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精锐考典——第14章 简单几何体(14.7-14.9)


14.7(理)空间向量的坐标表示

例题精讲
【例 1 】已知 A??1,0,3? , B?2, y, z ? ,且直线 AB 的一个方向向量是 a ? (1,?1,2) ,则

y?

,z ?

【参考答案】 ? 3 , 9 【例 2】 已知空间三点 A(0,2,3), B(?2,1,6), C (1,?1,5). 若 a ? 求向量 a 的坐标 【参考答案】 (1,1,1) 或 (?1,?1,?1) 【例 3】已知 A(2,0,0) , B(0,1,0) , C (0,0,1) ,那么平面 ABC 的一个单位法向量的坐标是

3, 且 a 分别与 AB, AC 垂直,

【参考答案】 ? , , ? 【例 4】已知平面 ? 外一点 P , PQ ? 面 ? , Q ? 面 ? ,则点 P 到平面 ? 的距离_______;

?1 2 2? ?3 3 3?

uuu r

uuuu r r PM ? n r 若 PM 与平面 ? 斜交, M ? 面 ? ,且 n 是平面 ? 的法向量,则 的几何意义为 r n
_________

【参考答案】 (1) PQ

uuu r

(2) P 到平面 ? 的距离

? 的法向量夹角为 ? , 【例 5】 已知二面角 ? ? l ? ? , 设? , 则二面角的平面角 ? ? _______,
r r r r cos ? ? _______;若 a , b 分别是在 ? , ? 平面内与 l 垂直的向量,设 a , b 的夹角为 ? ,
则二面角的平面角 ? ? _______, cos ? ? _______ 【参考答案】 ? 或 ? ? ? , cos ? 或 ? cos ?

? 或 ? ? ? , cos ? 或 ? cos ?

【例 6】已知直线与平面相交,设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为 ? ,则直线与平 面的夹角 ? ? _______, sin ? ? ____ 【参考答案】

?
2

? ? 或? ?

?
2

, cos ?
1

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过关演练
1. 已知向量 a ? (2,?1,3),b ? (?4,2, x) , 若a ? b , 则 x ? ______; 若 a // b 则 x ? ______. 2.设平面 ? 的法向量为 (1, 2,-2) ,平面 ? 的法向量为 (-2,-4,k ) ,若 ? ? ? ,则 k =__________. 3.已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( )

?

?

?

?

?

?

A. (?3,?1,4)

B. (?3,?1,?4)

C. (3,1,4) ?

D. (3,?1,?4)

4.若向量 a ? (1, ?,2),b ? (2,?1,2) ,且 a 与 b 的夹角余弦为

?

?

?

A. 2

B. ? 2

C. ? 2 或

2 55

8 ,则 ? 等于( 9 2 D. 2 或 ? 55



5. 已知 a ? (1 ? t,1 ? t, t ),b ? (2, t, t ) ,则 | a ? b | 的最小值为





A.

5 5

B.

55 5

C.

3 5 5
?

D.

11 5

6.已知向量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则实数 m ? ______, r ? _______。

?

?

?

? ?

?

?

?

?

7.已知向量 a ? (2,?3,0) , b ? (k ,0,3) ,若 a, b 成 1200 的角,则 k ?



8 . 若 A(0, 2,

19 5 5 ) , B (1, ?1, ) , C ( ?2,1, ) 是 平 面 ? 内 的 三 点 , 设 平 面 ? 的 法 向 量 8 8 8

? a ? ( x, y, z ) ,则 x : y : z ? ______________

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2

14.8(理)空间向量在度量中的应用

例题精讲
【例 1】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 BC ? 2 , M 、N 分别为 PC、PB 的中点. (1)求证: PB ? AM ; (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角. 【参考答案】 (1)以 A 点为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz (图略) ,N 由 PA ? AD ? AB ? 2 BC ? 2 得 A B C M D P

1 A? 0,0,0? , P ? 0,0, 2? , B ? 2,0,0? , M (1, ,1) , D ? 0, 2,0? ; 2
因为 PB ? AM = ? 2, 0, ?2 ? ? (1, ,1) ? 0 ,所以 PB ? AM . (2)因为 PB ? AD= ? 2,0, ?2 ? ? (0, 2,0) ? 0 ,

uuu r uuuu r

uuu r uuu r

1 2

所以 PB ? AD ,

又 PB ? AM ,故 PB ? 平面 ADMN ,即 PB = ? 2,0, ?2 ? 是平面 ADMN 的法向量. 设 BD 与平面 ADMN 所成的角为 ? ,又 BD ? (?2, 2,0) ,设 BD 与 PB 夹角为 ? ,

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r BD ? PB ?4 1 则 sin ? ? cos ? ? uuu ? , r uuu r ? 8? 8 2 BD ? PB
又 ? ? ?0,

? ? ? ?? ,故 ? = ,故 BD 与平面 ADMN 所成的角是 . ? 6 6 ? 2?

【例 2】如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,

PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M .
(1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离. 【参考答案】 (1)证:依题设, M 在以 BD 为直径的球面上, 则 BM ? PD . 因为 PA ? 平面 ABCD ,则 PA ? AB ,
O B C A M P

D

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3

又 AB ? AD ,所以 AB ⊥平面 PAD ,则 AB ? PD ,

因此有 PD ⊥平面 ABM ,所以平面 ABM ⊥平面 PCD . (2)如图所示,建立空间直角坐标系, 则 A? 0,0,0? , P ? 0,0, 4? , B ? 2,0,0? , C ? 2, 4,0? , D ? 0, 4,0? ,
z P M

M ? 0, 2, 2? ,

? ? ? ? ?? 设 平 面 ABM 的 一 个 法 向 量 n ? x, y, z ? , 由 n ? A B可 得 :
?2 x ? 0 , ? ?2 y ? 2 z ? 0
令 z ? ?1 ,则 y ? 1 ,即 n ? 0,1, ?1? . 设所求角为 ? ,
B x

A

N

D

y

O C

?

uuu r r PC ? n 2 2 2 2 r r ? 则 sin ? ? uuu ,所求角的大小为 arc sin . 3 3 PC n
(3)设所求距离为 h ,由 O ?1, 2,0? , AO= ?1, 2,0? ,

????

uuu r r AO ? n ? 2. r 得: h ? n

【例 3】设在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB ? AC ? AA 1 ? 2 , ?BAC ? 90 , E , F 依次
?

为 C1C, BC 的中点.

EF 所成角 ? 的大小(用反三角函数值表示) (1)求异面直线 A ; 1B 、
(2)求点 B1 到平面 AEF 的距离. 【参考答案】以 A 为原点建立如图空间坐标系,则 A 1 ? 0,0, 2 ? ,

B ? 2,0,0? , B1 ? 2,0, 2? , E ? 0, 2,1? , F ?1,1,0? , uuur uuu r (1) A1B ? 2,0, ?2 ? , EF ?1, ?1, ?1? ,

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4

uuur uuu r A1 B ? EF 4 6 6 cos ? = uuur uuu ? r ? , ∴ ? =arccos 3 3 2 2? 3 A1 B EF

(2)设平面 AEF 的一个法向量为 n= ? a, b, c ? ,

?

∵ AE ? ? 0, 2,1? , AF ? ?1,1,0 ? ,

??? ?

??? ?

r uuu r ? n ? AE =0 ? 由 ? r uuu r ? ?n ? AF =0

得 ?

?2b ? c ? 0 令 a =1 可得 ?a ? b ? 0

? n= ? 1, ? 1, ?2

???? ∵ AB1 ? 2,0,2? ,

uuur r A1B ? n 6 ∴ d? ? ? 6 .∴点 B1 到平面 AEF 的距离为 6 r 6 n

【例 4】已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? ABC , AB ? AC ,

PA ? AC ?

1 AB , N 为 AB 上一点, AB ? 4 AN , M , S 分别 为 PB, BC 的中点. 2

(1)证明: CM ? SN ; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 【参考答案】设 PA ? 1 ,以 A 为原点, 射线 AB, AC, AP 分别为 x, y , z 轴正方向建立空间直角坐标系 则 P(0,0,1) , C (0,1,0) , B(2,0,0) , M (1,0, ) , N ( ,0,0) , S (1, (1) CM ? (1, ?1, ) , SN ? ( ? , ? ,0)

??? ? 1 1 1 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 因为 CM ? SN ? ? ? ? 0 ? 0 ,所以 CM ? SN 2 2 ???? ? 1 (2) NC ? ( ? ,1,0) ,设 a =( x, y , z )为平面 CMN 的一个法向量,则 2

???? ?

1 2

1 2

1 ,0 ) 2

1 z ? ?1? ? ?x ? y ? 2 ? 0 2 ? 2 令 x ? 2 得 a ? (2,1, ?2) , ? ,因为 cos a, SN ? 1 2 2 ?? x ? y ? 0 3? ? 2 2
所以 SN 与平面 CMN 所成角为 45
?

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5

【例 5】如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 1, M 是底面 BC 边 上的中点, N 是侧棱 CC1 上的点,且 CN ? 2C1 N . (1)求异面直线 BA1 与 MN 的夹角; (2)求直线 BA1 与平面 AMN 所成的角; (3)求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值; (4)求点 B1 到平面 AMN 的距离.
B M C B1 C1 A1

N

A

【参考答案】 ( 1 ) 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 : B(

3 1 , ? , 0) , A1 ? 0,0,1? , 2 2

M(

3 3 1 2 , 0, 0) , N ( , , ) , 2 2 2 3

uuu r \ BA1 =(uuuu r

r uuu r uuuu uuuu r 1 2 3 1 11 2 。 , ,1) , MN =(0, , ) ,设 BA1 与 MN 的夹角为 ? ,则 cos ? = 2 3 20 2 2 r r uuuu r r uuuu r 3 , 0, 0) 设平面 AMN 的一个法向量为 n=( x, y, z ) ,Q n ? AM , n ? MN , 2

(2) AM =(

? 3 x ? 0, ? r 3 ? 不妨设 y ? 1 ,得 n =(0,1, ? ) ?? 2 4 ? y ? 2 z ? 0. ? ?2 3

uuu r ? uuu r 3 1 2 , ? BA1 =(? , ,1) ,设 BA1 与 n 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ? 10 2 2
所求线面角为 arcsin

2 。 10
2 1 , 0) , C ? 0,1,0 ? ,N (0,1, ) , 3 2

(3) 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 B1 ? 0,0,1? ,M (0,

A(?

3 1 , , 0) , 2 2

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6

所以, AM ? (

uuuu r

uuuu r uuuu r 1 1 2 3 , 0, 0) , MB1 ? (0, ? ,1) , MN ? (0, , ) . 2 2 3 2

uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r 3 1 ? 0 ? 0 ? (? ) ? 0 ?1 ? 0 ,所以 MB1 ? AM ,同法可得 MN ? AM . 2 2 ? ? ? ?? ? ? ? ?? ???? ? ???? ? 故 ﹤ M 1 M 的 N 二 面 角 ∴ cos ﹤ MB1, MN ﹥ = B , M﹥ N 为 B1 ? A ?
因为 MB1 ? AM ?

uuuu r uuuu r

uuuu r uuuu r MB1 ? MN uuuu r uuuu r ? MB1 ? MN

5 12 ? 5 . 5 5 5 ? 2 6
5 . 5

故所求二面角 B1 ? AM ? N 的平面角的余弦值为

(4)设 n ? ( x, y, z) 为平面 AMN 的一个法向量, 则由 n ? AM , n ? MN 得

?

r

uuuu r r

uuu u r

? 3 ?x ? 0 x?0 ? r ???? ? r 3 ? 2 ? ?? 4 故可取 n ? (0, ? ,1) . 设 MB1 与 n 的夹角为 a , ? 4 y?? z ?1 y ? 2 z ? 0 ? 3 ? ? 3 ?2

uuuu r r MB1 ? n 则 cos a ? uuuu r r ? MB1 ? n

5 3 ?2 5. 3 5 5 ? 2 3
uuuu r 5 2 5 ? ? 1. 2 5

所以 B1 到平面 AMN 的距离为 MB1 ? cos a ?

【例 6】 如图, 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形,

AB ? ?CD, AC ? BD, AC 与 BD 相交于点 O , 且顶点 P 在底面射
影恰好为 O ,又 BO ? 2, PO ? 2, PB ? PD (1)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值 (2)求二面角 P ? AB ? C 的大小 (3) 设点 M 在棱 PC 上, 且 面 BMD .

PM ??, 问 ? 为何值时,PC ? 平 MC
7

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【参考答案】 (1)以 O 为原点, OA 为 x 轴, OB 为 y 轴, OP 为 z 轴,建立直角坐标系.

uuu r uuu r 2 15 PD ? 0, ?1, ? 2 , BC ? ? ?1, ?2, 0 ? , cos ? ? 15

?

?

所以两异面直线所成的角为 arc cos

2 15 , 15
r

( 2 )求的平面 PAB 的一个法向量 n1 ? 1,1, 2 ,平面 ABC 的一个法向量为 ? 0,0,1? ,

?

?

cos ? ?

2 0 ,二面角 P ? AB ? C 的大小为 45 2

(3)由条件可得 PC ? PD ,设 M ? x,0, z ? , PM ? ? MC ,得 M ?

uuuu r

uuu u r

? ?? 2 ? ? 1 ? ? ,0, 1 ? ? ? ?, ? ?

uuuu r uuu r uuuu r ? ?? r 2 ? uuu DM ? ? ,1, , PC ? ? 1, 0, ? 2 , 由 DM gPC ? 0 ? ? ? 2 , 此 时 PC ? 平 面 ? ? 1? ? 1? ? ? ? ?

?

?

BMD.

过关演练
1.在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 1B 1C1D 1 中, M 、 N 分别为 A 1B 1 和 BB1 的中点,那么 直线 AM 与 CN 所成的角为_______

2.在长方体 ABCD — A =BC=2,AA1=, 1 则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角 1B 1C1D 1 中, AB 的正弦值为_______

3 .在正三棱柱 ABC — A 则二面角 C1-AB-C 的余弦值为 =, 1 AA1=2, 1B 1C1 中, AB __________.

4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD — A 求证: (1)BD1 ⊥ BD1 交平面 ACB1 于点 E , 1B 1C1D 1 中, 平面 ACB1 ; (2) BE ?

1 ED1 . 2
8

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5. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BA ? BC . (1)若 BA ? BB1 ,求证: AB1 ? 平面 A1 BC ; (2)若 BA ? BC ? BB1 ? 2 , M 是棱 BC 上的一动点.试确定点 M 的位置,使点 M 到 平面 A1 B1C 的距离等于

2 . 2

AB ? BC , M 是 CC1 的中点, N 6. 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1 ,
是 BC 的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足 A 1P ? ? A 1B 1. (1) ? 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 ? 最大; (2)在(1)的条件下求三棱锥 P ? MNC 的体积.

????

???? ?

14.9(文)三视图

例题精讲
【例 1】画出下图所示的一些基本几何体的三视图.

【参考答案】

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9

【例 2】画出如图所示的支架(一种小零件)的三视图.

【参考答案】

【例 3】如图 3 所示的几何体,是由棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 截去一个角后所 得的几何体. D1 (1)试画出该几何体的三视图;(主视图投影面平行平面 DCC1D1 , 主视方向如图所示。请将三张视图按规定位置画在答题纸的相应虚线框内) (2)若截面 ?MNH 是边长为 2 的正三角形,求该几何体的体积 V . A 【参考答案】 (1) 主视方向 N A1 D H B M C C1

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10

(2)设原正方体中由顶点 B1 出发的三条棱的棱长分别为 B1M ? x, B1 N ? y, B1H ? z .

? x2 ? y 2 ? 4 ? 结合题意,可知, ? y 2 ? z 2 ? 4 ,解得 x ? y ? z ? 2 .因此,所求几何体的体积 ? x2 ? z 2 ? 4 ?
1 1 2 V ? V正方体 ? VB1 ? MNH ? 23 ? ? ? ( 2)3 ? 8 ? 3 2 3

【例 4】某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示。墩的上半部分是正四棱锥

P ? EFGH ,下半部分是长方体 ABCD ? EFGH 。图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)
视图和俯视图。 (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积;

【参考答案】 (1)侧视图同正视图,如下图所示. (2)该安全标识墩的体积为:

1 V ? VP?EFGH ? VABCD?EFGH ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

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11

【例 5】如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的侧 棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( )

【参考答案】 B

【例 6】已知四棱锥 P ? ABCD 及其三视图如下图所示, E 是侧棱 PC 上的中点。 (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)求异面直线 AE 与 BD 所成角的大小. 【参考答案】根据图形知底面是边长为 1 的 正方形,高 PC ? 2 . (1) VP ? ABCD ?

1 1 2 S ABCD ? PC ? ?1? 2 ? . 3 3 3

(2)连接 AC 交 BD 于点 O ,取 EC 中点 F , 连接 OF ,则 OF / / AE ,

Q AC ? 2OC ? 2,?OC ?

2 1 3 2 , , CF ? ,计算得 | OF |? ,| OB |? 2 2 2 2

| BF |?

? 5 2 2 2 ,Q| OF | ? | OB | ?| BF | ,∴ ?FOB ? . 2 2
0

因此异面直线 AE 与 BD 所成角大小为 90 .

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12

过关演练
1.如图,下列四个几何体中,它们的三视图(主视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相 同,而另一个不同的两个几何体是 ( ) .

(1)棱长为 2 的正方体

(2)底面直径和高均为 2 的圆柱

(3)底面直径和高均为 2 的圆锥

(4)底面边长为 2、高为 3 的正四棱柱

A. (1) (2)

B. (1) (3)

C. (2) (3)

D. (1) (4)

2.右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题: ① 存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ② 存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图; ③ 存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是( ).

A .3;

B .2;

C .1;

D .0.

3.已知正三棱柱的底面边长为 1、高为 2,若其主视图平行于一个侧面,则其左视图的面积 为___________. 4.空间中一条线段在三视图中的长度分别为 a, b, c ,则该线段的长度为( )

2 2 2 A . a ?b ?c

B.

2 a 2 ? b2 ? c2 2

2 2 2 C . 2 ? a ?b ?c

D . ab ? bc ? ca
13

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5.将图所示的一个直角三角形 ABC ( ?C =90 )绕斜边 AB 旋转一周,所得到的几何体
0

的正视图是下面四个图形中的(



A.

B.

C.

D.

6.四棱锥 S ? ABCD 的底面是矩形,锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点,且四棱锥 及其三视图如下 (AB 平行于主视图投影平面) , 则四棱锥 S ? ABCD 的侧面积= ( )

A . 8 ? 4 13

2 S D C 6 主视图 4 6 俯视图 4 左视图

B .20
C . 12 2 ? 4 13
D . 8 ? 12 2
A

B

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14

直击高考
一、填空题 1. (2009 年高考 5)如图,若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面 直线 BD1 与 AD 所成角的大小是 . (结果用反三角函数值表示)

2. (2009 年高考理 8)已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的表 面积 S1 , S 2 , S 3 满足的等量关系是 3. (2009 年高考文 6) 若球 O1 , O2 的面积之比 .

S1 R 则它们的半径之比 1 ? ? 4, S2 R2



4. (2009 年高考文 8)若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋 转一周所成的几何体体积是 . . 5. (2010 年春季高考 10)各棱长为 1 的正四棱锥的体积 V ? 长最短 50cm ,最长 80cm ,则斜截圆柱的侧面面积 S ?

6. (2010 年春季高考 13)在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为 40cm ,母线

cm2 .

80cm 50cm

40cm 7. (2010 年高考理 12)如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中, AC 与 BD 相交于点 O ,剪去 V AOB ,将剩余部分沿 OC , OD 折叠,使 OA, OB 重合,则以 A( B),

C, D, O 为顶点的四面体的体积是



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15

8. (2010 年高考文 6)已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方体,侧棱 PA ? 底面

ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱锥的体积是
(如图) , AB 与 CD 所成角的大小是 .



9. (2011 年春季高考 13)有一种多面体的饰品,其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成

10. (2011 年高考理 7) 若圆锥的侧面积为 2? , 底面面积为 ? , 则该圆锥的体积为



11. (2011 年高考文 7)若一个圆锥的主视图是边长为 3,3,2 的三角形,则该圆锥的侧面 积为 .

12. (2012 年高考理 6)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 分别记为 V1 ,V2 ,...,Vn ,... ,则 lim(V1 ? V2 ? ... ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数列,体积 2


13. (2012 年高考理 8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积 为 . 14. (2012 年高考理 14)如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC ? 2 ,若

AD ? 2c ,且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2 a ,其中 a , c 为常数,则四面体 ABCD 的体积
的最大值是 .

15. (2012 年高考文 5) 一个高为 2 的圆柱, 底面周长为 2? , 该圆柱的表面积为



16. (2013 年春季高考 9) 在如图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为 . D1 A1 D A B B1 C C1

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16

17 . ( 2013 年 高 考 理 13 ) 在 xOy 平 面 上 , 将 两 个 半 圆 弧 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ( x ? 1) 和

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 ( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封闭图形记为 D ,如图中阴
影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ? .过 (0, y ) (| y |? 1) 作 ? 的水平截面,
2 所得截面面积为 4? 1 ? y ? 8? .试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得

出 ? 的体积值为



18. (2013 年高考文 10)已知圆柱 ? 的母线长为 l ,底面半径为 r , O 是上底面圆心, A 、



B 是下底面圆周上两个不同的点, BC 是母线,如图.若直线 OA 与 BC 所成角的大小 ? l
6
,则

r

?



19. (2014 年高考理 6 文 7)若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面夹角的大 小为 (结果用反三角函数值表示) .

20. (2014 年高考文 8)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切 割掉的两个小长方体的体积之和等于

二、选择题 1. (2013 年春季高考 21)若两个球的表面积之比为 1 : 4 ,则这两个球的体积之比为( A. 1 : 2 B. 1 : 4 C. 1 : 8 D. 1:16 )

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2. (2009 年高考文 16) 如图,已知三棱锥的底面是直角△ ,直角边长分别为 3 和 4 ,过直角顶点 的侧棱长为 4 ,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( )

? A?
4 4 三、解答题

? B?
4 3

?C ?

3 4

? D?
5 4

1. (2009 年春季高考 16)如图,在斜三棱柱 ABC ? A 1 AC ? ?ACB ? 1B 1C1 中, ?A

?
2



?AA1C ?

?
6

,侧棱 BB1 与底面所成的角为

? BC ? 4 . 求斜三棱柱 , AA 1 ? 4 3, 3

V . ABC ? A 1B 1C 1 的体积

2. (2009 年高考理 19)如图,在直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 中, AA? ? BC ? AB ? 2 ,

AB ? BC ,求二面角 B? ? A?C ? C ? 的大小.

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3. (2010 年春季高考 21)已知地球半径约为 6371 千米. 上海的位置约为东经 121° 、北纬 31° ,大连的位置约为东经 121° 、北纬 39° ,里斯本的位置约为西经 10° 、北纬 39° . (1)若飞机以平均速度 720 千米/小时,飞行,则从上海到大连的最短飞行时间约为多少 小时?(飞机飞行高度忽略不计,结果精确到 0.1 小时) (2)求大连与里斯本之间的球面距离. (结果精确到 1 千米)
北 极 大连 里斯本 上海 赤 道

O

南极

4. (2010 年高考理 21)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作 4 个全等的矩形骨 架,总计耗用 9.6 米铁丝.骨架将圆柱底面 8 等分.再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧 面和下底面(不安装上底面) . (1)当圆柱底面半径 r 取何值时, S 取得最大值?并求出该最大值(精确到 0.01 平方 米) ; (2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为端点,安装一些霓虹灯.当灯笼底面半径为 0.3 米时,求图中两根直线型霓虹灯 A 1 B3 , A 3 B5 所在异面直线所成角的大小(结果用反三角 函数值表示) .
B8 B1 B2 B7 B6 B5 B3 B4

A8 A1 A2

A7

A6 A5

A3

A4

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5. (2011 年春季高考 20) 某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥 形 (如图) ,现把半径为 10 cm 的圆形蛋皮等分成 5 个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面 (蛋 皮的厚度忽略不计) ,求该蛋筒冰激凌的表面积和体积. (精确到 0.01 )

6. (2011 年高考理 21)已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O1 为 AC 1 1与

B1D1 的交点.
(1)设 AB1 与底面 A 1B 1C1D 1 所成角的大小为 ? ,二面角 A ? B 1D 1?A 1 的大小为 ? 求证: tan ? ? 2 tan ? ; (2)若点 C 到平面 AB1D 1 的距离为

4 ,求正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的高. 3

7. (2011 年高考文 20)已知 ABCD ? A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA 1 ?2 (1)求异面直线 BD 与 AB1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)求四面体 AB1D1C 的体积.

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8. (2012 年春季高考 19)如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 1,高为 2,

M 为线段 AB 的中点.求: (1)三棱锥 C1 ? MBC 的体积;
(2)异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

9. (2012 年高考理 19)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ⊥底面

ABCD , E 是 PC 的中点,已知 AB ? 2 , AD ? 2 2 , PA ? 2 ,求:
(1)三角形 PCD 的面积. (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

10. (2012 年高考文 19)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC , D 是 PC 的中 点,已知∠ BAC =

? , AB ? 2 , AC ? 2 3 , PA ? 2 ,求: 2

(1)三棱锥 P ? ABC 的体积. (2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小. (结果用反三角函数值表示)

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11. (2013 年春季高考 25)如图,在正三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? 6 ,异面直线 BC1 与

AA1 所成角的大小为

? ,求该三棱柱的体积. 6
A1 B1 C1

A B

C

12. (2013 年高考理 19)如图,在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, AB ? 2 , AD ? 1 ,

AA ' ? 1 . 证明直线 BC ' 平行于平面 D ' AC ,并求直线 BC ' 到平面 D ' AC 的距离.

13. (2013 高考文 19)如图,正三棱锥 O ? ABC 的底面边长为 2,高为 1,求该三棱锥的体 积及表面积.

14. (2014 高考理 19 文 19)底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC ,其表面展开图是三角 形P 1P 2P 3 ,如图,求 ?PP 1 2P 3 的各边长及此三棱锥的体积 V .

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