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二次方程根的分布2012年11月修订版本(完整版)


一元二次方程根的分布理论
1、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,方程
2

的根即为二次函数图象与 x 轴的交点的横坐标,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一:两根与 0 的大小比较即根的正负情况
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? f ?0? ? 0 ?

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2a ? ? f ?0? ? 0 ?

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?0 ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0 ?
第 1 页(共 6 页)

a ? f ?0? ? 0



.表二:两根与

k 的大小比较
一个根小于 k ,一个大于 k 即

分 布 情 况

两根都小于 k 即

两根都大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k k k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? f ?k ? ? 0 ?

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0 ?

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2a ? ?a ? f ? k ? ? 0 ?

a ? f ?k ? ? 0



第 2 页(共 6 页)

表三:根在区间上的分布
分 布 情 况
两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

两根都在 ?m, n? 内

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0 *

? f ? m? ? 0 ? ? ? f ? n? ? 0 ? f ? m? f ? n? ? 0 或? ? ? ? f ? p? ? 0 ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?
? △>0 ?af (m)>0 ? ? af (n)>0 ? b ?m< ? <n 2a ?

f ?m? ? f ?n? ? 0 *

? f ? m? ? 0 ? ? ? f ? n? ? 0 ? f ? m? f ? n? ? 0 或? ? ? ? f ? p? ? 0 ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

f ?m? ? f ?n? ? 0 *

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0 ?

a



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注:1、根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形 分别如下)需满足的条件是:

(1) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ; ? f ? n? ? 0 ?
2

(2) a ? 0 时, ?

? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0 ?

注:2、根据韦达定理,一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 根的零分布为:

? ?△? b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? 2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有两个负实根 x1 , x2 的充要条件是 ? x1 ? x2 ? ? <0 , a ? c ? x x ? >0 ? 1 2 a ? ? ?△? b 2 ? 4ac ? 0 ? b ? 2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有两个正实根 x1 , x2 的充要条件是 ? x1 ? x2 ? ? >0 , a ? c ? x x ? >0 ? 1 2 a ? c 2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 有一正一负两个实根 x1 , x2 的充要条件是 x1 x2 ? ? <0 a
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: *(1)两根有且仅有一根在 ?m, n? 内有以下特殊情况:

1? 若 f ? m? ? 0 或 f ? n? ? 0 ,则此时 f ? m??f ? n ? ? 0 不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为 m
或 n , 可 以 求 出 另 外 一 根 , 然 后 可 以 根 据 另 一 根 在 区 间 ?m, n? 内 , 从 而 可 以 求 出 参 数 的 值 ; 如 方 程

mx2 ? ? m?2? x?2 ? 0在区间 ?1,3? 上有一根,因为 f ?1? ? 0 ,所以 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? ,另
一根为

2 2 2 ,由 1 ? ? 3 得 ? m ? 2 即为所求; m m 3

2? 二次方程有两个相等的实根,且这个根在区间 ?m, n? 内,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值,然后再将参
数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数.如方程

x2 ? 4 mx ? 2 m? 6 ? 0有 且 一 根 在 区 间 ? ?3,0? 内 , 求 m 的 取 值 范 围 . 分 析 : ① 由 f ? ?3??f ? 0? ? 0 即
第 4 页(共 6 页)

?14m ?15?? m ? 3? ? 0 得 出 ?3 ? m ? ? 14 ; ② 由 ? ? 0 即 16m2 ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得 出 m ? ?1 或 m ? 2 , 当
m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ,即 m ? ?1 满足题意;当 m ?
综上分析,得出 ?3 ? m ? ?

15

3

3 3 时,根 x ? 3 ? ? ?3,0? ,故 m ? 不满足题意; 2 2

15 或 m ? ?1 . 14

2、一元二次方程根的分布理论练习题
1、已知二次方程 ? 2m ?1? x2 ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围.

2、已知方程 2x ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围.
2

3、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求实
2

数 m 的取值范围.

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4、已知关于 x 的方程 mx2 ? (2m ? 3) x ? 2 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1,求实数 m 的取值范围.

5、已知关于 x 的方程 (m ? 2) x 2 ? 2 x ? 2m ? 1 ? 0 至少有一个根在区间(1, 2)内,求实数 m 的取值范围.

6、已知关于 x 的方程 x 2 ? 2 x ? a 2 ?1 ? 0 有四个不同的实数解,求实数 a 的取值范围.

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