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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (安徽卷)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (2013 安徽, 文 1)设 i 是虚数单位, 若复数 a ? A.-3 B.-1 C.1 D.3
R

10 (a∈R)是纯虚数, 则 a 的值为( 3?i
A)∩B=(
D.{0,1} ).

).

2.(2013 安徽,文 2)已知 A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则( A.{-2,-1} B.{-2} C.{-1,0,1} 3.(2013 安徽,文 3)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果为(

).

3 A. 4

1 B. 6

11 C. 12

25 D. 24

4.(2013 安徽,文 4)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2013 安徽,文 5)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人, 这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( ).

2 A. 3

2 B. 5

3 C. 5

D.

9 10
2 2

6. (2013 安徽, 文 6)直线 x+2y-5+ 5 =0 被圆 x +y -2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 B.2 C.4 D. 4 6 7.(2013 安徽,文 7)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( A.-6 B.-4 C.-2 D.2 8.(2013 安徽,文 8)函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到

). ).

n(n≥2)个不同的数 x1,x2,?,xn,使得 n 的取值范围为(

f ? xn ? f ? x1 ? f ? x2 ? = =?= ,则 x1 x2 xn

). A.{2,3} B.{2,3,4} C.{3,4} D.{3,4,5} 9.(2013 安徽,文 9)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=( ).

π A. 3

2π B. 3

3π C. 4
3

5π D. 6
2

10.(2013 安徽,文 10)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2.若 f(x1)=x1 2 <x2,则关于 x 的方程 3(f(x)) +2af(x)+b=0 的不同实根个数为( ). A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相 应位置. ? 1? 2 11.(2013 安徽,文 11)函数 y ? ln ?1 ? ? ? 1 ? x 的定义域为__________. ? x? ? x ? y ? ?1 12.(2013 安徽,文 12)若非负变量 x,y 满足约束条件 ? 则 x+y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 4,
__________. 13.(2013 安徽,文 13)若非零向量 a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则 a 与 b 夹角的余

弦值为__________. 14. (2013 安徽, 文 14)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x). 若当 0≤x≤1 时, f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x)=__________. 15.(2013 安徽,文 15)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为 线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 __________(写出所有正确命题的编号). ①当 0<CQ< ②当 CQ=

1 时,S 为四边形 2

1 时,S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形 4 6 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. π? ? 16.(2013 安徽,文 16)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=sin x+ sin ? x ? ? . 3? ?
(1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合; (2)不画图,说明函数 y=f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的变化得到.

17.(2013 安徽,文 17)(本小题满分 12 分)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成 绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取 30 名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分 制)作为样本,样本数据的茎叶图如下: (1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计 甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60 分及 60 分以上为及格); (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x1 , x2 ,估计 x1 ? x2 值.

18.(2013 安徽,文 18)(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠BAD=60°.已知 PB=PD=2,PA= 6 . (1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积. (1)证明:连接 AC,交 BD 于 O 点,连接 PO. 因为底面 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD,BO=DO. 由 PB=PD 知,PO⊥BD.再由 PO∩AC=O 知,BD⊥面 APC,因此 BD⊥PC.

19.(2013 安徽,文 19)(本小题满分 13 分)设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n ∈N ,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-aa+2sin x 满足 f' ? (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=2 ? an ?
*

?π? ??0. ?2?

? ?

1 2an

? ? ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ?

20.(2013 安徽,文 20)(本小题满分 13 分)设函数 f(x)=ax-(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={x|f(x)>0}. (1)求 I 的长度(注:区间(α ,β )的长度定义为 β -α ); (2)给定常数 k∈(0,1),当 1-k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值.

2

2

21.(2013 安徽,文 21)(本小题满分 13 分)已知椭圆 C: 且过点 P( 2 , 3 ). (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的焦距为 4, a 2 b2

(2)设 Q(x0, y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点. 过点 Q 作 x 轴的垂线, 垂足为 E.取点 A(0, 2 2 ), 连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG.问这 样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由.


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