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浙江省杭州外国语高中2013届高三9月月考(数学理)


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浙江省杭州外国语高中 2013 届高三 9 月月考

数学试卷(理科)
考试时间 120 分钟,满分 150 分.请考生按规定用笔将所有试题的答案填、写在答题纸上.答在试卷 纸上无效 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 M ? { y | y ? x2 ? 1, x ? R}, N ? { y | y ? x ? 1, x ? R} ,则 M ? N =

A. (0,1) , (1, 2)

B. {(0,1), (1, 2)}

C. { y | y ? 1 或 y ? 2}

D. { y | y ? 1}

2.已知, a 、 b 、 c 是共起点的向量, a 、 b 不共线,且存在 m, n ? R 使 c ? ma ? nb 成立,则 a 、 b 、

c 的终点共线的充分必要条件是
A. m ? n ? ?1 B. m ? n ? 0 C. m ? n

?1

D. m ? n

?1

3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? A. 2 cos

2 ? an ,猜想 an 的值为
n ?1

?
3? 2
n

B. 2 cos

?
3? 2

C. 2 cos

?
3? 2
n ?1

D.

2sin

?
3 ? 2n

4.已知各项均不为零的数列 {an } ,定义向量 cn ? (an , an ?1 ) , bn ? (n, n ? 1) , n ? N* . 下列命题中真命题 是 A. 若 ?n ? N* 总有 cn // bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 B. 若 ?n ? N* 总有 cn // bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 C. 若 ?n ? N* 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等差数列 D. 若 ?n ? N* 总有 cn ? bn 成立,则数列 {an } 是等比数列 5.已知 α 为第二象限角, sin ? ? cos? ?

?? ?

?? ?

?? ?? ? ?

?? ?? ? ?

?? ? ?? ?

?? ? ?? ?

3 ,则 cos 2? ? 3
D.

A. -

5 3

B. -

5 9

C.

5 9

5 3 a 3 ? a5 的值为 a 4 ? a6

6.设各项为正的等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,且 a3 , a5 , a6 成等差数列,则

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A.

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C。

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5 ?1 2

B。

5 ?1 2

1 2

D。2

7.已知奇函数 f ( x)在(??,0) 上是单调减函数,且 f (2) ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 0 的解集为: A. {x | ?3 ? x ? ?1} C. {x | ?3 ? x ? 0或1 ? x ? 3} 8.已知简谐振动 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( ? ? B。 {x | ?1 ? x ? 1或1 ? x ? 3} D。 {x | ?3 ? x ? 1或x ? 2}

?

3 图象上相邻最高点与最低点之间的距离为 5, ) 的振幅为 , 2 2

且过点 (0, ) ,则该简谐振动的频率与初相分别为 A. ,

1 ? 6 6

3 4

B. ,

1 ? 8 6

C.

? ?
4 6 ,

D.

1 ? , 6 3

9.若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒成立的是 (A) e ? 1 ? x ? x
x 2

(B)

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x
1 2 x 8

(C) cos x ? 1 ?

1 2 x 2

(D) ln(1 ? x) ? x -

10.已知偶函数 f (x) 在 R 上可导,且 f ?(1) ? ?2, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 y ? f (x) 在 x ? ?5 处的切 线的斜率为

A.2

B. ? 2

C .1

D. ? 1

二.填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 ? 2 , an ?1 ?

1 ? Sn n

(n ? 1, 2, ?) ,则 an ?

.

12.在 ?ABC 中内角 ?A, ?B 所对的边为 a , b ,已知 ?A ? 450 , a ? 6, b ? 3 ,则

?B =

.

13.已知函数 f ( x) ? ?

?log2 x ? 2, x ? 0 ,则 f (?5) ? ?2 f ( x ? 3), x ? 0


14.已知向量 a 的模为 2,向量 e 为单位向量, e ? (a ? e) ,则向量 a 与 e 的夹角大小为

?log2 ( x ? 3), x ? (? 3,1) 15. 已知函数 f ( x) ? ? ,若方程 f ( x) ? a ? a ? R ? 至少有一个实数解,则实数 k 的取 ?1 ? kx, x ?[1, ??)
值范围是__________________________. 第 2 页(共 7 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

世纪金榜 圆您梦想 ? 3? 12 3 16.已知 ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ? , 则 sin ? ? cos ? 的值 2 4 13 5
17. 若函数 f ( x) ? ax ? sin x 的图像上存在互相垂直的切线,则实数 a 的值为

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. .

三.解答题 18、(本题 14 分)设全集 U ? R ,函数 f ( x) ? lg( x ?1 ? a ?1)

( a ?1) 的定义域为 A,

集合 B= {x ? cos ? x ? 1},若 (CU A) ? B 恰好有两个元素,求 a 的取值集合

19、在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2, C ? (1)若△ABC 的面积等于 3,试判断△ABC 的形状并说明理由 (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求 a,b.

?
3

.

?? ?? ? ?? ? 3π 20、已知 m =(1,1),向量 m 与 n 的夹角为 ,且 m · n =-1. 4
(1)求向量 n ;

?

? ? ?? π 2π 2C (2)若 n 与 q =(1,0)的夹角为 , p =?cos A,2cos 2 ?,其中 A、C 为△ABC 的内角,且 A+C= , ? ? 2 3
求| n + p |的最小值.

?

??

21、设 fk (n) ? c0 ? c1n ? c 2n2 ? ?? ck nk (k ? N ) ,其中 c0 , c1 , c2 ,?, ck 为非零常数,数列 ?an ? 的首项

a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,对于任意的正整数 n , an ? Sn ? f k (n)
(1)若 k ? 0 ,求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k ,使得数列 ?an ? 能成等差数列

2a 2 ? a ln x(a ? R) 22、已知函数 f ( x) ? x ? x
(1)讨论函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)设 g ( x) ? x ? 2bx? 4 ? ln 2 ,当 a ? 1 时,若对任意的 x1 , x2 ??1, e? ( e 为自然对数的底数) ,
2

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f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围
浙江省杭州外国语高中 2013 届高三 9 月月考 理科数学答案 11:2 12: 60 或者 120 1 D 15: [?1, 0) 2 D
? ?

3 B

4 A

5 A

6 B

7 B

8 B

9 C

10 A

13:8 14:

? 3

16: 17:0

3 65 65

18 解 a ? (?2, 0] 19.解 (1)由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4. 1 又因为△ABC 的面积等于 3,所以 absin C= 3,得 ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, ?a=2, ? ? 联立方程组? 解得? ? ? ?ab=4 ?b=2.

(2)由题意,得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即 sin Bcos A=2sin Acos A. π π 4 3 2 3 当 cos A=0,即 A= 时,B= ,a= ,b= ; 2 6 3 3 当 cos A≠0 时,得 sin B=2sin A,由正弦定理,得 b=2a.
?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? 解得 ? ?b=2a,

?a=2 3 3, ? 4 3 ?b= 3 .

2π 解 0<A< . 3 20. (1) n ? (?1, 0) 或者 n ? (0, ?1) 1+cos 2A 1+cos 2C (2)|n+p|2=cos2A+cos2C= + 2 2 4π 1 =1+ ?cos 2A+cos? -2A?? 2? ? 3 ?? 第 4 页(共 7 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

?

?

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π 1 =1+ cos?2A+ ?, 2 ? 3? 2π 又 A∈?0, ?, 3 ? ?

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π π 5π π ∴2A+ ∈? , ?,∴当 cos?2A+ ?=-1 时,|n+p|最小, 3 ?3 3 ? 3? ? 1 2 即|n+p|2 = ,|n+p|min= . min 2 2 21.(1)若 k ? 0 , f 0 (n) ? c0 ,即 an ? Sn ? f0 (n) ? c0 . 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? c0 ,即 c0 ? 2a1 ? 2 . 当 n≥2 时, an ? Sn ? 2 , ①

an ?1 ? Sn ?1 ? 2 , ②

① ? ②得, 2an ? an?1 ? 0(n ? N* , n ≥ 2) . 若 an ? 0 ,则 an ?1 ? 0 ,…, a1 ? 0 ,与已知矛盾,所以 an ? 0 . 故数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 1 的等比数列. 2 (2) (ⅰ)若 k ? 0 ,由(1)知,不符题意,舍去. (ⅱ)若 k ? 1 ,因为 f1 (n) ? c1n ? c0 , 当 n ? 1 时, c1 ? c0 ? 2a1 ? 2 , 当 n≥2 时, an ? Sn ? c1n ? c0 ,
an?1 ? Sn?1 ? c1 (n ? 1) ? c0 , n ③-④得 2an ? an?1 ? c1 (n ?N, ≥2) .

③ ④

要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an ? c1 ? d (常数) , 而 a1 ? 1 ,故 ?an ? 只能是常数数列,通项公式为 an ? 1(n ?N* ) , 故当 k ? 1 时,数列 ?an ? 能成等差数列,其通项公式为 an ? 1 n ?N* ,此时 f1 (n) ? n ? 1 . (ⅲ) 若 k ? 2 ,设 f 2 (n) ? c2 n2 ? c1n ? c0 , 当 n≥2 时, an ? Sn ? c2 n2 ? c1n ? c0 , ⑤

?

?

an?1 ? Sn?1 ? c2 (n ? 1)2 ? c1 (n ? 1) ? c0 , ⑥

⑤-⑥得 2an ? an?1 ? 2c2 n ? c1 ? c2 (n ?N*, ≥2) , n 要使数列 ?an ? 是公差为 d ( d 为常数)的等差数列,必须有 an ? 2c2 n + c1 ? c2 ? d , 且 d ? 2c2 , 考虑到 a1=1,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2c2 ? 2c2 n ? 2c2 ? 1 n ? N* . 故当 k ? 2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an ? 2c2 n ? 2c2 ? 1 n?N* , 第 5 页(共 7 页) 数学投稿咨询 QQ:1114962912 山东世纪金榜书业有限公司

?

?

?

?

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此时 f 2 (n) ? c2 n ? (c2 ? 1)n ? 1 ? 2c2 .
2

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(ⅳ)当 k ≥ 3 时, an ? Sn ? f k (n) ? ck nk + ? + c2 n2 ? c1n ? c0 (ck ? 0) , n 的最高次的次数 k ≥ 3 ,但 如果数列 ?an ? 能成等差数列,则 an ? Sn 的表达式中 n 的最高次的次数至多为 2 ,矛盾. 综上得,当且仅当 k ? 1 或 k ? 2 时,数列 ?an ? 能成等差数列. 22.【解析】 (1)因为 f ? x ? ? x ? 所以 f ?( x) ? 1 ?

2a 2 ? a ln x( x ? 0) , x

2a 2 a x 2 ? ax ? 2a 2 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? ? ? . x2 x x2 x2

①若 a ? 0 , f ?x ? ? x , f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增. ②若 a ? 0 ,当 x ? ? 0,2a ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 ?0,2a ? 上单调递减; 当 x ? ? 2a, ??? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 ?2a,??? 上单调递增. ③若 a ? 0 ,当 x ? ? 0, ?a ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 ?0,?a ? 上单调递减; 当 x ? ? ?a, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在 ?? a,??? 上单调递增. 综上:①当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增. ②当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0,2a ? 上单调递减, f ? x ? 在 ?2a,??? 上单调递增. ③当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ?0,?a ? 上单调递减, f ? x ? 在 ?? a,??? 上单调递增. (2)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ?

2 ? ln x?x ? 0? . x

由(1)知,若 a ? 1 ,当 x ? ? 0,2? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 单调递减, 当 x ? ? 2, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ? x ? 单调递增, 所以 f ?x?min ? f ?2? ? 3 ? ln 2 . 因为对任意的 x1 , x2 ?[1,e] ,都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立, 问题等价于对于任意 x??1,e? , f ? x ?min ≥ g ? x ? 恒成立, 即 3 ? ln 2 ≥ x 2 ? 2bx ? 4 ? ln 2 对于任意 x??1,e? 恒成立, 即 2b ≥ x ?

1 对于任意 x??1,e? 恒成立, x

因为函数 y ? x ? 所以函数 y ? x ?

1 1 的导数 y ' ? 1 ? 2 ? 0 在 ?1,e? 上恒成立, x x 1 1? 1 ? 在 ?1,e? 上单调递增,所以 ? x ? ? ? e ? , x ?max e x ?
e 2 1 . 2e
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所以 2b ≥ e ? ,所以 b ≥ ? 第 6 页(共 7 页)

1 e

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