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高三数学滚动测试


高三数学滚动测试③
郑学锋 一 王风华 选择题: 2- bi 1、如 复 果 数 (其 i为 数 位 b为 数 实 和 部 为 反 , 么 于 中 虚 单 , 实 )的 部 虚 互 相 数 那 b等 ( 1+ 2i A. 2 2 B. 3 C.?

) D. 2

2 3

2、函数 y ?

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为





8、设动直线 x ? m 与函数 f ( x) ? x3 , g ( x) ? ln x 的图象分别交于点 M 、 N ,则 | MN | 的最小 值为 ( )

A. (?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1] ( )

3、若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? A.1 B. 2

?
2

1 A. (1 ? ln 3) 3

1 B. ln 3 3

1 C. (1 ? ln 3) 3

D. ln 3 ? 1

,则 f ( x ) 的最大值为 D. 3 ? 2

9黑 上 一 解 正 的 三 形 习 , 位 学 小 把 中 部 擦 了 现 只 看 : △ABC中 角 B 板 有 道 答 确 解 角 的 题 一 同 不 心 其 一 分 去 , 在 能 到 在 , A、 、 对 分 为 b、 已 a= 2, C的 边 别 a、 c, 知 ??, 得 解 b= 6 .根 以 信 , 认 下 哪 据 上 息 你 为 面 个选 可 作 这 习 的 项 以 为 个 题 其 余. 条. 已. 件 知. ( ) 1 B. 1, c= cosC= 3 D. 75° A= C= , 45°

C. 3 ? 1
2

1 4用 max{a, b}表 a, 个 中 最 数 设 示 b两 数 的 大 , f(x)= max{x , x}(x≥ ), 么 函 y= 那 由 数 f(x)的 象 x轴 直 x= 图 、 、 线 4 1 和 线 2所 成 封 图 的 积 ( 直 x= 围 的 闭 形 面 是 4 35 A. 12 59 B. 24 ) 57 C. 8 91 D. 12

A. 30° B= A= , 45° C. 60° c= B= , 3

10、设 f ( x ) ? sin ?x 是[0,1]上的函数,且定义 f1 ( x ) ? f ( x ) ,?, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,

n ? N * ,则满足 f n ( x) ? x, x ?[0,1]的 x 的个数是(
A.2 n 二 填空题: B.2 n
2

)
n

5 、如图,在 ?ABC中, AN ?

????

??? ? ??? 2 ???? ? AC ,则实数 m 的值为( 若 AP ? m AB ? ) 11 9 5 3 2 A. B. C. D. 11 11 11 11

1 ???? NC ,P 是 BN 上的一点, 3

C. 2

D. 2(2n ? 1)

11、 已知实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 9 , ab ? bc ? ca ? 24 ,则 b 的取值范围是



12、 已知在△ABC 中,∠ACB=90° ,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、 BC 的距离乘积的最大值是_______.
1 1 1 13、 将函数 f ( x) ? sin x ? sin ( x ? 2π) ? sin ( x ? 3π) 在区间 (0, ??) 内的全部极值点按从小到大的顺 4 4 2 序排成数列{an} ,则数列{an}的通项公式 .

6、 O 为 ?ABC 内一点,若对任意 k ? R ,恒有 | OA ? OB ? k BC |?| AC |, 则 ?ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 ) 7、甲乙两人同时驾车从 A 地出发前往 B 地,他们都曾经以速度 v1 或 v 2 行驶,在全程中,甲的时间速度 关系如图甲,乙的路程速度关系如图乙,那么下列说法正确的是 ( A. 甲先到达 B 地 B. 乙先到达 B 地 C. 甲乙同时到达 B 地 D. 无法确定谁先到达 B 地

1 ? lg xy 2 ? 2 ? x3 14、设实数 x, y 满足条件 ? ,则 lg 4 的最大值为 x2 y ? ? 1 ? lg y ? 2
15对 次 数 三 函 f(x)= 3+ 2+ d(a≠0), 义 设 ax bx cx+ 定 : f″(x)是 数 f(x)的 数 f′(x)的 数 若 程 函 y= 导 y= 导 , 方 f″(x)=

0有 数 x0, 称 (x0, 0))为 数 f(x)的 实 解 则 点 f(x 函 y= “拐 ”. 点 有 学 现 同 发 “任 一 三 函 都 ‘拐 ’; 何 个 次 数 有 称 心 且 何 个 次 数 有 点 任 一 三 函 都 对 中 ; ‘拐 ’就 对 中 . 点 是 称 心 ”请 将 你 这 发 为 件 求 一 现 条 , (1)函 f(x)= 3- 2+ 称 心 ________. 数 x 3x 3x对 中 为 1 3 1 2 5 1 ? 1 ?+g? 2 ?+g? 3 ?+g? 4 ?+?+ (2)若函数 g(x)= x - x +3x- + ,则 g? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 12 1 ?2011? ?2011? ?2011? ?2011? x- 2

(2)若 n= n)lgf(an), 是 存 m, 得 列 n}中 一 恒 于 后 的 ? 存 , 出 取 范 ; c f(a 问 否 在 使 数 {c 每 项 小 它 面 项 若 在 求 m的 值 围 若 不 在 请 明 由 存 , 说 理 .

19、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对一切正整数 n ,点 Pn (n, S n ) 都在函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的 图象上,且过点 Pn (n, S n ) 的切线的斜率为 k n . (1)求数列 {an } 的通项公式;

g?

?2010?=________. ? ?2011?
解答题:



R (2) Q ? {x | x ? k n , n ? N *} , ? {x | x ? 2an , n ? N *} , 设 等差数列 {cn } 的任一项 c n ? Q ? R ,
其中 c1 是 Q ? R 中的最小数, 110 ? c10 ? 115 ,求 {cn } 的通项公式.

16 、 已 知 O 为 坐标 原点 , 向 量 OA ? (sin? ,1),OB ? (cos? ,0),OC ? (? sin ? ,2), 点 P 满 足

AB ? BP .
(1)记函数 f (? ) ? PB ? CA, ? ? ( ?

? ?

, ), 讨论函数 f (? ) 的单调性,并求其值域; 8 2

20、已知函数 f ( x) ? x2 ? a | ln x ?1| , g ( x) ? x | x ? a | ?2 ? 2ln 2, a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上的最大值;

(2)若 O、P、C 三点共线,求 OA ? OB 的值。

17、某广场一雕塑广场造型结构如图所示,最上层是一呈水平状态的圆环,其半径为 2m,通过 金属杆 BC、CA1、CA2、CA3 支撑在地面 B 处(BC 垂直于水平面), A1、A2、A3 是圆环上的三等 分点,圆环所在的水平面距地面 10m,设金属杆 CA1、CA2、CA3 所在直线与圆环所在水平面所成 的角都为 ? 。 (1)当 ? 的正弦值为多少时,金属杆 BC、CA1、CA2、CA3 的总长最短? (2)为美观与安全,在圆环上设置 A1、A2、 ?、An (n ? 4) 个等分点,并仍按上面方法连接, ?

3 a, x ?[1, ??) 恒成立,求 a 的取值范围; 2 (3)对任意 x1 ?[1, ??) ,总存在惟一的 x2 ?[2, ??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 求 a 的取值范围 ...
(2)若 f ( x) ?

21、设函数 f ( x) ? x 2 ? bln(x ? 1) (1)若对定义域内的任意 x ,都有 f ( x) ? f (1) 成立,求实数 b 的值; (2)若函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围; (3)求证:

若还要求金属杆 BC、CA1、CA2、 、CAn 的总长最短,对比(1)中 C 点位置,此时 C 点将会上移 ? 还是下移,请说明理由。

1 2 3 n ?1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? ln( n ? 1) ( n ? N * ) 3 2 3 4 n

[解析] (1)f′(x)=3x2-6x+3,f″(x)=6x-6,令 6x-6=0 得 x=1,f(1)=1,∴f(x)的对称 中心为(1,1).[来源:学科网] 1 1 5 1 (2)令 h(x)= x3- x2+3x- ,k(x)= ,h′(x)=x2-x+3,h″(x)=2x-1,由 2x-1=0 3 2 12 1 x- 2

18已 f(x)= x(m为 数 m>0且 知 m 常 , m≠1). f(a1), 2), 设 f(a ?, n)?(n∈N)是 项 m2, 比 m的 比 列 f(a 首 为 公 为 等 数 . (1)若 n= nf(an), 数 {bn}的 n项 为 n, m= , Sn; b a 且 列 前 和 S 当 2时 求

1 1 1 1 1 1 1 5 得 x= ,h?2?= ×?2?3- ×?2?2+3× - =1, 2 ? ? 3 ? ? 2 ? ? 2 12 1 ∴h(x)的对称中心为?2,1?, ? ? 1 2 2010 ∴h(x)+h(1-x)=2,x= , ,?, . 2011 2011 2011 1 又 k(x)的对称中心为?2,0?, ? ? 1 2 2010 ∴k(x)+k(1-x)=0,x= , ,?, . 2011 2011 2011 1 2 2010 1 2 2010 1 2 ∴g ?2011? +g ?2011? +?+g ?2011? =h ?2011? +h ?2011? +?+h ?2011? +k ?2011? +k ?2011? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2010 +?+k?2011?=2010. ? ? 20.解: (Ⅰ)当 a ? 1 , x ? [1, e] 时 f ( x) ? x2 ? ln x ? 1 , f ?( x) ? 2 x ?

y min ?

3a a a ? ln , 2 2 2

且此时 f (

a ) ? f (e) ? e2 …………………………………………………………8 分 2

(iii)当

a ? e ,即 a ? 2e 2 时, f ?(x) 在 x ? (1, e) 时为负数,所以 f (x) 在区间[1,e]上为减函 2

数,故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e 2 …………9 分

1 ? f ?(1) ? 1 , x

所以 f ( x ) 在 [1, e] 递增,所以 f ( x)max ? f (e) ? e 2 …………………………………4 分

? 1 ? a,0 ? a ? 2 ? 3a a a 综上所述,函数 y ? f (x) 的最小值为 y min ? ? ? ln ,2 ? a ? 2e 2 ……………10 分 ?2 22 2 e , a ? 2e 2 ? 3 3 a a 3 2 所以当 1 ? a ? a 时,得 0 ? a ? 2 ;当 a ? ln ? a ( 2 ? a ? 2e )时,无解; 2 2 2 2 2
当e ?
2

a (Ⅱ)①当 x ? e 时, f ( x) ? x 2 ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ? ,? a ? 0 ,? f ( x) ? 0 恒成立, x

3 2 a ( a ? 2e 2 )时,得 a ? e 不成立. 2 3

? f (x) 在 [e,??) 上增函数,故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e 2 …………………………5 分
2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

综上,所求 a 的取值范围是 0 ? a ? 2 …………………………………………11 分

? (Ⅲ)①当 0 ? a ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 单调递增,由 g (2) 6 ? 2a ? 2ln 2 ? 1 ? a ,
5 2 ? ln 2 ? a ? 2 ………………………………………………………………12 分 3 3 a 3a a a ? ? ln , ②当 1 ? ? 2 时, g ( x) 在 [2, ??) 先减后增,由 g (2) 2a ? 2 ? 2 ln 2 ? 2 2 2 2 a a a a 得 ? ln ? 2 ? 2 ln 2 ? 0 ,设 h(t ) ? t ? t ln t ? 2 ? 2ln 2(t ? ) , h?(t ) ? 2 ? ln t ? 0(1 ? t ? 2) , 2 2 2 2
得 所以 h(t ) 单调递增且 h(2) ? 0 ,所以 h(t ) ? 0 恒成立得 2 ? a ? 4 …………………14 分

a 2 a a ? (x ? )(x ? ), x x 2 2

(i)当 数,

a ? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ?(x) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f (x) 在区间 [1, e) 上为增函 2

2 故当 x ? 1 时, y min ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e) ? e ……………………………7 分

(ii)当 1 ? 数,

a a a ? e ,即 2 ? a ? 2e 2 时, f ?(x) 在 x ? (1, ) 时为负数,在间 x ? ( , e ) 时为正 2 2 2

a a a ? e 2 时, f ( x) 在 [2, ] 递增,在 [ , a] 递减, 2 2 2 a 3a a a ? ln , 在 [ a, ??) 递增,所以由 g ( ) ? 2 2 2 2
③当 2 ? 得

y

a a a 所 以 f (x) 在 区 间 [1, 时, ) 上 为 减 函 数 , 在 ( , e] 上 为 增 函 数 , 故 当 x ? 2 2 2

a 2 3a a a ? ? ln ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,设 m(t ) ? t 2 ? 3t ? t ln t ? 2 ? 2ln 2 , 4 2 2 2

a 2

a

x

则 m?(t ) ? 2t ? 2 ? ln t ? 0(t ? (2, e2 ) ,所以 m(t ) 递增,且 m(2) ? 0 , 所以 m(t ) ? 0 恒成立,无解.
2 ④当 a ? 2e 时, f ( x ) 在 [2, ] 递增,在 [ , a ] 递减,在 [ a, ??) 递增,

a 2

a 2

所以由 g ( ) ? e 得

a 2

a2 ? e2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 无解. 4
5 3 2 ln 2, 4) ……………16 分 3

综上,所求 a 的取值范围是 a ? [ ?


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