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山东省淄博市桓台第二中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


2013 年 11 月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 2 页。满分 150 分,考试 时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前,考生务必将 自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:第Ⅰ卷为选择题,共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一个最符合题目要求。每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选择其他答案标号。不能直接写在本试卷 上。 1、已知集合 ( { EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT |

A ? ?1, a? ,, 则 “” 是 “” 的

) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2、函数,且在时取得极值,则=( A.2 B.3 3、设复数 z ? 1 ? i ,则 A. ? 2 ? i

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C.4 ) C. ? 1? 2i ) D. 1? 2i D.5

3 ? 4i ?( z ?1

B. 2 ? i

4、若非零向量满足、 ,则的夹角为(

A. 30o B. 60o C. 120o D. 150o 5、函数在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A.5 , -15 B.5 , 4 C. -4 , -15 D.5 , -16 6、已知 m,n 是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是( A.若 B.若 C.若 D.若则



7、函数的图象如图所示.为了得到的图象,则只要将的图象( A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 8、如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,



M 为棱 BB1 中点,则下列结论中错误的是( A.D1O∥平面 A1BC1 B. D1O⊥平面 MAC



C.异面直线 BC1 与 AC 所成角为 60° D.二面角 M-AC-B 为 90° 9、在中 ,若,,则( ) B. ) C. C. D.

A.

10、已知的最大值是,且,则( A. B.

D.

11、在 ?ABC 中, ,且 a ? c ? 3, cos B ? A.

3 ,则=( 4
C.3

) D.-3

3 2

B. ?

3 2

12、 设是定义在 R 上的奇函数, 且,当时, 有 的解集是( ) A. (-2,0) ∪(2,+∞) B. (-2,0) ∪(0,2)

xf ?( x) ? f ( x) 2 ? 0 恒成立, 则不等式 x f ( x) ? 0 2 x
C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(0,2)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分)

1 ? (m 2 ?2m ? 15)i 为实数时,则实数 m 的值是 m?5 14、已知函数,则在 x=0 处的切线方程
13、设复数 z ? 15、已知三棱柱的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上, AC=1,,则球的表面积为 16、关于函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题: ①、若存在 x1 , x 2 有 x1 ? x2 ? ? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立;②、 f ? x ? 在区间 ? ? 是单调递增;③、函数 f ? x ? 的图像关于点 ? 图像向左平移

? ? ?? 上 , ? 6 3? ?

?? ? , 0 ? 成中心对称图像;④、将函数 f ? x ? 的 ? 12 ?

5? 个单位后将与 y ? 2sin 2 x 的图像重合.其中正确的命题序号 12

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分) 求同时满足下列条件的所有的复数 z, (A) z +∈ R, 且 1<z+≤ 6; (B)z 的实部和虚部都是整数。 18、 (本小题满分 12 分) 已知=,=,若 (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)当 x ? [ ?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x ) 的最值,并求出取得最值时的 x 的取值。 6 3

19、 (本小题满分 12 分)

在△ABC 中, 4 sin 2 a+b=5,c= 7 ,

A? B 7 ? cos 2C ? . 且 2 2

(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 20、 (本小题满分 12 分) 四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,∠BDA=60°

(1)证明:∠PBC=90°; (2)若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 21、 (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, PA=PB=AB=2, BC=3, ∠ABC =90° 平面 PAB⊥平面 ABC,D、E 分别为 AB、AC 中点. , (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求证:AB⊥PE; (3)求二面角 A-PB-E 的大小. 22、 (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? b ln x ,其中 b 为常数.
2

P

A D B E C

(1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(2)若函数 f ( x) 的有极值点,求 b 的取值范围及 f ( x) 的极值点

高三期中考试理科数学卷 参考答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 D 11 B 12 D

二.填空题(本大题每小题 4 分,共 16 分) 13、3 二.解答题 17、解
设 z=x+yi, (x, y∈R), 则 z+=x(1+)+y(1-)i . ∵z+∈R, ∴y(1-)=0. ∴y=0, 或 x2+y2=10. 又 1<z+≤6, ∴1< x(1+)≤6. ① 当 y=0 时, 可以化为 1<x+≤6, ②当 x<0 时, x+<0, 当 x>0 时, x+≥2>6. 故 y=0 时,无解. ② 当 x2+y2=10 时, 可化为 1<2x≤6, 即<x≤3. ∵x, y∈Z, 故可得 z=1+3i ,或 1-3i ,或 3+i ,或 3-i

14、y=2x

15、8

16、①、③

18、解(I) ???? ???? ? ? f ( x) ? OM ? ON ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x
? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 由2k? ?

?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,

解得k? -

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? z )

, k? ? ](k ? z ) 3 6 ? ? ? ? 5 (Ⅱ)由 x ? [ ? , ], 得 ? ? 2 x ? ? ? , 6 3 6 6 6

? f ( x)的单调递增区间为[k? ?

?

?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ? 0 ? f ( x) ? 3 ?? ? f ( x)的最大值为3,此时x ? f ( x)的最小值为0,此时x ? ?

?
6

;

?
6

20、解 (1)取 AD 中点 O,连 OP、OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又 OP∩OB=O,∴AD⊥平面 POB, ∵BC∥AD,∴BC⊥平面 POB,∵PB? 平面 POB, ∴BC⊥PB,即∠PBC=90°. …………………………5 分

(2)如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3|, 0),C(-2, 3|,0),由 PO=BO= 3|,PB=3,得∠POB=120°,∴∠POZ=30°,∴P(0, 3 3 3 3 3 → → → - |, |),则AB|=(-1, 3|,0),BC|=(-2,0,0),PB|= (0, |,- |),设平 2 2 2 2 面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z),

?-x=0 ? 则?3 3 3 ? 2 y-2z=0 ?

|,取 z= 3|,则 n=(0,1, 3|),

设直线 AB 与平面 PBC 所成的角为θ ,则 3 → sinθ =|cos〈AB|,n〉|= |. …………………………12 分 4

21、解

(1)D、E 分别为 AB、AC 中点,?DE∥BC . DE? 平面 PBC,BC? 平面 PBC,∴DE∥平面 PBC (2)连结 PD, PA=PB, PD ⊥ AB. DE∥BC,BC ⊥ AB, DE ⊥ AB.又 PDDE=D AB⊥平面 PDE,PE? 平面 PDE,AB⊥PE .

1 1 2( x ? ) 2 ? b ? b 2x 2 ? 2x ? b 2 2 ( x ? 0) 22、解 f ' ( x) ? 2 x ? 2 ? ? ? x x x 1 ? 当 b ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在定义域 (0,?? ) 上单调递增. 2 1 (2)①由(Ⅰ)得,当 b ? 时,函数 f ( x) 无极值点. 2
(2 x ? 1) 2 1 1 ? 0 有两个相同的解 x ? , ② b ? 时, f ' ( x ) ? 2x 2 2

1 1 但当x ? (0, )时,f ' ( x) ? 0; 当x ? ( ,??)时, f ' ( x) ? 0 时, 2 2 1 ? b ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?) 上无极值点. ? 2
③当 b ?

1 1 ? 2b 1 1 ? 2b 1 , x2 ? ? 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? ? 2 2 2 2 2
时 ,

? i) b ? 0

x1 ?

1 1 ? 2b ? ? 0 ? (0,??),舍去 2 2



而x 2 ?

1 1 ? 2b ? ? 1 ? (0,??) , 2 2
此时 f ?( x ) , f ( x) 随 x 在定义域上的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0, x 2 )

x2
0
极小值

( x2, ?) ?
?


?


由此表可知:? b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点 , x 2 ? ii) 当0 ? b ?

1 1 ? 2b ? , 2 2

1 时,0< x1 ? x 2 <1 此时, f ?( x ) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表: 2

x
f ?( x ) f ( x)
?


x1
0
极大值

( x1,x2 )

x2
0
极小值

( x2, ?) ?
?


?


由此表可知: 0 ? b ?

1 1 ? 2b 1 时 , f ( x) 有 一 个 极 大 值 x1 ? ? 和一个极小值点 2 2 2

x2 ?

1 1 ? 2b ? ; 2 2

综上所述:当且仅当 b ?

1 时 f ( x) 有极值点; 2
1 1 ? 2b ? ; 2 2

当 b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点 , x ?

当 0?b?

1 1 ? 2b 1 时 , f ( x) 有 一 个 极 大 值 点 x ? ? 和一个极小值点 2 2 2

x?

1 1 ? 2b ? 2 2


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