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黄冈市2013年高三质量检测数学试题(理科)


黄冈市 2013 年高三质量检测数学试题答案(理科)
一、选择题 ABDCB 二、11. 25 12. AACBA -160 13. 5 14. ①②③ 15.

3 3

16.

7 2 8

x x x 3 x 1 x 1 17. 解: f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? cos ? 4 4 4 2 2 2 2 2
?x ?? 1 ? sin ? ? ? ? ……2分 ?2 6? 2
(I) 由已知 f ( ? ) ?

3 2? ?? ? ? 1 3 得 sin ? ? ? ? ? ,于是 ? ? 4k? ? ,k ??, 2 3 ?2 6? 2 2
……6 分

∴ cos(

2? 2? ? ? 2? ? ? ) ? cos ? ? 4k? ? ? ?1 3 3 ? ? 3

(Ⅱ) 根据正弦定理知:

? 2a ? c ? cos B ? b cos C ? (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C
? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ? cos B ?
∵ f ( A) ?

......8 分

1 ? ?B? 2 3
……10 分

1? 3 2

∴ sin ?

A ? ? 2? ? 2? ? A ? ? 1 1? 3 ? ?? ? ? ? ? 或 ? A ? 或? 而 0 ? A ? 2 2 6 3 3 3 3 ?2 6? 2



所以 A ? 18

?
3

,因此 ? ABC 为等边三角形.……………12 分

(I)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d >0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7 d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②

由 ① 得 2a1 ? 16 ? 7 d 将 其 代 入 ② 得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 . 即
256 ? 9d 2 ? 220

? d 2 ?4 ,又 d ? 0 ,?d ? 代入①得 1a 2, ? an ?1 ?(n ?1 ) ? 2 ?n ? 1 2

?1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

……6 分

(Ⅱ)由(I)得 an ? 2n - 1
bn ? 4 a
2 n ?1

4 1 1 1 = ? ? ? 2 ? 1 (2n ? 1 ? 1 n?n ? 1? n n ? 1 )

1 1 1 1 1 1 =1<1 ) ( ? ?)??? ? ? ? ( ) 2 2 3 n n ? 1 n ?1 m m 恒成立 ? Tn ? ? 1 ? m ? 100 . 100 100 ……12 分 ? m 的最小值为 100

Tn ? ( 1?

19. ( 1 ) 甲 小 组 做 了 三 次 实 验 , 至 少 两 次 试 验 成 功 的 概 率 为

P( A) ?

1 1 7 3 1 C32 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? C3 ( )3 ? 3 3 3 27
两次连续失败,其中各种可能的情况种数 A4 ? 12 ,
2

……3 分

(2)乙小组在第 4 次成功前,共进行了 6 次试验,其中三次成功三次失败,且恰有

因此所求的概率 P(B) = ?12 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ? ? 2 2 ? 2 32 ? (3)由题意 ? 的取值为 0,1,2,3,4

?

1

1 ? 1

3

…7 分

2 1 0 1 0 1 P(? ? 0) ? C2 ( ) 0 ( ) 2 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 9 2 1 1 0 1 P(? ? 1) ? C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( ) 2 ? C 0 ( 1 ) 0 ( 2 ) 2 ?C1 ( 1 ) 2 ? 1 2 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 2 13 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 2 1 P(? ? 2) ? C2 ( ) 2 ( )0 ? C2 ( ) 2 + C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( ) 2 ? C2 ( ) 0 ( ) 2 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 36 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 P(? ? 3) ? C2 ( ) 2 ( ) 0 ? C2 ( ) 2 ? C2 ( )1 ( )1 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 3 3 2 6 2 1 2 1 2 1 …10 分 P(? ? 4) ? C2 ( ) 2 ( ) 0 ? C2 ( ) 2 ? 3 3 2 36
故 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

4

P

1 9

1 3

13 36

1 6

1 36

1 1 13 1 1 5 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 9 3 36 6 36 3

…12 分

20. 解: (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直。 ……2 分

以 BA, BB1 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, N BC, 则 (4,4,0) B(0, 8,0) C(0,8,4) ,1 ,1 , C(0,0,4)∵ BN 1 ? NB1 =(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0 BN ? B1C1 =(4,4,0)·(0,0,4) =0 ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1,∴BN⊥平面 C1B1N; ………… 4 分

(II)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, 则

?? ???? ? ?n2 ? CN ? 0 ?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ? ?? ? ? ? ?? ???? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0 ?

? ???? ? ? x ? y ? z ? 0 ?? ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

……8 分

(III)∵M(2,0,0).设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 MP ? (?2,0, a ) , ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 ……6 分, ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

∵MP//平面 CNB1,

?

BP 1 ) ? ……12 分(用几何法参照酙情给分。 PC 3
a 2

2 2 21.解: (I)设椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦点是 ? ?1, 0 ? ,故 c ? 1 ,又 c ? 1 ,所以

a

b

a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以所求的椭圆 ? 方程为

x y ? ? 1 .……4 分 4 3

2

2

(II)设切点坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ? 4, t ? ,则切线方程分别为
x1 x y1 y xx y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 4 3 4 3 3 3

的坐标都适合方程 x ? t y ? 1 ,故直线 AB 的方程是 x ? t y ? 1 ,显然直线 x ? y ? 1 恒过
3 3

t 3

点(1,0) ,故直线 AB 恒过定点 C ?1, 0 ? .……9 分

(III)将直线 AB 的方程 x ? ? t y ? 1 ,代入椭圆方程,得
3
? t2 ? ? t ? 3 ? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 , ? 3 ? ?3 ?
2

[来源:学*科*网]

所以 y1 ? y2 ?

6t ?27 ,不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , , y1 y2 ? 2 t ? 12 t ? 12
2

2 ? t2 ? 2 t2 ? 9 , 同理 BC ? ? t ? 9 y2 , …………12 分 AC ? ? x1 ? 1? ? y ? ? ? 1? y1 ? y1 3 3 ?9 ?

2

2 1

[来源:Z,xx,k.Com]

所以 1 ? 1 ?
AC BC

?1 1 ? y ? y1 3 3 ?? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 2 2 y1 y2 ? y1 y2 t ?9 ? t ?9 t ?9 3
2

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 , ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ?27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 t 2 ? 12

即 AC ? BC ? 4 AC ? BC ,
3

故存在实数 ? ? 4 ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC .
3

………13 分

22.解:(Ⅰ)∵f(x)=ex-a(x+1), ∴f′(x)=ex-a, ∵a>0,f′(x)=ex-a=0 的解为 x=lna. ∴f(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna, ∵f(x)≥0 对一切 x∈R 恒成立, ∴-alna≥0,∴alna≤0,∴amax=1. (II)设 x1、x2 是任意的两实数,且 x1 ? x2

……1 分 ……3 分 ……4 分

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ,故 g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 x 2 ? x1

……6 分

? 上单调递增, ?不妨令函数 F ( x) ? g ( x) ? mx ,则 F (x)在(- ?, ?)

? F ?( x) ? g ?( x) ? m ? 0恒成立
? 对任意的a ? -1,x ? R , m ? g ?(x) 恒成立

……7 分

g ?( x) ? e x ? a ?
故m?3

a a ? 2 e x ? (? x ) ? a = ? a ? 2 ? a ? ( ? a ? 1) 2 ? 1 ? 3 x e e
……9 分

? ? 2n ? i n i i (III) (1) 知 e ≥x+1, x= ? 由 取 , i ? 1,3,?2n ? 1, 得 1) ? e 2 …… ? e 2r 即 ( 2r 2n 2n i

i

x

12 分
? 1 n 3 2n ? 1 n ) ? ( )n ? ? ? ( ) ?e 累加得( ( 2n 2n 2n 2 n ?1 2

?e

?

2 n ?3 2

??? e

?

1 2

e 2 (1 ? e ? n ) e ? ? ?1 1? e 1? e

?

1

?1n ? 3 n ? ? ? (2n ? 1) n ?

e ( 2n) n 1? e
e (a n ) n 1? e
……14

故存在正整数 a=2.使得?1

n

? 3 n ? ? ? (2n ? 1) n ?


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