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2014重庆南开中学最后一次模拟高考数学理科


2014 年重庆市南开中学高考数学最后一次模拟试 卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分.共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. (5 分) (2013?青岛一模)已知集合 A={0,1,2,3,4},集合 B={x|x=2n,n∈A},则 A∩ B=( ) A.{0} B.{0,4} C.{2,4} D.{0,2,4} 2. (5 分)在二项展开式(1+x) =a0+a1x+a2x +…+a10x 中,a1+a3+a5+a7+a9=( A.1024 B.512 C.256
10 2 10

) D.128 )

3. (5 分)若函数 f(x)为偶函数,x>0 时,f(x)递增,P=f(﹣π) ,Q=f(e) ,R=f(lnπ) ,则( A.P>Q>R B.R>Q>P C.P>R>Q D.Q>R>P 4. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据如表所示,则 x 与 y 的回归直线必过点( x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A.(2,2) B.(1.5,0) C.(1,2) )

D.(1.5,4)

5. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 z=log3(x+2y+25)的最大值是(



A .3

B.log325
x

C.log317 )

D.log337﹣log32

6. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣2x+a 有零点,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣∞,2ln2﹣2] B.[2ln2﹣2,+∞) C.[2ln2,+∞) 7. (5 分)如图所示的程序框图,则输出的结果为( )

D.[2ln2﹣2,2ln2]

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A.189

B.381

C.93 )

D.45

8. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

+

B.

5+

C.

5+

D.

+

9. (5 分)若函数 f(x)=4sinωx?sin ( 是( ) A.(0,1]

2

+

)+cos2ωx(ω>0)在[﹣



]上是增函数,则 ω 的取值范围

B.

(0, ]

C.[1,+∞)

D. [ ,+∞)

10. (5 分)如图所示,点列{An}满足:| + +…+ =( )

|=1,|

|=2|

|+1,Ai 均在坐标轴上(i∈N ) ,则向量

*

A.(22014﹣1,0) C. ( , )

B. (22016﹣1,22015﹣1) D. ( , )

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www.jyeoo.com 二、填空题:本大题共 3 小题.考生作答 5 小题.每小题 5 分.共 25 分.把答案填写在答题卡相对应位置上. 11. (5 分)已知 i 为虚数单位,则| |= _________ .

12. (5 分)高二年级的 5 个文科班级每班派 2 名同学参加年级学生会选举,从中选出 4 名学生进入学生会,则这 4 名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为 _________ . 13. (5 分) 已知中心在原点的椭圆与双曲线的公共焦点 F1、 F2 都在 x 轴上, 记椭圆与双曲线在第一象限的交点为 P, 若△ PF1F2 是以 PF1(F1 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为 3,则椭圆的离心率为 _________ . 考生注意:14~16 题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14. (5 分)如图,PA 为圆的切线,切点为 A,割线 PCB 与圆相交于 B、C 两点,弦 DE 经过弦 BC 的中点 Q,若 AP=3 ,CP= ,DE=8 且 DQ>QE,则 QE= _________ .

15. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 (t 为参数)被曲线 ρ=4cosθ 所截得的弦长为 _________ . 16.若关于实数 x 的不等式|2 ﹣2|﹣|2
x x﹣1

﹣2|<3 的解集为 A,则 A 为 _________ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (13 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 (Ⅰ )求 a,c 的值; (Ⅱ )求 的值. ,b=5,△ ABC 的面积为 .

18. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣3x+alnx(a>0) . (I)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ )若曲线 y=f(x)的切线斜率的最小值为 1,求 a 的值. 19. (13 分)我校高 2014 级迎新晚会的舞台天花板上有前、后两排共 4 个灯架,每排 2 个,每个灯架上安装了 5 盏射灯,每盏射灯发光的概率为 .若一个灯架上至少有 3 盏射灯正常发光,则这个灯架不需要维修,否则需要维 修. (Ⅰ )求恰有两个灯架需要维修的概率; (Ⅱ )若前排每个灯架的维修费用为 100 元,后排每个灯架的维修费用为 200 元,记 ξ 为维修灯架的总费用,求随 机变量 ξ 的分布列及数学期望. 20. (12 分)如图,四边形 ABCD、BCFE、CDGF 都是边长为 1 的正方形,M 为棱 AE 上任意一点.
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2

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www.jyeoo.com (Ⅰ )若 M 为 AE 的中点,求证:AE⊥ 面 MBC; (Ⅱ )若 M 不为 AE 的中点,设二面角 B﹣MC﹣A 的大小为 α,直线 BE 与平面 BMC 所成的角为 β,求 | |的值.

21. (12 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>c)的离心率为

,且经过点 P(1,



(Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )设直线 x=my+1 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 OA,OB 分别交直线 l:x=2 于 M,N,记△ OAB,△ OMN 的面 积分别为 S1,S2,λ= ,当 m∈[ , ]时,求 λ 的取值范围.

22. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=b 且 an=2an﹣1+ (Ⅰ )若 b=﹣ ,求 a2,a3,a4; (Ⅱ )若{an}是递增数列,求实数 b 的取值范围; * (Ⅲ )若?n∈N ,Sn≥S2 恒成立,求实数 b 的取值范围.

(n>1,n∈N )

*

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2014 年重庆市南开中学高考数学最后一次模拟试 卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分.共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. (5 分) (2013?青岛一模)已知集合 A={0,1,2,3,4},集合 B={x|x=2n,n∈A},则 A∩ B=( ) A.{0} B.{0,4} C.{2,4} D.{0,2,4} 考点: 专题: 分析: 解答: 交集及其运算. 计算题. 由集合 B 中的元素的属性用列举法写出集合 B,直接取交集即可. 解:因为集合 A={0,1,2,3,4},所以集合 B={x|x=2n,n∈A}={0,2,4,6,8}, 所以 A∩ B={0,1,2,3,4}∩ {0,2,4,6,8}={0,2,4}. 故选 D. 点评: 本题考查了交集及其运算,属基础题,是会考常见题型.
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2. (5 分)在二项展开式(1+x) =a0+a1x+a2x +…+a10x 中,a1+a3+a5+a7+a9=( A.1024 B.512 C.256

10

2

10

) D.128

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 通过对 x 赋值 1 得各项系数和,通过对 x 赋值﹣1 得正负号交替的各项系数和,把所得的两个式子相加,得 到下标是奇数的项的系数和的 2 倍,得到结果. 10 1 2 3 9 1 2 3 4 解答: 解:令展开式的 x=1 得 2 =a +a +a +…+a 令 x=﹣1 得 0=a ﹣a +a ﹣a …+a11
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两式相加 2 =2(a1+a3+a5…+a ) 9 ∴ a1+a3+a5+a7+a9=2 =512 故选 B. 点评: 本题考查求展开式的有关系数和问题的重要方法是赋值法,本题解题的关键是看出给变量赋值以后,两个 式子相加,得到要求的结果的 2 倍. 3. (5 分)若函数 f(x)为偶函数,x>0 时,f(x)递增,P=f(﹣π) ,Q=f(e) ,R=f(lnπ) ,则( A.P>Q>R B.R>Q>P C.P>R>Q D.Q>R>P )

10

9

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)为偶函数,可得 P=f(﹣π)=f(π) ,进而上 x>0 时,f(x)递增,比较三个自变量的大小, 可得结论. 解答: 解:∵ 函数 f(x)为偶函数, ∴ P=f(﹣π)=f(π) , ∵ x>0 时,f(x)递增,且 π>e>lnπ>0, 故 P>Q>R, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,其中熟练掌握偶函数满足 f(﹣x)=f(x) ,是解答的关键.
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www.jyeoo.com 4. (5 分)已知 x 与 y 之间的一组数据如表所示,则 x 与 y 的回归直线必过点( x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A.(2,2) B.(1.5,0) C.(1,2) )

D.(1.5,4)

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 先利用数据平均值的公式求出 x,y 的平均值,以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上,即样本中心点在 线性回归直线上,得到线性回归方程一定过的点. 解答: 解:∵ = =1.5,
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=

=4∴ 这组数据的样本中心点是(1.5,4)

根据线性回归方程一定过样本中心点得到 线性回归方程 y=a+bx 所表示的直线必经过点(1.5,4) 故选:D. 点评: 本题考查线性回归方程的性质,本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中心点,线性回归方程 一定过样本中心点是本题解题的依据,本题是一个基础题.

5. (5 分)若实数 x,y 满足

,则 z=log3(x+2y+25)的最大值是(



A .3

B.log325

C.log317

D.log337﹣log32

考点: 简单线性规划. 分析: 先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易 得目标函数 z=2x+y 的最大值. 解答:
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解:由约束条件

得如图所示的三角形区域,

三个顶点坐标为 A(0,1) ,B( , ) ,O(0,0) 将三个代入得 x+2y+25 的值分别为 27,26.5,25, 直线 u=x+2y+25 过点 A(0,1)时, z 取得最大值为 log327=3; 故选:A.

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点评: 在解决线性规划的小题时,常用“角点法”,其步骤为:① 由约束条件画出可行域?② 求出可行域各个角点的坐 标?③ 将坐标逐一代入目标函数?④ 验证,求出最优解. 6. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣2x+a 有零点,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣∞,2ln2﹣2] B.[2ln2﹣2,+∞) C.[2ln2,+∞)
x

) D.[2ln2﹣2,2ln2]

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先讨论函数的单调性,得出函数的最值,由函数的最大值大于或等于零(或函数的最小值小于或等于零) 得出 a 的取值范围. x 解答: 解:f′ (x)=e ﹣2,可得 f′ (x)=0 的根为 x0=ln2 当 x<ln2 时,f′ (x)<0,可得函数在区间(﹣∞,ln2)上为减函数; 当 x>ln2 时,f′ (x)>0,可得函数在区间(ln2,+∞)上为增函数, ∴ 函数 y=f(x)在 x=ln2 处取得极小值 f(ln2)=2﹣2ln2+a, 并且这个极小值也是函数的最小值, 由题设知函数 y=f(x)的最小值要小于或等于零,即 2﹣2ln2+a≤0,可得 a≤2ln2﹣2, 故选:A. 点评: 利用导数工具讨论函数的单调性,是求函数的值域和最值的常用方法,本题可以根据单调性,结合函数的 图象与 x 轴交点,来帮助对题意的理解
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7. (5 分)如图所示的程序框图,则输出的结果为(



A.189 考点: 专题: 分析: 解答:

B.381

C.93

D.45

程序框图. 计算题;算法和程序框图. 根据框图的流程模拟运行程序,直到满足 S>30k,跳出循环,计算输出 S 的值. 解:由程序框图知:第一次循环 k=1,S=3; 第二次循环 k=2,S=2×3+3=9;
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www.jyeoo.com 第三次循环 k=3,S=2×9+3=21; 第四次循环 k=4,S=2×21+3=45; 第五次循环 k=5,S=2×45+3=93; 第六次循环 k=6,S=2×93+3=189, 满足 S>30k,跳出循环,输出 S=189. 故选:A. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法. 8. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

+

B.

5+

C.

5+

D.

+

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是长方体、 圆柱、三棱锥的组合体,根据三视图判断长方体的长、宽、高;判断圆柱的底面半径与
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高; 判断三棱锥的高和底面三角形的形状及相关几何量的数据,把数据代入体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是长方体、 圆柱、三棱锥的组合体, 其中长方体的长、宽、高分别为 2、1、2; 圆柱的底面半径为 1,高为 2; 三棱锥的高为 2,底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形, ∴ 几何体的体积 V=2×1×2+ π×1 ×2+ × ×1×1×2=4+
2

+ =

+



故选:D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答问题的 关键.
2

9. (5 分)若函数 f(x)=4sinωx?sin ( 是( ) A.(0,1]

+

)+cos2ωx(ω>0)在[﹣



]上是增函数,则 ω 的取值范围

B.

(0, ]

C.[1,+∞)

D. [ ,+∞)

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 将函数化简,根据复合函数的性质求出单调区间,与已知区间比较即可.
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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ f(x)=4sinωx?sin (
2

+

)+cos2ωx=4sinωx?

+cos2ωx

=2sinωx(1+sinωx)+cos2ωx=2sinωx+1, ∴ [﹣ , ]是函数含原点的递增区间.

又∵ 函数在[﹣



]上递增,∴ [﹣



]?[﹣



],∴ 得不等式组



,又∵ ω>0,0<ω≤ ,

ω 的取值范围是(0, ]. 故选:B 点评: 本题考查复合函数单调区间,属于中档题. 10. (5 分)如图所示,点列{An}满足:| + +…+ =( ) |=1,| |=2| |+1,Ai 均在坐标轴上(i∈N ) ,则向量
*

A.(22014﹣1,0) C. ( , )

B. (22016﹣1,22015﹣1) D. ( , )

考点: 等比数列的通项公式;向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法;平面向量及应用. 分析: 由于点列{A }满足:| |=1,| |=2| |+1,设 n

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,则 a1=1,an+1=2an+1,变形为 an+1+1=2 .由于 Ai 均在坐标轴上(i∈N ) ,
*

(an+1) ,可知;数列{an+1}是等比数列,利用通项公式可得
*

且 A4n﹣3,A4n﹣2,A4n﹣1,A4n, (n∈N )分别在 y 轴的正半轴,x 轴的正半轴,y 轴的负半轴,x 轴的负半 轴. 可得向量 + +…+ 的横坐标=a2﹣a4+a6﹣a8+…+a2010﹣a2012+a2014, 向量 + +…+

的纵坐标=a1﹣a3+a5﹣a7+…+﹣a2011+a2013,再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出.
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www.jyeoo.com 解答: 解:∵ 点列{An}满足:| 设

|=1,|

|=2|

|+1,

,则 a1=1,an+1=2an+1,化为 an+1+1=2(an+1) ,

∴ 数列{an+1}是等比数列, ∴ ∴ .
*

=2 .

n

由于 Ai 均在坐标轴上(i∈N ) , 且 A4n﹣3,A4n﹣2,A4n﹣1,A4n,分别在 y 轴的正半轴,x 轴的正半轴,y 轴的负半轴,x 轴的负半轴. ∴ 向量
2

+

+…+
4

的横坐标=a2﹣a4+a6﹣a8+…+a2010﹣a2012+a2014
6 8 2010

=(2 ﹣1)﹣(2 ﹣1)+(2 ﹣1)﹣(2 ﹣1)+…+(2 2 4 6 8 2010 2012 2014 =2 ﹣2 +2 ﹣2 +…+2 ﹣2 +2 ﹣1 = ﹣1

﹣1)﹣(2

2012

﹣1)+(2

2014

﹣1)

=



同理可得向量

+

+ …+

的纵坐标=a1﹣a3+a5﹣a7+…+﹣a2011+a2013=



∴ 向量

+

+…+

=



故选:D. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式、前 n 项和公式、向量的运算等基础知识与基本技能方法,考查了分类讨 论和数形结合的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 3 小题.考生作答 5 小题.每小题 5 分.共 25 分.把答案填写在答题卡相对应位置上. 11. (5 分)已知 i 为虚数单位,则| |= .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用虚数单位 i 的幂运算性质,化复数
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为代数形式,再利用复数的模的定义求出它的模.

解答:

解:∵ 复数 ∴ | |=|1﹣i|=

=

=1﹣i, = ,

故答案为: . 点评: 本题考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数的模的定义.

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www.jyeoo.com 12. (5 分)高二年级的 5 个文科班级每班派 2 名同学参加年级学生会选举,从中选出 4 名学生进入学生会,则这 4 名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 分别计算出从 10 名学生中选出 4 名学生进入学生会的基本事件总数和满足这 4 名学生中有且只有两名学生 来自同一个班级的基本事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 解答: 解:高二年级的 5 个文科班级每班派 2 名同学参加年级学生会选举,共有 10 名学生,
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从中选出 4 名学生进入学生会共有

=210 种不同情况; ? ? ? =120 种不同情况,

其中这 4 名学生中有且只有两名学生来自同一个班级有:

故这 4 名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率 P= 故答案为:

= ,

点评: 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤,是 解答的关键. 13. (5 分) 已知中心在原点的椭圆与双曲线的公共焦点 F1、 F2 都在 x 轴上, 记椭圆与双曲线在第一象限的交点为 P, 若△ PF1F2 是以 PF1(F1 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为 3,则椭圆的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用离心率的定义,及双曲线的离心率的值为 3,|F1F2|=|PF2|,可求得|PF2|=2c,∴
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利用椭圆的定

义,可得结论. 解答: 解:设|PF1|+|PF2|=2a′ ,|PF1|﹣|PF2|=2a, ∵ △ PF1F2 是以 PF1(F1 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为 3, ∴ |PF2|=2c, ∴ ∴ , , , ,

可得结论.∴ ∴ ∴ 故答案为: . ,

点评: 本题考查椭圆与双曲线的几何性质,解题的关键是正确运用离心率的定义,属于中档题. 考生注意:14~16 题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分.
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www.jyeoo.com 14. (5 分)如图,PA 为圆的切线,切点为 A,割线 PCB 与圆相交于 B、C 两点,弦 DE 经过弦 BC 的中点 Q,若 AP=3 ,CP= ,DE=8 且 DQ>QE,则 QE= 3 .

考点: 专题: 分析: 解答:

与圆有关的比例线段. 选作题;几何证明. 利用切割线定理,Q 是弦 BC 的中点,可得 BQ=CQ= ,利用相交弦定理,即可得出结论. 解:∵ PA 为圆的切线,切点为 A,割线 PCB 与圆相交于 B、C 两点, 2 ∴ PA =PC?PB, ∵ AP=3 ,CP= , ∴ PB=3 , ∵ Q 是弦 BC 的中点, ∴ BQ=CQ= , ∵ 弦 DE 经过弦 BC 的中点 Q, 2 ∴ DQ?QE=BQ , ∵ DE=8, ∴ (8﹣QE)?QE=15, ∴ QE=3 或 5, ∵ DQ>QE, ∴ QE=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查与圆有关的比例线段,考查切割线定理、相交弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题.
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15. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 (t 为参数)被曲线 ρ=4cosθ 所截得的弦长为 考点: 专题: 分析: 解答: .

简单曲线的极坐标方程. 选作题;坐标系和参数方程. 将直线的参数方程化为标准形式,代入圆方程,利用参数的几何意义,即可求弦长.
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解:曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,化为直角坐标方程为 x +y ﹣4x=0,

2

2

直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数) ,化为标准形式



代入圆方程可得 t ﹣3t﹣1=0 设方程的根为 t1,t2,∴ t1+t2=3,t1t2=﹣1 ∴ 曲线 C 被直线 l 截得的弦长为|t1﹣t2|= = .

故答案为: . 点评: 本题考查参数方程化为标准方程,极坐标方程化为直角坐标方程,考查参数的几何意义,考查学生的计算 能力,属于中档题.
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www.jyeoo.com 16.若关于实数 x 的不等式|2 ﹣2|﹣|2 考点: 专题: 分析: 解答:
x x﹣1

﹣2|<3 的解集为 A,则 A 为 (﹣∞,log26) .

绝对值不等式的解法. 选作题;不等式的解法及应用;不等式选讲. 换元,再由零点进行分段,去绝对值后求解一次不等式,最后取并集,即可得出结论.
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解:令 t=2 (t>0) ,则不等式|2 ﹣2|﹣|2 ﹣2|<3 可化为不等式|2t﹣2|﹣|t﹣2|<3, 当 0<t<1 时,不等式|2t﹣2|﹣|t﹣2|<3 化为﹣t<3,则 t>﹣3,所以,t 的范围是 0<t<1; 当 1≤t≤2 时,不等式|2t﹣2|﹣|t﹣2|<3 化为 3t﹣4<4,即 t< ,所以,t 的范围是 1≤t≤2; 当 t>2 时,不等式|2t﹣2|﹣|t﹣2|<3 化为 t<3,则 2<t<3. 综上,0<t<3,

x﹣1

x

x﹣1

∴ 2 <3, ∴ x<log26, 故答案为: (﹣∞,log26) . 点评: 本题考查了绝对值不等式的解法,考查了不等式的分段问题,分段求解后取并集得原不等式的解集,此题 是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (13 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 (Ⅰ )求 a,c 的值; (Ⅱ )求 的值. ,b=5,△ ABC 的面积为 .

x﹣1

考点: 解三角形;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )利用已知条件及三角形的面积公式求得 a,进而利用余弦定理求得 c. (Ⅱ )利用(Ⅰ )中求得的三边及余弦定理求得 cosA 的值,然后通过同角三角函数的基本关系求得 sinA 的 值,最后利用正弦的两角和公式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ )由已知, ,b=5,
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因为 即 解得 a=8. 由余弦定理可得: 所以 c=7.

, ,



(Ⅱ )由(Ⅰ )及余弦定理有 由于 A 是三角形的内角, 易知 所以 ,



=

=



点评: 本题主要考查了解三角形及正弦定理和余弦定理的应用.考查了学生利用三角函数的基本性质处理边角问
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www.jyeoo.com 题的能力. 18. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣3x+alnx(a>0) . (I)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ )若曲线 y=f(x)的切线斜率的最小值为 1,求 a 的值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 分析: (Ⅰ )把 a=1 代入原函数解析式,求导后由导函数大于 0 求得原函数的增区间,由导函数小于 0 求得原函数 的减区间,从而得到极值点并求得极值;
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2

(Ⅱ )由 f(x)=2x﹣3+ 的最小值为 1,由 a>0 得,2x﹣3+ ≥2 解答: 解: (I)f(x)的定义域为(0,+∞) , 2 当 a=1 时,f(x)=x ﹣3x+lnx, f(x)=
2

﹣3=2

﹣3,从而求出 a 的值.

=



由 2x ﹣3x+1=0,得 x1=1x2= , 由 2x ﹣3x+1>0,得 x< ,或 x>1,∴ f(x)的单调递增区间为(0, ) , (1,+∞) . 由 2x ﹣3x+1<0,得 <x<1,∴ f(x)的单调递减区间为( ,1) . ∴ f(x)极大值为 f( )=﹣ ﹣ln2;极小值为 f(1)=﹣2; (Ⅱ )由 f(x)=2x﹣3+ 的最小值为 1, 由 a>0 得,2x﹣3+ ≥2 ﹣3=2 ﹣ 3,
2 2

∴ 2 ﹣3=1, ∴ a=2. 点评: 本题考察了函数的单调性,导数的应用,极值的求法,是一道中档题. 19. (13 分)我校高 2014 级迎新晚会的舞台天花板上有前、后两排共 4 个灯架,每排 2 个,每个灯架上安装了 5 盏射灯,每盏射灯发光的概率为 .若一个灯架上至少有 3 盏射灯正常发光,则这个灯架不需要维修,否则需要维 修. (Ⅰ )求恰有两个灯架需要维修的概率; (Ⅱ )若前排每个灯架的维修费用为 100 元,后排每个灯架的维修费用为 200 元,记 ξ 为维修灯架的总费用,求随 机变量 ξ 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ )求出一个灯架需要维修的概率,即可求恰有两个灯架需要维修的概率; (Ⅱ )确定 ξ 的所有可能值为 0,100,200,300,400,500,600,求出相应的概率,即可求出随机变量 ξ 的分布列及数学期望. 解答: 解: (Ⅰ )一个灯架需要维修的概率为 + + = ,
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www.jyeoo.com ∴ 恰有两个灯架需要维修的概率为 P= (Ⅱ )ξ=0,100,200,300,400,500,600,则 P(ξ=0)=( ) = P(ξ=300)=)= P(ξ=500)=
4

= ;

,P(ξ=100)= ( )
2 2 2

( ) ( ) = ,P(ξ=200)= ( )
4 4

3

( )+
2

4

( )=
2

4



( ) = ,P(ξ=400)=
2

( )

( )=

( )

( ) = ,P(ξ=600)=( ) =



随机变量 ξ 的分布列 ξ 0 P 数学期望 Eξ=0×

100

200

300

400

500

600

+100× +200×

+300× +400×

+500× +600×

=300.

点评: 本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式,离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望, 其中在求随机变量 ξ 的分布列时,对随机变量的每一个取值,要注意不重不漏,以便准确的计算出 ξ 取得各 值时的概率,这也是计算分布列及数学期望时最容易产生的错误. 20. (12 分)如图,四边形 ABCD、BCFE、CDGF 都是边长为 1 的正方形,M 为棱 AE 上任意一点. (Ⅰ )若 M 为 AE 的中点,求证:AE⊥ 面 MBC; (Ⅱ )若 M 不为 AE 的中点,设二面角 B﹣MC﹣A 的大小为 α,直线 BE 与平面 BMC 所成的角为 β,求 | |的值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ )根据 AB=AE,M 是 AE 的中点,推断出 MB⊥ AE,又有 BC⊥ AB,BC⊥ BE,根据线面垂直的判定定理 知 BC⊥ 平面 ABE,进而可知 BC⊥ AE,最后根据线面垂直的判定定理知.AE⊥ 平面 MBC. (Ⅱ )以 B 为原点,BA,BC,BE 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 M 的坐标,及平面 MBC 的
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法向量为 , 根据

, 推断出

, 令 x=λ﹣1, z=λ 解得 , 显然能求得平面 MAC

的法向量 ,进而分别表示出 sinβ 和 cosα,带入| 解答: 解: (Ⅰ )∵ AB=AE,M 是 AE 的中点, ∴ MB⊥ AE,
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|即可.

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www.jyeoo.com 又 BC⊥ AB,BC⊥ BE, ∴ BC⊥ 平面 ABE, ∴ BC⊥ AE, ∴ AE⊥ 平面 MBC. (Ⅱ )以 B 为原点,BA,BC,BE 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, ∵ M 在 AE 上,设 M(λ,0,1﹣λ) (0≤λ≤1) , 设平面 MBC 的法向量为 =(x,y,z) ,∵ ,



,令 x=λ﹣1,z=λ,解得 =(λ﹣1,0,λ) ,

显然平面 MAC 的法向量 =(1,1,1) , ∴ |cosα|= = ,

∴ sinβ=

=



∴ |

|=

=

=

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理,法向量的应用,以及三角函数恒等变换的应用.综合性强,计算量 大,属于难度较大的题.

21. (12 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>c)的离心率为

,且经过点 P(1,



(Ⅰ )求椭圆 E 的方程; (Ⅱ )设直线 x=my+1 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 OA,OB 分别交直线 l:x=2 于 M,N,记△ OAB,△ OMN 的面 积分别为 S1,S2,λ= ,当 m∈[ , ]时,求 λ 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:
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(Ⅰ )由已知条件推导出

,由此能求出椭圆 E 的方程.

(Ⅱ )设 A(my1+1,y1) ,B(my2+1,y2) ,M(xM,yM) ,N(xN,yN) ,OA 的方程为

,OB

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www.jyeoo.com 的方程为 y= ,由此求出|MN|=| |,由 ,得|y1﹣

y2|= 的取值范围. 解答:

,从而得到|MN|=

,|AB|=

|y1﹣y2|=

,由此能求出 λ

解: (Ⅰ )∵ 椭圆 E:

+

=1(a>b>c)的离心率为

,且经过点 P(1,

) ,



,解得



∴ 椭圆 E 的方程为



(Ⅱ )设 A(my1+1,y1) ,B(my2+1,y2) ,M(xM,yM) ,N(xN,yN) , ∴ OA 的方程为 ,OB 的方程为 y= ,



,解得



同理求得



∴ |MN|=|yM﹣yN|=|

|,①


2

,得(m +2)y +2my﹣1=0,
2

2

2

∴ △ =4m +4(m +2)>0, ,y1y2=﹣ 将② 代入① ,整理,得: |MN|= ,又|AB|= |y1﹣y2|= , ,|y1﹣y2|= ,②

设点 O 到直线 AB,l 的距离分别为 d1,d2,

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www.jyeoo.com 则 ,d2=2,



|AB|d1=



|MN|d2=



∴ λ=

=2?|

|=2|1+

|,

∵ m∈[ ,

],∴ λ∈[6,10],

∴ λ 的取值范围是[6,10]. 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想、等价 转化思想的合理运用. 22. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=b 且 an=2an﹣1+ (Ⅰ )若 b=﹣ ,求 a2,a3,a4; (Ⅱ )若{an}是递增数列,求实数 b 的取值范围; * (Ⅲ )若?n∈N ,Sn≥S2 恒成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )根据 b 的值和递推公式,依次求出 a2,a3,a4;
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(n>1,n∈N )

*

(Ⅱ )根据递推公式的特点,两边同乘以 2 进行变形后构造数列

n

,代入式子得:bn=4bn﹣1+1,

再设 bn+k=4(bn﹣1+k) ,利用待定系数法求出 k 的值,构造新的等比数列{bn+ },利用等比数列,的通项公 式求出 bn,再求出 an 的表达式,利用条件得:an+1﹣an>0 对任意 n∈N 恒成立,代入后化简求出 b 的取值 范围; (Ⅲ )由(Ⅱ )求出的 an,利用分组求和法和等比数列的前 n 项和公式求出 Sn 的表达式,再化简出 Sn﹣S2 的表达式并分离 b,再对 n 进行分类讨论,利用恒成立求出最值方法求出对应的 b 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ )由 b=﹣ ,a1=b 且 an=2an﹣1+ =0, (Ⅱ )由 an=2an﹣1+ 令 得, (n>1,n∈N )得, = , , = ;
* *

,则 b1=2a1=b,bn=4bn﹣1+1,

设 bn+k=4(bn﹣1+k) ,得 bn=4bn﹣1+3k, 解得 k= ,即

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www.jyeoo.com ∴ 数列{bn+ }是以 2b+ 为首项、4 为公比的等比数列, ∴ 故 ∴ ,则 , ,
*



∵ {an}是递增数列,∴ an+1﹣an>0 对任意 n∈N 恒成立, 则 an+1﹣an= = ∴ 又∵ ∴ <0, ,解得 b , , >0, 对任意 n∈N 恒成立,
*

﹣(



(Ⅲ )由(Ⅱ )得,

∴ Sn=

= ∵ ?n∈N ,Sn≥S2 恒成立, ∴
*



恒成立,



恒成立,

当 n≥3 时,由

得,

= 化简得 只要 =
n

, = 即可,

当 n=2 时,2 ﹣4=0≥

=0,成立,

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www.jyeoo.com 当 n=1 时, 为﹣2b ,即 b ,

综上所述:实数 b 的取值范围是



点评: 本题考查了等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式,递推公式的转化和应用,以及分组法求数列的前 n 项和,构造法求数列的通项公式,分离法求参数的值,考查了分类讨论思想、转化思想和恒成立问题,难 度较大,需要很强的逻辑思维能力和计算化简能力.

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