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高中数学题型讲义(直线与圆)


直 线 与 圆 题 型 库(1)
知识精髓 ? 直线方程 ? 二个概念(斜率、倾斜角) ? 三个距离(点点、点线、平行线间) ? 四组关系(相交、平行、垂直、对称) ? 五种形式(点斜(标准) 、斜截、两点、截距、一般) 圆方程 ? 两种形式(标准、一般) ? 三种关系(点圆、线圆、圆圆) 主干题型 ? 倾斜角范围讨论 重点难点: 直线间关系 难点:对称关系;直线旋转一定角度后的斜率计算,如过圆外固定点的两条切线或割线斜率计算。 直线与圆间关系 圆与圆间关系 温馨提示:时刻不要忘记斜率不存在情况的讨论 思维路径 T1: k ? ?

?

T1***已知 ? ? [

? ?

, ) ,求直线 2 x cos a ? 3 y ? 1 的倾斜角范围? 6 2

3 3 2 cos a 5? ] , ? k ? [? , cos a ? (0, , 0) , ? 倾斜角a ? [ , ? ) 2 3 3 6

T2(SDM10)**** x cos a ? 3 y ? 2 ? 0 ,求其倾斜角范围? 温馨提示:倾斜角范围一般由斜率范围反演,有两种情形:两边和中间,即: ① k ? k0或k ? k0 ;② k1 ? k ? k2 斜率逆时针增大:0? ?? ,跨过 y 轴后, ?? ?0 正切函数在 [0,

T2: k ? ?

3 3 cos a ?k? ,因为 ?1 ? cos a ? 1 ? ? 3 3 3

如图:直线越靠近 y 轴,斜率绝对值越大,反之亦然 本题中 ? ?

?
2

)和(

?
2

, ? ) 上单增

3 3 3 ?k? ,其绝对值 k ? ,直线 3 3 3

越 靠

斜率绝对值越大,直线越靠近 y 轴,绝对值越小,直线越靠近 x 轴。 ? 斜率范围讨论

近 x 轴,所以倾斜角是 [0,

?
6

] ?[

5? ,? ) 6

T1***直线 l 过点 P(?1, 2), 且与以 A(?2, ?3),(3,0) 为端点的线段相交,求直线 l 的斜 率范围? ? 求直线方程(求斜率和过点,点斜式是根本)

T1:求直线斜率范围,要重点分析动直线是否存在“垂直状态”情形,若存在,则分 两类:>0 和<0,若不存在,则要么是在.>0 类范围,要么在<0 类范围。 通过图形可知本题动直线存在“垂直状态”的情况,因此分两类讨论。

T1:这种类型的题高考不会考,属于基本功题型;但必须熟练掌握,为高考题打下 基础; T2:这类题属于条件约束下的直线方程问题,通解思路就是根据条件选择合适直线 T2****过点 P(2,1) 的直线 l 交两轴于 A,B 两点,求(1)当 ?AOB 面积最小时直线方 方程形式,写出含参的直线方程形式,根据约束条件建立参数方程,进而求出参数 即可。这也是所有这类题型的通用解法。 程?(2) PA ? PB 最小时直线方程? T1***直线经点 P(2,3) ,且两坐标上的截距相等,求直线方程?

1

直 线 与 圆 题 型 库(2)
主干题型 ? 两条直线的平行与垂直 思维路径 快捷提示:只要涉及到直线问题,就得单拎出斜率不存在的情况进行分析。 T1、略。 T2:先分析①特殊情形: l1 ? x 轴: sin ? ? 0 ,此时: k1不存在;k2 ? ?2sin ? 再分析②一般情形: k1 =-

T1***(AH10)过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行(垂直)的直线方程是? T2****已知两条直线 l1 : x ? y sin ? ? 1 ? 0和l2 : 2 x sin ? ? y ? 1 ? 0 ,试求两直线平 行、垂直时 ? 的值。 ? 两直线交点问题

1 ;k2 ? ?2sin ? sin ?

然后再以上的两种情况下分别从平行和垂直约束下求参数值

T1*** 直 线 l 过 两 直 线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 和 5 x ? 2 y ? 1 ? 0的交点 , 且 垂 直 于 直 线

3x ? 5 y ? 6 ? 0 的直线方程?
T2**** BJM10) ( 直线 y ? kx ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的交点位于第一象限, k 范围? 则

T1、求出交点和斜率,点斜式写出即可。 T2:可通过图象分析求得。

T1:分特殊情况和一般情况进行分类分析; T2:图形如图: ? 距离问题 T1****求过点(-2,2)且与点(-1,1)的距离为 1 的直线方程? T2****直线 l : 3x ? y ? 1 ? 0 及点 A(4,1) ,B(0,4) ,C(2,0)求(1)在直线 l 上求 一点 P,使得 AP+CP 最小; (2)在直线 l 上求一点 Q,使得 AQ-BQ 绝对值最大。 同侧 ? 中点问题 T1****过点 P(3,0)作直线 l 使它被两条直线 2 x ? y ? 2 ? 0和x ? y ? 3 ? 0 所截得 线段恰好被 P 点平分,求直线 l 方程? T1:中点问题一般是设中点线段坐标,然后中点公式表示中点,如本题:可设线段 的一个端点是 ( x1 , y1 ) , 另一个端点 ( x2 , y2 ) , 则可列出四个方程 (斜率和中点: 2+2) , 然后只要求出一个端点,则就能把中点线段方程写出, 两侧

2

直 线 与 圆 题 型 库(3)
主干题型 ? 思维路径 T:思路 1:轨迹法:所求直线上任一点 ( x, y ) 关于对称点(2,3)的对称点(中点关 系)在已知直线上,因此: 2 ? 3 ? y ? 4(2 ? 2 ? x) ? 1 思路 2: 点对称直线平行且对称点到两直线距离相等。 利用这个几何关系列方程也可。 ? 轴对称问题 T: 思路 1: 轨迹法: 直线 l 2 上任一点 ( x, y ) 关于直线 l 的对称点一定在已知直线 l1 上, 其中轴对称点关系:连线垂直对称轴+中点在对称轴上 思路 2:具体点:在已知直线上取一具体点(0,4) ,然后求出其关于对称对称的点 ( x0 , y0 ) ,然后与对称轴和已知直线交点用两点式写出直线方程。 总而言之就是等腰三角形关系 主干题型 ? 求圆方程 思维路径

点对称问题

T***直线 l : y ? 4 x ? 1 关于点(2,3)对称的直线方程?

T****直线 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 ,直线 l1 : 2 x ? y ? 4 ? 0 ,直线 l 2 与直线 l1 关于直线 l 对 称,求直线 l 2 方程?

圆就抓圆心。因此本类题关键是要把圆心的坐标求出,见弦就垂径! ,垂径后解直角 三角形! T1***圆半径为 10 ,圆心在直线 y ? 2 x 上,圆被直线 y ? x 截得弦长为 4 2 ,求圆 解略。 标准方程? T2****圆心在 x 轴上,半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? 2 y ? 0 相切, 则圆方程? T3****(KB10L)过点(1,4)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1)则圆 C 的方程为? ? 与圆有关的最值问题
2 2 2 2

T1:已知方程 f ( x, y ) ? 0 是一条几何曲线,所求表达也是一种几何度量,综合两者 求出其范围。所求表达一般有三种形式结构:① ? ? ax ? by ,直线平移中的截距范 围(如:线性规划) ;② ? ? ( x ? a) ? ( y ? b) :以点 (a, b) 为圆心的圆半径范围;
2 2

T1****已知方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 ,求(1) y ? x 范围; (2)求 x ? y 的范围; (3) 求

y 的范围? x
2 2

T2****(CQ11)在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别 为 AC、BD,则四边形 ABCD 的面积为?

③? ?

y ?b :曲线上点与点 (a, b) 连线的斜率范围。 x?a
3

T2:最长弦:直径;最短弦:中点弦。

直 线 与 圆 题 型 库(4)
主干题型 思维路径 T1: (1)求轨迹方程首先把轨迹点的坐标设为 ( x, y ) ,然后根据题目约束条件求出方 程 f ( x, y ) ? 0 即可。 题目约束关系为: ?

?

与圆有关的轨迹问题
2 2 2 2

?圆C与一圆圆心距离 ? 它们半径之差(内切)

T1(GD11****设圆 C 与两圆 ( x ? 5) ? y ? 4, ( x ? 5) ? y ? 4 中的一个内切,

?圆C与另一圆圆心距离 ? 它们半径之和(外切)



另一个外切, (1)求圆 C 的圆心轨迹方程(2)已知点 M (

3 5 4 5 , ), F ( 5, 0) 且 P 5 5

?圆C与一圆圆心距离 ? 它们半径之和(外切) , 然后根据题目条件求 x, y 方 ? ?圆C与另一圆圆心距离 ? 它们半径之差(内切)
程关系。 (2)由(1)可知轨迹 L 是一组焦点在 x 轴上的双曲线,已知点 M、F 分布于一支 双曲线的两侧,MF 连线与双曲线的交点即为所求。 (2, (

为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时点 P 的坐标。

6 5 2 5 ,? ) 5 5

T:圆的一般方程中参数的范围核心约束就是“半径表达”>0 且二次项系数 ? 0 ? 圆的一般方程应用
2 2

因此首先 a ? 0 ,然表达半径 r ? D ? E ? 4 F ?
2 2 2

T(HB10M)****若方程 ax ? ay ? 4(a ? 1) x ? 4 y ? 0 表示圆,求参数 a 取值范围, 并求出其半径最小的圆方程.

16(a 2 ? 2a ? 2) ?0 a2

r2 ?

16(a 2 ? 2a ? 2) 2 2 ? 16(1 ? ? 2 ) ? 0 ,转化为二次反比例复合函数的值域问题 2 a a a

? 综合求圆方程 T(HN10M)****根据下列条件求圆方程: (1) 过点 P(1,1) 和坐标原点,且圆心在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 上; (2) 圆心在直线 y ? ?4 x上,且与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相切于点 P(3,-2) (3) 过三点 A(1,12), B(7,10), C (?9, 2) T: (1)标准方程 (2)思维 1:标准方程,思维 2:切线关系。 (3)思维 1:一般方程;思维 2:两条线段中垂线交点为圆心

4

直 线 与 圆 题 型 库(5) 直线与圆关系知识精髓 ? 两个问题:切线和弦长 切线方程:圆方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,过点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为: ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r
2 2 2
2

特殊情形: x ? y ? r ,过点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x ? y0 y ? r
2 2 2

2

以上公式推理逻辑:几何法:圆心切点连线垂直切线,切点在切线和圆上;代数法:斜截式直线斜率满足相交方程 ? ? 0 关系。当然也可以利用导数工具。 注意:不要忘记斜率不存直线的讨论! 弦长问题:圆截直线弦:几何法和代数法。几何法(垂径关系下的勾股定理)在圆中首选,代数法通用于所有曲线弦问题。 AB ? ? ? ? 三种直线与圆的关系:相交、相切、相离(代数法: 相交二次方程? ;几何法:圆心到直线的距离与半径关系) 四种圆与圆的关系:相交、内切、外切、相离(外离、内含)几何法:圆心和(差)与半径和(差)关系) 圆系方程: 同心圆系: x ? y ? Dx ? Ey ? ? ? 0 或 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2 2

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

过两圆交点圆系: f1 ( x, y ) ? ? f 2 ( x, y ) ? 0 , ? ? 0 ,不包括圆 2) (

两圆公共弦直线方程: ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? F1 ? F2 ? 0 温馨提示:遇到圆的问题时,多用几何关系,辅以代数处理。 主干题型 ? 直线与圆的关系 思维路径 T1:遇到参数直线形式,一定要找到变中的不变,要不过定点(绕定点转动) ,要不

T1(SH11)***直线 l : y ? k ( x ? ) 与圆 x ? y ? 1的位置关系是什么?
2 2

1 2

斜率不变(倾斜一定平移) ,本题直线过定点 ( ?

1 , 0) ,然后再考察定点与圆的关系, 2

T2 (SDM11) ****将圆 x ? y ? 1沿 x 轴正方向平移 1 个单位后得圆 C, 若过点 (3,0)
2 2

的直线 l 和圆 C 相切,则直线 l 的斜率=? T3(LN09L)***圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方程为? T4(JX11L)****若曲线 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同
2 2

代入计算知:在圆内,因此直线与圆相交。 当然也可以计算圆心到直线距离表达后与半径比较;或者计算相交二次方程的 ? T2:几何法:画出切线直角三角形,并根据直角三角形三边长计算切线斜率。 代数法:圆心(1,0)到直线 y ? k ( x ? 3) 的距离=半径,求出 k 。 T3:画图从几何关系入手分析。 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

交点,则参数 m 取值范围? T5(SX12)***圆 C: x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点(3,0) ,则 l与C 的关系为?
2 2

T4:曲线 C2 是由直线 y ? 0 和 y ? m( x ? 1) 【过定点(-1,0) 】组成,画图后可知, 两条临界直线是斜率为 ?

(先判断定点与圆 C 的关系:内部,因此相交)

3 ,旋转过程中不能与 y=0 重合(四个交点) 。 3
5

直 线 与 圆 题 型 库(6)
主干题型 T1: (1)垂径直角关系求之 ? 弦长与中点弦问题
2 2

思维路径

30

T1****圆 x ? y ? 8 内一点 P(?1, 2) ,过点 P 的直线 l 的倾斜角为 ? ,直线 l 交圆于 A、B 两点, (1)当 ? ? 方程。 T2(JX10)****直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 M、N 两点,若
2 2

(2)思维 1:设出 A、B 两点坐标,列出在圆上的方程,两式相减求出斜率。 思维 2:挖掘几何关系:圆心与弦中点 P 连线后垂直弦,中点又在弦上。直线方程可 求。 T2:几何法:如图:过圆外一定点固定弦长 定点 P 与圆心连线斜率 ? k0 , 利用垂径定理可算出上下对称角的正切值 k ' 上切线的斜率 k ?

3? 时,AB 的长为?(2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 4

k0 ? k ' 1 ? k0 k '
k0 ? k ' 1 ? k0 k '
倾斜角的和差关系(正切和差公式)

MN ? 2 3 ,则 k 取值范围?(过圆外一定点的定值弦长问题)
T3****直线 y ? x ? 1上一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引切线,则切线长最小为?
2 2

下切线的斜率 k ?

代数法:表达出 MN ? f (k ) ,然后满足 f (k ) ? 2 3 T3:遇到切线连圆心和切点,然后解切心直角三角形:动点 P,圆心 M,切点 Q,

T4(HB11M)****过点 P(3,4)作圆 x ? y ? 1的两条切线,切点为 A、B,则线段
2 2

则 PQ ? R ? PM ? PQ ? PM ? R ,因此切线长由动点与圆心连线长决定。
2 2 2 2 2 2

AB 长为? T5(JS12L)****圆 C 方程为 x ? y ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一
2 2

点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是?

T4:AB 的一半是切心直角三角形斜边上的高,切心直角三角形三边都可算出。 T5:此题中的逻辑变化有两方面:直线旋转+每条直线上不同的圆心。分析多方向变 化情形时,要先固定其余变化,分析其余不变的情形下单向变化影响。如此题: 先固定直线方向(斜率固定) ,然后圆心变化时的临界状态点是圆心到该直线的距离 垂足点,此时是满足两圆有公共点的约束条件最松条件,也只有在这样的位置,才 能允许直线尽可能逆时针方向旋转,即斜率变大,进而找到最大值状态:两圆外切+ 圆心连线垂直直线。

?

圆之间的位置关系
2 2 2 2

T****已知两圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 10 x ? 12 y ? m ? 0 ,求: (1) m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切,公切线方程是? (3)当 m=45 时,两圆的公共弦所在直线方程和弦长?

T:先表达出两圆圆心和半径:然后根据条件建立参数方程并求解即可。

6

7


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