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高中数学必修2期末测试


新课标高一数学同步期末测试
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共 150 分.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1.在斜二测画法中,与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中 ( ) A.变大 B.变小 C.可能不变 D.一定改变 ( )

2.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是 A.平行 C.不在同一平面内 B.相交 D. A、B、C 均有可能

3.一个直角梯形的两底长分别为 2 和 5,高为 4,绕其较长的底旋转一周,所得的几何体的 表面积为 A. 52? B. 34? C. 45? D. 37? ) ( )

4.直线 y=kx+2 与圆 x2+y2+2x=0 只在第二象限有公共点,则实数 k 的取值范围为 ( A.[

3 ,1] 4

B. [

3 ,1) 4

C. [

3 ,+∞) 4

D. (-∞,1)

5.已知球面上的四点 P、A、B、C,PA、PB、PC 的长分别为 3、4、5,且这三条线段两两 垂直,则这个球的表面积为 A.20 2 π B.25 2 π C.50π D.200π ( ) ( )

6.一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直, 则这两个二面角 A.互补 B.互余 C.互补或互余 D.不确定

7.如右图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 的侧面 AB1 内 有一动点 P,动点 P 到直线 A1B1 与直线 BC 的距离相等, 则动点 P 所在曲线的形状为( )

-1-

8.对于一个长方体,都存在一点: (1)这点到长方体各顶点距离相等(2)这点到长方体各 条棱距离相等(3)这点到长方体各面距离相等。以上三个结论正确的是 A. (1) (2) B. (2) C. (1) D. (1) (3) ( D.随 a 值变化而变化 ) ( )

9.直线 y ? x ? 1 与直线 y ? ax ? 1 的交点的个数为 A.0 个 B.1 个 C .2 个

10.在酒泉卫星发射场某试验区,用四根垂直于地面的立柱 支撑着一个平行四边形的太阳能电池板,可测得其中三 根立柱 AA 1 、 BB 1 、 CC1 的长度分别为 10 m 、 15 m 、 30 m , 则立柱 DD1 的长度是( A. 30 m C. 20 m ) B. 25 m D. 15m

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) . 11.将边长为 4 m 的正方形钢板适当剪裁,再焊接成一个密闭的正四棱柱水箱,并要求这个 水箱的全面积等于该正方形钢板的面积(要求剪裁的块数尽可能少,不计焊接缝的面 积) ,则该水箱的容积为
2 2

. .

12.过点 P(3,6)且被圆 x ? y ? 25 截得的弦长为 8 的直线方程为 13.光线由点(-1,4)射出,遇直线 2x+3y-6=0 被反射,已知反射光线过点(3 , 射光线所在直线方程__________________. 14.已知 m、l 是直线, ?、? 是平面, 给出下列命题: ①若 l 垂直于 ? 内的两条相交直线, 则 l?? ; ②若 l 平行于 ? , 则 l 平行 ? 内所有直线; ③若 m ? ? , l ? ?,且l?m, 则??? ; ④若 l ? ? , 且l??,则??? ; ⑤若 m ? ? , l ? ?,且?∥? , 则m ∥l. 其中正确的命题的序号是 (注: 把你认为正确的命题的序号都填上).
-2-

62 ),反 13

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)已知两条直线 l1 = x + my + 6 = 0, l2: (m-2)x + 3y + 2m = 0,问:当 m 为何值时, l1 与 l2(i)相交; (ii)平行; (iii)重合.

16. (12分)某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢 八层楼的公寓,问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到1m2). E 100m D

60m A
-3-

80m

B

70m

C

17. (12 分)已知方程 x ? y ? 2(t ? 3) x ? 2(1 ? 4t ) y ? 16t ? 9 ? 0(t ? R) 的图形是圆.
2 2 2 4

(1)求 t 的取值范围; (2)求其中面积最大的圆的方程.

-4-

18. (12 分)自点 P(-3,3)发出的光线 l 经过 x 轴反射,其反射光线所在直线正好与圆

x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求入射光线 l 所在直线的方程.

-5-

19. (14 分)四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,边长为 a,PD=a,PA=PC= 2a , (1)求证:PD⊥平面 ABCD; (2)求证,直线 PB 与 AC 垂直; (3)求二面角 A-PB-D 的大小; (4)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径; (5)求四棱锥外接球的半径.

-6-

20. (14 分)设 M 是圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 上动点,O 是原点,N 是射线 OM 上点, 若|OM|·|ON|=120,求 N 点的轨迹方程.

-7-

高一新数学期末测试题参考答案
一、CDABC
3

DCCDB

二、11. 4m ;12. 3x ? 4 y ? 15 ? 0 和 x

? 3 ;13.13x-26y+85=0;14.①④;

三、 15.解: 若 m = 0 时,l1: x = -6,l2: 2x-3y = 0, 此时 l1 与 l2 相交;

m?2 3 3 2m ? 有m ? ?1或m ? 3 ,由 ? 有m ? ?3 ; 1 m m 6 m?2 3 ? , l1 与 l2 相交; 故 i)当 m ? ?1且m ? 3时, 1 m
若m

? 0,由

-8-

ii)当 m = -1 时,

m ? 2 3 2m , l1 与 l2 平行; ? ? 1 m 6

m ? 2 3 2m (iii)当 m = 3 时 , l1 与 l2 重合. ? ? 1 m 6
16.解:如图建立坐标系,在AB上任取一点P,分别向 CD、DE作垂线划得

y E D

A P O B C x

x y 一长方形土地,则直线AB的方程为 ? ?1 30 20

2x ) ,则长方形的面积为 设 P ( x,20 ? 3
S ? (100 ? x)[80 ? (20 ?

2x 2 50 ∴当X=5时Smax≈6017 )] ? ? ( x ? 5) 2 ? 6000 ? 3 3 3
2

17.解:解:(1)方程即 ( x ? t ? 3)

? ( y ? 1 ? 4t 2 ) 2 ? ?7t 2 ? 6t ? 1

? r 2 ? ?7t 2 ? 6t ? 1
(2 ) ∵ r

>0 ∴ ?

1 <t<1 7
时,

? ? 7t 2 ? 6t ? 1 ∴当 t=

3 7

P(?3,3)

rmax ?

4 7 ,此时圆面积最大,所对应圆的方程是 7

(x ?

24 2 13 2 16 )? (y ? ) ? 7 49 7

18.解:设入射光线 l 所在的直线方程为

y ? 3 ? k ( x ? 3) ,反射光线所在
直线的斜率为 k 1 ,根据入射角等于反射角,得

P 1 (?3,3)

k ? ?k1 ,而点 P(-3,3)关于 x 轴的对称点 P1 (-3,-3),根据对称性,点 P1 在反射光线所在
直线上,故反射光线所在直线 l 1 的方程为: y ? 3 ?

?k ( x ? 3) 即 kx ? y ? 3 ? 3k ? 0 ,又此直线

与已知圆相切,所在圆心到直线

l 1 的距离等于半径 r ,因为圆心为(2,2),半径为 1,所以

2k ? 2 ? 3 ? 3k 1? k 2

? 1 解得: k

3 4 ? ? 或k ? ? 故入射光线 l 所在的直线方程为: 4 3
即 3x ? 4 y ? 3 ? 0或4 x ? 3 y ? 3 ? 0

3 4 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 4 3

19.解:⑴分析:要证 PD⊥平面 ABCD,只需证 PD 垂直于平面 ABCD 内的两条相交线,而所给已知 -9-

量都是数,故可考虑勾股定理的逆定理 ⑴证明:∵PD=a,AD=a,PA=

2a ,∴PD2+DA2=PA2,同理∴∠PDA=90°.

即 PD⊥DA,PD⊥DC,∵AO∩DC=D,∴PD⊥平面 ABCD. ⑵分析:从图形的特殊性,应先考虑 PB 与 AC 是否垂直,若不垂直然后再转化 ⑵解:连结 BD,∵ABCD 是正方形∴BD⊥AC ∵PD⊥平面 ABCD∴PD⊥AC ∵PD∩BD=D

∴AC⊥平面 PDB∵PB?平面 PDB ∴AC⊥PB ∴PB 与 AC 所成的角为 90° ⑶分析:由于 AC⊥平面 PBD,所以用垂线法作出二面角的平面角 ⑶解:设 AC∩BD=0,过 A 作 AE⊥PB 于 E,连接 OE∵AO⊥平面 PBD ∴OE⊥PB∴∠AEO 为二面角 A-PB-D 的平面角∵PD⊥平面 ABCD,AD⊥AB∴PA⊥AB 在 Rt△PDB 中,

PB ? PD2 ? BD2 ? 3a ,在 Rt△PAB 中,∵ S ?
∴ AE ? PA ? AB ? 2a ? a ? 2 a , AO ? 1 AC ? 2 a 2 2 PB 3a 3
在 Rt△AOE 中, sin ?AEO ? AO ?

1 1 PA ? AB ? ? PB ? AE 2 2

AE

3 ,∴∠AEO=60°∴二面角 A-PB-D 的大小为 60. 2

⑷分析:当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大,即球心到各个面的距离均相等,联想到用体积法 求解 ⑷解:设此球半径为 R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为 S,连 SA、SB、SC、SD、SP,则把 此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为 R

VP ? ABCD ?

1 1 1 ? S ?ABCD ? PD ? ? a ? a ? a ? a 3 3 3 3
1 1 ? a ? a ? a2 2 2 1 2 2 ? ? a ? 2a ? a 2 2

S ?PAD ? S ?PDC ? S ?PAB ? S ?PBC S ?ABCD ? a 2

∵ V P ? ABCD ? VS ? PDA ? VS ? PDC ? VS ? ABCD ? VS ? PAB ? VS ? PBC

1 3 1 a ? R( S ?PAD ? S ?PDC ? S ?PAB ? S ?PBC ? S ?ABCD ) 3 3
1 3 1 1 2 1 2 2 2 2 2 a ? R( a ? a ? a ? a ? a2 ) 3 3 2 2 2 2 ∴ R (2 ? 2 )a 2 ? 1 a 3 ∴ R ? a ? 2 ? 2 a ? (1 ? 2 )a 3 3 2 2 2? 2

∴球的最大半径为( 1 ? 2 a )
2
⑸分析:四棱锥的外接球的球心到 P、A、B、C、D 五的距离均为半径,只要找出球心的位置即可,在

Rt△PDB 中,斜边 PB 的中点为 F,则 PF=FB=FD 不要证明 FA=FC=FP 即可 ⑸解:设 PB 的中点为 F,∵在 Rt△PDB 中:FP=FB=FD
- 10 -

在 Rt△PAB 中:FA=FP=FB,在 Rt△PBC 中:FP=FB=FC

∴FP=FB=FA=FC=FD
则 FP 为外接球的半径 ∴四棱锥外接球的半径为 3 a 2

∴F 为四棱锥外接球的球心 ∵FP=

1 PB 2

∴ FP ?

3 a 2

评述:⑴本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点 ⑵“内切”和“外接”等有关问题,首先要弄清几何体之间的相互关系,主要是指特殊的点、线、面之间关 系,然后把相关的元素放到这些关系中解决问题,例如本例中球内切于四棱锥中时,球与四棱锥的五个 面相切,即球心到五个面的距离相等 ⑶求体积或运用体和解决问题时,经常使用等积变形,即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差 20.解:设 M、N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x, y ) , 由题设 | OM | ? | ON |? 120 ,得

x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 120
y y1 ? x x1

(*)

当 M 不在 y 轴上时, x1 ? 0 , x ? 0 ,于是有 设

y y1 ? = k ,代入(*),化简得 x x1

| x1 x | (1 ? k 2 ) ? 120

因 x1 与 x 同号,于是 x1 ?

120 120k , y1 ? 2 (1 ? k ) x (1 ? k 2 ) x

2 2 代入 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 并化简,可得 3x ? 4 y ? 60 ? 0( x ? 0)

当 x1 ? 0 时, y1 ? 8 ,点 N (0,15) 也在直线 3x ? 4 y ? 60 ? 0 上 所以,点 N 的轨迹方程为 3x ? 4 y ? 60 ? 0 .

- 11 -


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