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五个离散型随机变量的分布列(师).doc


法Ⅱ: X ~ B? 2,

7 7 ? 7? ? , P? X ? 0? , P? X ? 1? , P? X ? 2? ; E ? X ? ? 2 ? ? 10 5 ? 10 ?

1 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个

白球、 2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球, 若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在 1 次游戏中,①摸出 3 个白球的概率;②获奖的概率;( 6 分) (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). 2 某次考试中,从甲、乙两个班级各随机抽取 10 名学生的成绩进行统计 分析,两班成绩的茎叶图如图所示,成绩不小于 60 分为及格.(I)从 甲、 乙两班的 10 名学生中各抽取一人,已知有人及格,求乙班学生不 及格的概率;(II)从甲班 10 人中取 1 人,乙班 10 人中取 2 人,三人中 及格人数记为 ? ,求 ? 的分布列及期望.

7 5

3 甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试

和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立. 根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别 是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率; (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学 4 生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为 次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 元件 A 元件 B 8 7 12 18 40 40 32 29 8 6

(1)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率;(2)生产一件元件 A,若是正品可盈利 80 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下.(i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 280 元的概率; (ii)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学 期望. 132 5)中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母,“辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力,为保证航母 的动力安全性,科学家对蒸汽轮机进行了 170 余项技术改进,增加了某项新技术,该项新 技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假如 该项新技术的指标甲、 乙、 丙独立通过检测合格的概率分别为

3 2 1 、 、 .指标甲、 乙、 4 3 2

丙合格分别记为 4 分、2 分、4 分;若某项指标不合格,则该项指标记 0 分,各项指标检测 结果互不影响.(I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与

数学期望.

23 12

6 一次考试共有 12 道选择题,每道选择题都有 4 个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标 准规定:“每题只选一个选项,答对得 5 分,不答或答错得零分”.某考生已确定有 8 道题 的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可以判断一 个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生: (1) 得 60 分的概率;(2) 所得分数 ξ 的分布列和数学期望.
7 实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有合格和

优秀两个等次,若考核为合格,则授予 10 分降分资格;考核优秀,授予 20 分降分资格.假 设甲乙丙考核为优秀的概率分别为

2 2 1 、 、 ,他们考核所得的等次相互独立. 3 3 2

(Ⅰ)求在这次考核中,甲乙丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率. (Ⅱ)记在这次考核中甲乙丙三名同学所得降分之和为随机变量 ? ,求随机变量 ? 的分布 列和数学期望 E? .

145 3

7 某公司组织员工活动,有这样一个游戏项目:甲箱里装有 3 个白球,2 个黑球,乙箱里装有 1

个白球,2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个 球,若摸出一个白球记 3 分,一个黑球记 1 分,规定得分不低于 8 分则获奖(每次游戏结束 后将球放回原箱).(I)求在 1 次游戏中,(1)得 6 分的概率;(2)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望.

7 5

8 春节期间,某商场决定从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,选出 3 种商品进行促销活动.

⑴)试求选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率; ⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销 ,即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元,规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为 m 元的奖 金;若中两次奖,则共获得数额为 3m 元的奖金;若中 3 次奖,则共获得数额为 6 m 元的奖 金.假设顾客每次抽奖中获的概率都是 能使促销方案对商场有利? 所以故 m 最高定为 75 元,才能使促销方案对商场有利 . 9 袋中有 8 个大小相同的小球,其中 1 个黑球,3 个白球,4 个红球.(I)若从袋中一次摸出 2 个 小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出 3 个小球,且 3 个球中,黑球与白球的 个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

1 ,请问:商场将奖金数额 m 最高定为多少元,才 3

9 5

1. (2010 年高考(山东理) )某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A、B、C、D 四个问题,

规则如下:① 每位参加者记分器的初始分均为 10 分,答对问题 A、 B、 C、 D 分别加 1 分、

2 分、3 分、6 分,答错任一题减 2 分; ② 每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局;当 累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局; ③ 每位参加者按问题 A、B、C、D 顺序作答,直至答题结束. 假设甲同学对问题 A、B、C、D 回答正确的概率依次为 确与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率; (Ⅱ)用 ξ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ξ 的分布列和数学期望 Ε ξ .

3 1 1 1 、 、 、 ,且各题回答正 4 2 3 4

10 3

2. (2013 届山东省高考压轴卷理科数学))“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调

查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取 30 名路 人进行了问卷调查,得到了如下列联表: 男 女 合 性 性 计 10 反 不 8 反 感 合 30 计 已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是 .

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据 此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关? 1.158 (Ⅱ)若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动,记反感“中国式过马路”的 人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

6 7

3. (山东省文登市 2013 届高三 3 月二轮模拟考试数学(理) )某市文化馆在春节期间举行高中

生“蓝天海洋杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得分,负者得 分,比 赛进行到有一人比对方多 分或打满 局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲每局 获胜的概率皆为 ,且各局比赛胜负互不影响.

(Ⅰ)求比赛进行 局结束,且乙比甲多得 分的概率; (Ⅱ)设 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 的分布列和数学期望.

【答案】解(Ⅰ)由题意知,乙每局获胜的概率皆为

比赛进行

局结束,且乙比甲多得

分 即 头 两 局 乙 胜 一 局 ,3,4 局 连 胜 , 则

(Ⅱ)由题意知, 的取值为



所以随机变量 的分布列为



12

4. (山东威海市 2013 年 5 月高三模拟考试数学(理科) )某单位在“五四青年节”举行“绿色

环保杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,先胜 3 局者将赢得这次比赛,比赛结束. 假设选手乙每局获胜的概率为

1 ,且各局比赛胜负互不影响,已知甲先胜一局. 3

(Ⅰ)求比赛进行 5 局结束且乙胜的概率; (Ⅱ)设 ? 表示从第二局开始到比赛结束时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学 期望.
【答案】解(Ⅰ)设乙获胜的概率为 P 乙 ,由已知甲每局获胜的概率皆为 1 ?

1 2 ? 3 3

由题意可知,4 局比赛中,最后一局乙嬴,前三局中乙赢了其中任意两局
2 2 ∴概率为 P 乙 ? C3 ( ) ?

1 3

2 1 2 ? ? 3 3 27

(Ⅱ)由题意知, ? 的取值为 2,3, 4
2 则 P(? ? 2) ? ( ) ?

2 4 3 9 1 2 2 1 9 1 1 P(? ? 3) ? C2 ? ( )3 ? ? 333 3 27 3

18 2 1 2 1 2 2 P(? ? 4) ? C3 ( ) ?P = 乙 ? 3 3 3 81 9
所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

2

3
1 3

4

4 9

2 9

则 E? ? 2 ?

4 1 2 25 ? 3? ? 4 ? ? 9 3 9 9

5. (山东济南外国语学校 2012—2013 学年度第一学期高三质量检测数学试题(理科) )以下茎

叶图记录了 甲、乙两组个四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示.

(Ⅰ)如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数; (Ⅱ)如果 X=9,分别从甲、 乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的 分布列和数学期望. 【答案】解(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为 x ?

8 ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ; 4 4

(Ⅱ)当 X=9 时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:9,9,11,11;乙组同学的植树 棵数是:9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有 4×4=16 种可能的 结果,这两名同学植树总棵数 Y 的可能取值为 17,18,19,20,21 事件“Y=17”等价于 “甲组选出的同学植树 9 棵,乙组选出的同学植树 8 棵”所以该事件有 2 种可能的

2 1 ? . 16 8 1 1 1 1 同理可得 P (Y ? 18) ? ; P (Y ? 19 ) ? ; P(Y ? 20) ? ; P(Y ? 21) ? . 4 4 4 8
结果,因此 P(Y=17)= 所以随机变量 Y 的分布列为: Y 1 7 18 19 20 2 1

P

1 8

1 4

1 4

1 4

1 8
1 +18× 8

EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×

1 1 1 1 +19× +20× +21× =19 8 4 4 4
6. (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理) )甲、乙两人进行乒乓球比赛,

已知一局中甲胜乙的概率为 0.6,现实行三局两胜制,假设各局比赛结果相互独立(1)求甲获胜的概率; (2)用 x 表示甲获胜的局数,求 x 的分布列和数学期望 E(X).
【答案】

7. (2013 年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学)(本小题满分 l2 分)

某次考试中,从甲,乙两个班各抽取 10 名学生的成绩进行统计分析,两班 10 名学生成绩 的茎叶图如图所示,成绩不小于 90 分为及格.

(I)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一人及格的概率; (Ⅱ)从甲班 l0 人中取两人,乙班 l0 人中取一人,三人中及格人数记为 X,求 X 的分布列 和期望.
【答案】

8. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)在某社区举办的《2013 年迎新

春知识有奖问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关过年知识的问题,已知甲回 答对这道题的概率是 ,甲、丙二人都回答错的概率是 ,乙、丙二人都回答对的概率

是 (1)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率; (2)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.
【答案】

9. (2009 高考(山东理))在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在

A 处每投进一球得 3 分, 在 B 处每投进一球得 2 分; 如果前两次得分之和超过 3 分即停 止投篮,否则投第三次,某同学在 A 处的命中率 q 1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q 2 , 该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得 的总分,其分布列为

0

2 3 4 P3 P1 P2 5 P4

?
0.03 p

(1) (2) (3)

求 q 2 的值; 求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3

分的概率的大小。
【答案】解:(1)设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互

独立,且 P(A)=0.25, P( A) ? 0.75 , P(B)= q 2 , P(B) ? 1 ? q2 . 根 据 分 布 列 知 : ? =0 时 P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75(1 ? q2 ) =0.03, 所 以
2

,q 2 =0.2. 1 ? q2 ? 0 . 2 (2)当 ? =2 时, P1= P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) =0.75 q 2 ( 1 ? q2 )×2=1.5 q 2 ( 1 ? q2 )=0.24
当 ? =3 时, P2 = P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25(1 ? q2 ) =0.01,
2

当 ? =4 时, P3= P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q2 =0.48,
2

当 ? =5 时, P4= P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 =0.24
所以随机变量 ? 的分布列为

?
p

0 0.03

2 0.24

3 0.01

4 0.48

5 0.24

随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 (3)该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 P( BBB ? BBB ? BB)

? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 ;
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.
10. (山东省济宁市 2013 届高三 4 月联考理科数学)某产品按行业生产标准分成 6 个等级,等

级系数 ? 依次为 1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数 ? ? 5 的为一等品, 3 ? ? ? 5 的为二等品, ? ? 3 的为三等品. 若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级 系数组成一个样本,数据如下;

(1)以此 30 件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、 二等品和三等品的概率; (2) 该 厂 生 产 一 件 产 品 的 利 润 y( 单 位 : 元 ) 与 产 品 的 等 级 系 数 ? 的 关 系 式 为

?1, ? ? 3 ? y ? ? 2, 3 ? ? ? 5 ,若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为 Z,求 Z 的分布列和数学 ? 4, ? ? 5 ?

期望.
【答案】

11. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)某电视台举办有奖竞答活动,活动

规则如下:①每人最多答 4 个小题;②答题过程中,若答对则继续答题 ,答错则停止答 题;③答对每个小题可得 1 ,答错得 0 分.甲、乙两人参加了此次竞答活动,且相互之间 没有影响.已知甲答对每个题的概率为 ,乙答对每个题的概为 .

( I )设甲的最后得分为 X,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为 20 分的概率. 【答案】解:(I) 的取值可为:0,10,20,30,40 ,

,

,

,

. 的分布列如下: 0 10 20 30 40 ……………………………………5 分

数学期望 (II)设“甲、乙最后得分之和为 20 分”为事件 ,“甲恰好得 0 分且乙恰好得 20 分” 为事件 ,“恰好得 10 分且乙恰好得 10 分”为事件 ,“甲恰好得 20 分且乙恰好得 0 分”为事件 ,则事件 、 、 互斥,且 .



,

,

12. (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)在一个盒子中,放有

标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 的随机抽取两张卡片,记第一次 ... 抽取卡片的标号为 记 , 第二次抽取卡片的标号为 . .设 为坐标原点 , 点 的坐标为

(Ⅰ)求随机变量 的最大值,并求事件“ 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 的分布列和数学期望.
【答案】

13. (山东省莱芜五中 2013 届高三 4 月模拟数学(理)试题)2012 年 10 月莫言获得诺贝尔文

学奖后,其家乡山东高密政府准备投资 6.7 亿元打造旅游带,包括莫言旧居周围的莫言 文化体验区,红高粱文化休闲区,爱国主义教育基地等;为此某文化旅游公司向社会公开 征集旅游带建设方案,在收到的方案中甲、乙、丙三个方案引起了专家评委的注意,现已

知甲、 乙、 丙三个方案能被选中的概率分别为 , ,

2 3 1 ,且假设各自能否被选中是无关的. 5 4 3

(1)求甲、乙、丙三个方案只有两个被选中的概率; (2)记甲、乙、丙三个方案被选中的个数为 ? ,试求 ? 的期望.
【 答 案 】 解 : 记 甲 、 乙 、 丙 三 个 方 案 被 选 中 的 事 件 分 别 为 A, B, C , 则

P ( A) ?

2 3 1 , P ( B ) ? , P (C ) ? . 5 4 3
被 选 中 , 概 率 为

(1)“只有两个方案被选中”可分为三种情形: ① 甲 未 被 选 中 , 乙 、 丙

3 3 1 3 P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? ? 5 4 3 20
② 乙 未 被 选 中 , 甲 、 丙 被 选 中 , 概 率 为

2 1 1 1 P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? ? 5 4 3 30
③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为 P( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ?

2 3 2 1 ? ? ? 5 4 3 5

以上三种情况是互斥的. 因此只有两个方案被选中的概率为: P ? (2)由题意可知 ? 的可能取值为 0,1,2,3

3 1 1 23 ? ? ? 20 30 5 60

3 1 2 1 P(? ? 0) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? ? ; 5 4 3 10

P(? ? 1) ? P( A ? B ? C) ? P( A ? B ? C) ? P( A? B ? C) ? P( A) ? P(B) ? P(C) ? P( A) ? P(B) ? P(C) ? P( A) ? P(B) ? P(C)
2 1 2 3 3 2 3 1 1 25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
由(1)知 P (? ? 2) ?

23 ; 60

2 3 1 1 P(? ? 3) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? ? ? ? 5 4 3 10

故 E? ? 0 ?

1 25 23 1 89 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 10 60 60 10 60

14. (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A) )M 公司从某大学招收毕业生,经过

综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位: 分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作. 另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作”. (I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (II)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作” 的人数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

【答案】

15. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)若盒中装有同一型号的

灯泡共 10 只,其中有 8 只合格品,2 只次品. (1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次取到次品的 概率; (2)某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是 正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室 的已坏灯泡所用灯泡只数 的分布列和数学期望.
【答案】(1)解:设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得:

2

分 有 放 回 连 续 取 3 次 , 其 中 2 次 取 得 次 品 记 为 事 件 B, 由 独 立 重 复 试 验 得 :

(2)依据知 X 的可能取值为 1.2.35 且 6

7

8 则 X 的分布列如下表:
X 1 2 3

p

16. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)为普及高中生安全逃生知识与安全

防护能力,某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预 赛和决赛两个阶段 ,预赛为笔试,决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩

(得分均为整数,满分为
分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合 计

分)进行统计,制成如下频率分布表.
频数(人数) 频率

(Ⅰ)求出上表中的 (Ⅱ)按规定,预赛成绩不低于

的值; 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定

出场顺序.已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率; ②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为
【答案】

,求

的分布列和数学期望.

解:(Ⅰ)由题意知, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共 6 人, ①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 则 ,

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为

②随机变量

的可能取值为

,

,

, 随机变量 的分布列为:

因为 所以随机变量 的数学期望为

,

17. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如

下: ①连续竞猜 3 次,每次相互独立; ②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为 a,再由乙猜甲写的数字,记为 b,已 知 ,若 ,则本次竞猜成功;

③在 3 次竞猜中,至少有 2 次竞猜成功,则两人获奖 (I)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率; (Ⅱ)现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏,这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎 记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X,求 X 的分布列和期望
【答案】

18. (山东省凤城高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 )

从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中,每摸出 2 个球为一次试验,直到摸出的 球中有红球(不放回),则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率; (Ⅱ)记试验次数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . 【答案】解:(I)设“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为设计 A,

则 P( A) ?

1 1 C2 C6 3 ? C82 7 1 1 2 C2 C6 ? C2 13 ; ? 2 C8 28 2 1 1 2 C6 C4 C2 ? C2 9 ; ? ? 2 2 C8 C6 28

(II) P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

2 2 2 1 1 2 2 2 C6 C6 C4 C2 C2 ? C2 C4 C2 5 1 ; P( X ? 4) ? 2 ? 2 ? 2 ? ; P( X ? 3) ? 2 ? 2 ? ? 2 C8 C6 C4 28 C8 C6 C4 28

X 的分布列为

X P

1

2

3

4

13 28

9 28

5 1 28 28

E ( X ) ? 1?

13 9 5 1 25 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 28 28 28 28 14

19. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)某校 50 名学生参加智力答题活动,

每人回答 3 个问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表:
答对题目 0 个数 人数 5 10 20 15 1 2 3

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率; (Ⅱ)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求 随机变量 X 的分布列及数学期望 EX.
【答案】解(Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为 4 或 5”为事件 A,则

,

即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为 (Ⅱ)依题意可知 X 的可能取值分别为 0,1,2,3.



从而 X 的分布列为:
X P
0 1 2 3

X 的数学期望
20. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)某学生参加某高校的自主招生考试,

须依次参加 A、B、C、D、E 五项考试,如果前四 项中有两项不合格或第五项不合格 ,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时, 一定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项 考试不合格的概率均为 (1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为 记 A={前四项均合格} B={前四项中仅有一项不合格} 则 P(A)= ,求 的分布列和期望.
【答案】解:(1)若该生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格

,参加第五项不合格的概率为

P(B)=
又 A、B 互斥,故所求概率为 P=P(A)+P(B)=

(2)该生参加考试的项数 可以是 2,3,4,5.

,

,

2

3

4

5

21. (山东省 2013 届高三高考模拟卷(一)理科数学)为迎接 2013 年“两会”(全国人大 3 月

5 日-3 月 18 日、全国政协 3 月 3 日-3 月 14 日)的胜利召开,某机构举办猜奖活动,参与 者需先后回答两道选择题,问题 A 有四个选项,问题 B 有五个选项,但都只有一个选项是 正确的,正确回答问题 A 可获奖金 m 元,正确回答问题 B 可获奖金 n 元.活动规定:参与 者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中止.假 设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使 该参与者获奖金额的期望值较大.
【答案】 【解析】该参与者随机猜对问题 A 的概率 P 1 ?

1 , 4

随机猜对问题 B 的概率 P2 ?

1 . 5

回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: ①先回答问题 A,再回答问题 B,参与者获奖金额 ? 的可能取值为 0, m, m ? n , 则 P(? ? 0) ? 1 ? P 1 ?

3 , 4
1 4 1 ? ? , 4 5 5

P(? ? m) ? P 1 (1 ? P 2) ?

P(? ? m ? n) ? P 1P 2 ?

1 1 1 ? ? . 4 5 20

数学期望 E? ? 0 ?

3 1 1 m n ? m ? ? ( m ? n) ? ? ? . 4 5 20 4 20

②先回答问题 B,再回答问题 A,参与者获奖金额? 的可能取值为 0, n, m ? n , 则 P (? ? 0) ? 1 ? P2 ?

4 , 5

1 3 3 P(? ? n) ? P2 (1 ? P ? ? , 1) ? 5 4 20

1 1 1 P(? ? m ? n) ? P2 P ? ? . 1 ? 5 4 20
数学期望 E? ? 0 ?

4 3 1 m n ? n? ? ( m ? n) ? ? ? . 5 20 20 20 5

E? ? E? ? (

m n m n 4m ? 3n ? )?( ? ) ? . 4 20 20 5 20

于是,当 值较大; 当

m 3 ? 时, E? ? E? ,即先回答问题 A,再回答问题 B,参与者获奖金额的期望 n 4

m 3 ? 时, E? ? E? ,无论是先回答问题 A,再回答问题 B,还是先回答问题 B,再回答 n 4

问题 A,参与者获奖金额的期望值相等; 当

m 3 ? 时, E? ? E? ,即先回答问题 B,再回答问题 A,参与者获奖金额的期望值较大. n 4

22. (山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学(理)试题)一次考试中,五名学生的数学、

物理成绩如下表所示: 学生 数学(x 分) 物理(y 分) A1 89 87 A2 91 89 A3 93 89 A4 95 92 A5 97 93

(1)根据上表中的数据,求出这些数据的线性回归方程; (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中的同学 的物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值.
【答案】解:(1) x =

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 = 93 , 5

y=
5

87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 90 , 5

? (x
i ?1
5

i

? x ) 2 ? (?4) 2 ? (?2) 2 ? 0 2

? 2 2 ? 4 2 ? 40,

? (x
i ?1

i

? x )( yi ? y ) ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30 ,

b?

30 ? 0.75 , bx ? 69.75 , a ? y ? bx ? 20.25 40

? ? 0.75 x ? 20.25 故这些数据的回归方程是: y
(2)随机变量 X 的可能取值为 0 , 1 , 2
2 1 1 2 C2 C2 C2 2 C2 1 1 P(X ? 0)= 2 ? ; P(X ? 1)= 2 ? ; P(X ? 2)= 2 ? C4 6 C4 3 C4 6

故 X 的分布列

为:

? E (X ) = 0 ?

1 + 6

X
p

0
1 6

1

2

23. (2012 年山东理) (19)

2 3

1 6

1?

2 1 + 2 ? =1 6 3

现有甲、乙两个靶 , 次,命中的概率为 3 ,

某射手向甲靶射击一 命中得 1 分,没有命中得

4

0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该

3

射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX . 【答案】 (19)解:(Ⅰ)记“该射手恰好命中一次”为事件 A ;“该射手设计甲靶命中”为 B 事件 ;“该射 手第一次射击乙靶命中”为事件 C ;“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D . 由题意知, P(B) ? 3 , P(C ) ? P( D) ? 2 ,

4

3

由于 A ? BCD ? BCD ? BCD ,根据事件的独立性与互斥性得

P( A) ? P(BCD ? BCD ? BCD) ? P(BCD) ? P(BCD) ? P(BCD) ? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? 2 ? (1 ? 2) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? 2 4 3 3 4 3 3 4 3 3 ? 7 36 (Ⅱ)根据题意, X 的所以可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 .

根据事件的独立性和互斥性得

P( X ? 0) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 36 P( X ? 1) ? P(BCD) ? 3 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2) ? 1 , 4 3 3 12 3 P( X ? 2) ? P(BCD) ? P(BCD) ? (1 ? ) ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 , 4 3 3 9 P( X ? 3) ? P(BCD) ? P(BCD) ? 3 ? 2 ? (1 ? 2) ? 2 ? 1 4 3 3 3 P( X ? 4) ? P(BCD) ? (1 ? 3) ? 2 ? 2 ? 1 4 3 3 9 P( X ? 5) ? P(BCD) ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 4 3 3 3
故 X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

4

5

1 36
36

1 12
12 9

1 9 3

1 3
9

1 9 3 12

1 3

所以 EX ? 0 ? 1 ? 1? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 1 ? 41 .
24. (山东省临沂市 2013 届高三第三次模拟考试 理科数学)某市统计局就本地居民的月收入

调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不 包括右端点,如第一组表示月收入在[1000,1500),单位:元). (Ⅰ)估计居民月收入在[1500,2000)的概率; (Ⅱ)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (Ⅲ)若将频率视为概率 ,从本地随机抽取 3 位居民 (看做有放回的抽样 ),求月收入在 [1500,2000)的居民数 X 的分布和数学期望.
频率/组距 0.0005 0.0003 0.0002 0.0001 0 1000 2000 3000 4000 月收入(元)

【答案】解(Ⅰ)居民月收入在[1500,2000)的概率约为

1 ? (0.0002 ? 0.0001 ? 0.0003 ? 0.0005 ? 2) ? 500

? 1 ? 0.0016 ? 500 ? 1 ? 0.8 ? 0.2.
(Ⅱ)由频率分布直方图知,中位数在[2000,2500), 设中位数为 x,则

0.0002 ? 500 ? 0.2 ? 0.0005( x ? 2000) ? 0.5,
解得 x ? 2400 . (Ⅲ)居民月收入在[1000,2000)的概率为

0.0002 ? 500 ? 0.2 ? 0.3,

由题意知,X~B(3, 0.3),
0 因此 P( x ? 0) ? C3 ? 0.73 ? 0.343, 1 P( x ? 1) ? C3 ? 0.72 ? 0.3 ? 0.441, 2 P( x ? 2) ? C3 ? 0.7 ? 0.32 ? 0.189, 3 P( x ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.027.(10 分)

故随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 X 的数学期望为 3×0.3=0.9. P 0.343 0.441 0.189 0.027
25. (山东省菏泽市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)某种家用电器每台的销售利

润与该电器的无故障时间 T(单位:年)有关,若 T ? 1,则销售利润为 0 元;若 1<T ? 3,则销 售利润为 100 元,若 T>3,则销售利润为 200 元.设每台该种电器的无故障使用时间 T ?
2 1,1<T ? 3,T>3 这 三 种 情 况 发 生 的 概 率 分 别 为 P 1, P 2 为 方 程 25x 1, P 2, P 3 ,又知 P

-15x+a=0 的两根,且 P 2 ? P 3. (Ⅰ)求 P 1, P 2, P 3 的值; (Ⅱ)记 ? 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求 ? 的分布列及数学期望.

?P 1?P 2 ?P 3 ?1 ? 3 ? P ? P ? ? 1 2 【答案】解:(Ⅰ)由已知得 解得:: 5 ? ? ? P2 ? P3
(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,100,200,300,400. P( ? =0)=

=

,

=

,

=

.

1 1 1 ? = 5 5 25

P( ? =100)= 2 ?

1 2 4 ? = 5 5 25

P( ? =200)= 2 ?

1 2 2 ? + 5 5 5

?

2 8 = 5 25 2 2 8 ? = 5 5 25
P( ? =400)=

P( ? =300)= 2 ?

2 2 4 ? = 5 5 25

随机变量 ? 的分布列为

?
p

0

10 0

20 0

300

400

1 25

4 25

8 25

8 25

4 25

所求的数学期望为 E ? =0 ?

1 4 8 8 4 +100 ? +200 ? +300 ? +400 ? =240(元) 25 25 25 25 25

所以随机变量 ? 的数学期望为 240 元.
26. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)从参加某次高三数学摸底考试的

同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成 6 组后,得到部分频率分布直 方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题. (1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平均分; (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100]记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 x 的分布列和数学期望.

【答案】

27. (山东省济南市 2013 届高三 4 月巩固性训练数学(理)试题)某企业计划投资 A,B 两个项

目, 根据市场分析,A,B 两个项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2,X1 和 X2 的分布列分别 为:

X1 P
0.8

5%

10% 0.2

X2 P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(1)若在 A,B 两个项目上各投资 1000 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利 润,求利润的期望 E ?Y1 ? , E ?Y2 ? 和方差 D ?Y1 ? , D ?Y2 ? ; (2)由于资金限制,企业只能将 x(0≤x≤1000)万元投资 A 项目,1000-x 万元投资 B 项 目,f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f(x)的 最小值,并指出 x 为何值时,f(x)取到最小值.

【答案】解: (1)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列为
1

50 0.8

100 0.2

Y2 P

20 0.2

80 0.5

120 0.3

P

E(Y1)=50×0.8+100×0.2=60, D(Y1)=(50-60)2×0.8+(100-60)2×0.2=400, E(Y2)=20×0.2+80×0.5+120×0.3=80, D(Y2)=(20-80)2×0.2+(80-80)2×0.5+(120-80)2×0.3=1200 (2) f ? x ? ? D ?
2 ? x ? ? 1000 ? x ? 1 ? 2 Y1 ? ? D ? Y2 ? ? 6 x D ?Y1 ? ? ?1000 ? x ? D ?Y2 ?? ? ? ? 1000 ? ? 1000 ? 10

=

4 4 2 2 2 6 4 [x +3(1000-x) ]= 4 (4x -6000x+3×10 ) 10 10 6000 ? 750 时,f(x)=300 为最小值 2? 4

当x?

28. (2011 年高考(山东理) )红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A 、 B 、 C 进行围棋比赛,甲

对A、 乙对 B 、 丙对 C 各一盘.已知甲胜 A 、 乙胜 B 、 丙胜 C 的概率分别为 0.6 、0.5 、 0.5 .假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率; (2)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? .
【答案】解析:(Ⅰ)记甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘中甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 分别为

事件 D, E, F ,则甲不胜 A、乙不胜 B、丙不胜 C 分别为事件 D, E, F ,根据各盘比赛结果 相互独立可得 故红队至少两名队员获胜的概率为 P ? P( DEF ) ? P( DEF ) ? P(DEF ) ? P(DEF )

? P(D)P(E)P(F ) ? P(D)P(E)P(F ) ? P(D)P(E)P(F ) ? P(D)P(E)P(F )
? 0.6 ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? 0.5 ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5

? 0.55 .
(Ⅱ)依题意可知 ? ? 0,1, 2,3 ,

P(? ? 0) ? P( DEF ) ? P(D)P(E)P(F ) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.5) ? 0.1; P(? ? 1) ? P(DEF ) ? P(DEF ) ? P(DEF )
? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? (1 ? 0.5) ? 0.5 ? 0.35
;

P(? ? 2) ? P(DEF ) ? P( DEF ) ? P( DEF )
? 0.6 ? 0.5 ? (1 ? 0.5) ? (1 ? 0.6) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? (1 ? 0.5) ? 0.5 ? 0.4 ; P(? ? 3) ? P( DEF ) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.15 .故 ? 的分布列为

?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15

故 E? ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.35 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.15 ? 1.6 .
29. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)某产品按行业生产标准

分成 6 个等级,等级系数 ? 依次为 1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数 ? ? 5 的为 一等品, 3 ? ? ? 5 的为二等品, ? ? 3 的为三等品. 若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级 系数组成一个样本,数据如下;

(I)以此 30 件产品的 产品的总体情况 , 试 产原一等品、二等品

样本来估计该厂 分别求出该厂生 和三等品的概率;

(II) 已知该厂生产一件产品的利润 y( 单位 : 元 ) 与产品的等级系数 ? 的关系式为

?1, ? ? 3 ? y ? ? 2, 3 ? ? ? 5 ,若从该厂大量产品中任取两件,其利润记为 Z,求 Z 的分布列和数学期 ? 4, ? ? 5 ?
望.

【答案】

30. (2013 山东高考数学(理) )甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜

利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是 是

1 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都 2

2 ,假设各局比赛结果相互独立. 3

(Ⅰ)分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3:2,则胜利 方得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望.
【答案】 解:(Ⅰ)记“甲队以 3:0 胜利”为事件 A1 ,“甲队以 3:1 胜利”为事件 A2 ,“甲

队以 3:2 胜利”为事件 A3 ,由题意,各局比赛结果相互独立,
3 故 P( A1 ) ? ( ) ?

8 , 27 2 2 2 8 P ( A2 ) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? ? , 3 3 3 27

2 3

2 2 1 4 P( A3 ) ? C41 ( ) 2 (1 ? ) 2 ? ? 3 3 2 27
所以,甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率分别是

8 8 4 , , ; 27 27 27

(Ⅱ)设“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4 ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以

2 2 1 4 P( A4 ) ? C41 (1 ? ) 2 ( ) 2 ? (1 ? ) ? 3 3 2 27 由题意,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3,,根据事件的互斥性得 16 P( X ? 0) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? , 27 4 P ( X ? 1) ? P ( A3 ) ? , 27 4 P( X ? 2) ? P( A4 ) ? , 27 3 P( X ? 3) ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ?P( X ? 2) ? 27 故 X 的分布列为 0 1 2 3 X 16 4 4 3 P 27 27 27 27 EX ? 0 ?
所以

16 4 4 3 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 27 27 27 27 9


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