焦距的不同, 表明出 现了热致双折射。 这对激光器 ( 尤其是偏振激光器) 的运转必将带来附加的去偏损失。

3 讨 论

  为了对端泵浦固体激光器热透镜效应有一个量的认识, 我们来考察一个 GaA lA s 激光二极管 (LD )
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2 Π p kw f Η= Γh E in ( 1 - e-

) ?Ε = Ε ( 0, z ) - Ε ( r, z ) = ( 1 + Μ Η Η Η

) ?Ε = Ε ( 0, z ) - Ε ( r, z ) = ( 1 + Μ z z z



Ρr =
Α L

ΡΗ =

Ρz = 0
12 [

n0 5n ) ) + Α ( n 0 - 1) ( 1 + Μ Α ( 1 + Μ ( 7p 11 + 17p 12 - 8p 44 ) ] T T Α [ L ) 5T 24
3

5n ?3 ( r, z ) d z + 5T
3 3  6

n0 5n ) ) + Α ( n 0 - 1) ( 1 + Μ Α ( 1 + Μ ( 9p 11 + 15p 12 ) ] T T ) 5T 24
3

Α E Γh P in T e 8Π k

∞ Α z

∑m
m= 1

( - 1) m 2 m 2m ( 2 ) (R 0 m! wp ( - 1) m 2 m 2m ( 2 ) [R 0 m! wp

2m r )

Α E Γh P in T e 8Π k



1 5  - 2 2 4  - 4

Α z

∑m
m= 1

( 2m + 1) r2m ]

( 8)



( n 0 - 1) ?Ε ( r, z ) d z + z
p 11 p 12 ,   5n Η 5Ε = Η p 44

Α Γh P in T e 8Π k
r
2



Α Γh P in T e 4Π k
2? s

5n Η 5Ε r 5n Η 5Ε z

Α z

∑m
m= 1



Α z

∑m
m= 1

( - 1) m 2 r 2 m ( 2)
m. w
p

( - 1) m 2 r2 ( 2 )m (m + 1) . w p
3
i, j = 1

( 9)

n0

12

∑ 5T ?Ε ( r, z ) dz ∫
ij

3

1 5  - 2 3 3  6 2 4  - 4

5n

( 11)

p 11 p 12 p 44

( 12)

( 13)

1

( 14)

1

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第 12 卷

f Η= 3. 67cm , 表明小的泵浦光斑引起的热透镜效应变得更加严重。

1   Farruch U O , Buocristian i A M , Byvik C E. A n analysis of the tem p eratu re d istribu tion in fin ite so lid 2state laser rod s. IE E E J

2  PF istner C, W eber R , W eber H P, et al T herm al beam d isto rtion in end 2p um p ed N d ∶ YA G, N d ∶ GSGG and N d ∶ YL F rod s. .

3  F rauch iger J , A lbers P, W eber H P. M odeling of therm al len sing and h igher o rder ring m ode o scillation in end 2p um p ed so lid state

4   Innocenzi M E, Yu ra H T , F rucher C L , F ield s R A. T herm al m odeling of con tinuou s2 ave end 2p um p ed so lid state lasers. A pp l w

5 Cou sin s A K. T em p eratu re and therm al stress scaling in fin ite2leng th end 2 um p ed laser rod s. IE E E J Q uan tum E lectron , 1992, 28 p (4) : 1057 1069 ~ 6 Su tton S B , A lb rech t G F. O p tical d isto rtion in end 2 um p ed so lid state lasers. A pp l Op t, 1993, 32 (27) : 5256 5269 ~ p 7  ang C 2 A pp lied E lasticity. N ew Yo rk: M cGR aw - H I ~ W H. LL p ub lish ing Co. L td. , 1953. 70 76 8   Koechner W , R ice D K. Effect of b irefringence on the p erfo rm ance of linearly po larized YA G ∶N d lasers.
IE E E J Q uan tum

泵浦的掺钕钇铝石榴石 (N d ∶YA G ) 激光器。众所周知, N d ∶YA G 是一种综合性能 ( 光学、 力学和热学) 优良的立方晶系激光晶体, 加上它的吸收光谱与激发波长在 810nm 附近的 GaA lA s LD 能够很好地重 合, 因此成为发展大功率全固化激光器时的首选晶体。 其常用的热光性质参数为[ 2 ]: 泵浦波长 Κ = p
809nm , 激光波长 Κ = 1. 064Λ , 1Λ 处折射率 n = 1. 82, 5n 5T = 7. 3×10L m m
- 6 6

K, 热导率 k = 13 m ?K, W

泊松比 Μ 0. 30, 热膨胀系数 Α = 8. 2×10 K, 杨氏弹性模量 E = 310GPa, 对 809nm 泵浦光的吸收率 Α = T = 9. 1 cm , 应变光弹性系数 p 11、 12、 44 分别取值- 0. 029、 0091 及- 0. 0615。 0. p p   根据计算, 我们知道, 对纵向泵浦激光器, 由热色散和端面变形导致的热效应均很严重, 其热焦距比 热致双折射热焦距小约一个数量级。 这与在灯泵浦情况下, 仅热色散就占总热效应的 3 4 有很大不 同[ 10 ]。 另外, 从图 3 中看出, 在 10W 泵浦下, N d ∶YA G 激光器产生的热焦距在毫米量级, 这比以前的作 者所估计的要严重得多[ 4 ]。 考虑到 YA G 与其他激光晶体如 YVO 4、 GSGG 等相比, 具有更加优良的热学 性能, 因此, 这些晶体的热效应将更加严重, 在进行腔体设计时, 需要想法予以补偿。 参考文献
~ Q uan tum E lectron , 1988, 24 (11) : 2253 2264 ~ IE E E J Q uan tum E lectron , 1994, 30 (7) : 1605 1615 ~ lasers. IE E E J Q uan tum E lectron , 1992, 26 (4) : 1046 1056 ~ P hy s L ett, 1990, 56 (19) : 1831 1833

  图 3 为 Α = 3, 也就是 95% 的泵浦光能在单次通过激光晶体时即被吸收的情形下, N d ∶YA G 激光 L 棒有效热焦距随入射泵浦功率的变化曲线。其中已假设荧光量子效率等于 1, 即激光棒内热效应完全由 激光内跃迁损耗引起, Γh = 1 - Κ Κ 。图 3 ( a ) 中泵浦光斑半径为 100Λ , 图 3 ( b ) 中为 80Λ 。从图中 p L m m 可以看出, 在入射光功率 P in = 2W 时, 大小为 100Λ 的泵浦光束引起的径向、 切向有效热焦距分别为 f r m = 5. 2cm 、 Η= 5. 74cm 。 而在将泵浦光斑大小进一步减小为 80Λ 时, 有效热焦距则减小到 f r = 3. 33cm 、 f m
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F ig. 3 Effective therm al focal leng th vs inciden t p um p pow er fo r p um p w aists of ( a ) w p = 100Λ and ( b ) w p = 80Λ m m

图 3 不同泵浦光束束腰情况下, 有效热焦距随入射泵浦功率的变化。

第1期

余 锦: 纵向泵浦固体激光介质热透镜效应的理论研究

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~ E lectron , 1970, QE- 6: 557 566
9  arcu se D. L igh t T ran sm ission O p tics, 5th ed ition. N ew Yo rk: V an N o strand R einho ld, 1982. 130 137 ~ M 10 Koechner W. So lid 2State L aser Eng ineering. N ew Yo rk: Sp ringer2 erlag, 1976. 344 382 ~ V

THEO RET ICAL STUDY O N THERM AL BEAM FOCUS ING IN LO NG ITUD INALLY - PUM PED SOL I - STATE LASER ROD S D
C hang chun Institu te of Op tics and F ine M echan ics, C h inese A cad em y of S ciences, C hang chun , 130022

. ob ta ined in the fo rm of pow er series T he facto rs concern ing w ith therm a l beam focu sing a re d iscu ssed and the effective foca l leng th of the therm a l len s is derived. A long itud ina lly2 um p ed N d: YA G rod is illu stra ted a s an exam p le and the p . resu lts show tha t 10 of p um p pow er is p red icted to cau se a therm a l foca l leng th in the o rder of m illi eters W m

  ABSTRACT:   T em p era tu re d istribu tion w ith in a long itud ina lly2 um p ed and edge- coo led so lid 2sta te la ser rod is p   KEY WO RD S:   long itud ina lly2 um p ing; therm a l len sing; effective therm a l foca l leng th p ? 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.

YU J in, TAN H u i2 ing, Q I m AN L ong 2sheng, L I W ei2ren U


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