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导数与函数的单调性


导数与函数的单调性

高二数学 选修1-1

第四章

导数及其应用

一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 D 上,当 x 1、x 2 ∈D 且 x 1< x 2 时 1)都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是增函数; 2)都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ), 则 f ( x ) 在G 上是减函数; D=(a,b) y y

o a b x o 若 f(x) 在D上是增函数或减函数, 则 f(x) 在D上具有严格的单调性。

a

b

x

D 称为单调区间

2.用定义证明函数的单调性的一般步骤: (1)任取x1、x2∈D,且x1< x2. (2)作差f(x1)-f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (4)定号(判断差f(x1)-f(x2)的正负)(与0比较) (5)结论

练习:讨论函数 y ? x ? 4 x ? 3 的单调性.
2

图象法 定义法

单调递增区间:(2,+∞). 单调递减区间:(-∞,2).

思考:那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行,但十分麻烦,尤其是在不知道函数图象

时。例如:2x3-6x2+7,是否有更为简捷的方法
呢?下面我们通过函数的y=x2-4x+3图象来

考察单调性与导数有什么关系

再观察函数y=x2-4x+3的图象: y

0

. . . . . ..
2

总结: 该函数在区间 (-∞,2)上单调递 减,切线斜率小于0,即 其导数为负; 在区间(2,+∞) 上单调递增,切线斜 x率大于0,即其导数 为正. 而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性 发生改变.

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系.
y y=x y
y= O x x O x2 y y= x3 y

y?
x O

1 x
x

O

在某个区间(a,b)内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数

y ? f ( x)在这个区间内单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那
么函数 y

? f ( x)

在这个区间内单调递减.

如果恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 是常数。

函数及图象
y
f ( x) ? x2

单调性

切线斜率 导数的正负 k 的正负

在(??,0)上递减
在(0, ??)上递增

o y
y ? f ( x)

x

k<0 k>0
k>0

+
+ -

递增
b x
y ? f ( x)

o a
y

递减

k<0

o a

b x

在某个区间(a , b)内,

f '( x ) ? 0

? f ( x )在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0
注意:

? f ( x )在(a, b)内单调递减

如果恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 是常数。

应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义, 它必 是定义域内的某个区间。

题型:应用导数信息确定函数大致图象 例1 已知导函数 f ?(x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x)在此区间内
单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时,

f ?( x) ? 0, 可知 f (x) 在此区
y

f ?( x) ? 0.
综上, 函数 f (x)图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x

题型:应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息:

分析:
? f ( x )在此区间递减

当2 ? x ? 3时,f '( x ) ? 0;

当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0; ? f ( x )在此区间递增 当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0. ? f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降

试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。

变化,切线平行 x轴

y ? f ( x)

y A B

o

2

3 x

题型:应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息:

分析:
? f ( x )在此区间递减

当2 ? x ? 3时,f '( x ) ? 0;

当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0; ? f ( x )在此区间递增 当x ? 3或x ? 2时,f '( x ) ? 0. ? f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降

试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解: f ( x ) 的大致形状如右图:

变化,切线平行 x轴

y ? f ( x)

y A B

这里,称A,B两点为“临界点”

o

2

3 x

练习:
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数, ? f '( x )的图象如 右图所示,则 y ? f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y ? f ( x)
1 2 x

y

y ? f '( x )
2 x

o y

o

(A)

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

题型:求函数的单调性、单调区间
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

?1? f ( x) ? x

2

? 2 x ? 3;
2

(2) f ( x) ? 2 x ? 3x ? 24 x ? 1.
3

(1)解:

f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1).
令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 1
函数的减区间为

令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ? 1

? 函数的增区间为 ?1 +? ? ; ,

1 ? -?,? ;

(2)解

?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 24 f

令 f ?( x) ? 0 , 解得 x ?

? ? -1- 17 ? ? -1+ 17 ? 函数的增区间为 ? -?, ,? ? + ? ? 和? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? -1- 17 -1+ 17 ? ? 函数的减区间为 , ? ? ? 2 2 ? ? ?

? 1 ? 17 ? 1 ? 17 , 或x ? 2 2 ? 1 ? 17 ? 1 ? 17 ?x? 令f ?( x) ? 0 , 解得 2 2

总结:
1°什么情况下,用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便?

总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时,应考虑导数法。
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤? ①求定义域

②求 f '( x )

③令f '( x ) ? 0解不等式 ? f ( x )的递增区间
f '( x ) ? 0解不等式 ? f ( x )的递减区间

④作出结论

注:单调区间不以“并集”出现。

总结:
3。证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:

(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号

(3)作出结论

理解训练:
求函数 y ? 3 x 2 ? 3 x 的单调区间。
1 1 令y ' ? 0得x ? , 令y ' ? 0得x ? 2 2 1 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( , ?? ) 2 1 单调递减区间为 ( ?? , ) 2 变1:求函数 y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间。

解: ? y ' ? 6 x ? 3

解: ? y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2)
2

2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3

2

练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x ? 2 x ? 4;
2 3

(2) f ( x) ? e ? x;
x 3 2

(3) f ( x) ? 3x ? x ; (4) f ( x) ? x ? x ? x. (1)单调递增区间:(1, ??),单调递减区间:(-?,1)
(2)单调递增区间:(0, ??),单调递减区间:(-?,0)
(3)单调递增区间:(?1,1), 单调递减区间:(-?,1),(1,+?) 1 (4)单调递增区间:(1, ??),(-?,- ) 3 1 单调递减区间:(- ,1) 3

练习
函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数( B )

? 3? 3? 5? A. ( , ) B. (? , 2? ) C . ( , ) D. (2? , 3? ) 2 2 2 2

解: y ' ? x 'cos x ? x(cos x )'? (sin x )'

? cos x ? x sin x ? cos x ? ? x sin x y y ? sin x
o

?

2?

3?

x

如图,当x ? (? , 2? )时, x ? 0,?? x sin x ? 0, sin

即:y ' ? 0

? 该函数在(? , 2? )上为增函数。

函数单调性与导数的关系
1.如果在区间(a,b)内f’(x)>0(f’(x)<0),那么函数 f(x)在(a,b)内为增函数(减函数) 2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数(减函数) , 那么f’(x)≥0(f’(x)≤0)在区间(a,b)内恒成立。

题型:根据函数的单调性求参数的取值范围
例4:求参数的范围 若函数f(x) ? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

求a 的取值范围

解:f ( x ) ? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

? f '( x ) ? 3ax - 2 x ? 1 ? 0在(-?,+?)上恒成立。
2

?a ? 0 ?? ?? ? 4 ? 12a ? 0

1 ?a ? 3

1 例2:已知函数(x) 2ax ? 2 ,x ?(0,1],若(x)在 f ? f x x ?(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
2 解:f '(x) ? 2a ? 3 x

∵函数在(0,1]上单调递增 ? f '(x)? 0,

1 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x
3 (? g'(x) ? 4 >0在(0, 1]上恒成立) x
? g(x)max ? g(1)=-1

1 即a ? - 3 在x ? 1]上恒成立 (0, x

? a ? -1 所以a的范围是[-1,+?)

f 注: 在某个区间上,'(x)>0(或<0) ,f(x)在 这个区间上单调递增(递减);

但由f(x)在这个区间上单调递增(递减) 而仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调, 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
本题用到一个重要的转化:

m≥f(x)恒成立 ? m ? f (x)max m ? f (x)恒成立 ? m ? f (x )min

练习2 若f (x )在(0, 1]上是增函数,求a的取值范围。

已知函数f (x )= 2ax - x 3,x ?(0, a ? 0, 1],

解:f (x)=2ax - x3在(0, 1]上是增函数, ? f '(x)=2a - 3x ? 0在(0, 1]上恒成立,
2

3 2 即:a ? x 在(0, 1]上恒成立, 2 3 2 3 而g( x ) ? x 在(0, 1]上的最大值为 , 2 2 3 ?a ? 。 3 2 [ ,?? )

2

练习:
已知函数f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数, 求a的取值范围。 解:f(x)=ax? +3x? -x+1在R上是减函数, ∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立, ∴a<0且△=36+12a≤0, ∴a ≤-3


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