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3.1.5


3.1.5 空间向量运算的坐标表示

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第三章 空间向量与立体几何

栏目导引

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第三章 空间向量与立体几何

栏目导引

1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点

坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或 垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运 用这些知识解决一些相关问题.

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第三章 空间向量与立体几何

栏目导引

1.空间向量的坐标运算.(重点)
2.利用空间向量的坐标运算解决直线、平面间的位置关系,

夹角、模的问题.(难点)
3.异面直线的夹角与向量的夹角.(易混点)

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第三章 空间向量与立体几何

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第三章 空间向量与立体几何

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1.设平面向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥b? a1b1+

a2b2=0 ,a∥b(b≠0)?a=λb?

a1b2-a2b1=0 .

2.设i,j,k为单位正交基底,试写出下列各题中向量的坐

标.
(1)4i+3j+6k;(2)-i+3j-5k;(3)4i+5k;(4)8j.
a1b1+a2b2 a2+a2· b2+b2 2 1 2 3. a=(a1, 2), 若 a b=(b1, 2), cos b 则 〈a, = 1 b〉 ,
|a|=
2 a2+a2 1

.

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第三章 空间向量与立体几何

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4.一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的 路, 抢修队员紧急赶到, 从三个方向拉动巨石, → → → → 这三个力为F1 ,F2 ,F3 ,它们两两垂直,且|F1 → → |=3 000N,|F2 |=2 000N,|F3 |=2 000 3N. 问它们的合力有多大?

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第三章 空间向量与立体几何

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1.空间向量运算的坐标表示 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量运算 a+b a-b λa a·b
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坐标表示 (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3
第三章 空间向量与立体几何

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向量运算 a∥b a⊥b |a| cos〈a,b〉

坐标表示 a1=λb1, 2=λb2, 3=λb3 a a a1b1+a2b2+a3b3=0 a2+a2+a2 1 2 3 a1b1+a2b2+a3b3 2 2 a2+a2+a2 b2+b2+b2 1 3 1 3

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第三章 空间向量与立体几何

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2.空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), 则 → (1)AB=

(a2-a1,b2-b1,c2-c1)

; .

→ (2)dAB=|AB|=

?a2-a1?2+?b2-b1?2+?c2-c1?2

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第三章 空间向量与立体几何

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1. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 已知点 A 的坐标为(-1,2,1), 点 B 的坐标为(1,3,4),则( → A.AB=(-1,2,1) C.A→=(2,1,3) B
解析:

) B.A→=(1,3,4) B D.A→=(-2,-1,-3) B

A→=(1-(-1),3-2,4-1)=(2,1,3). B

答案: C

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2.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于(
A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)

)

C.(-2,0,-2)
解析: b=(a+b)-a

D.(2,1,-3)

=(-1,2,-1)-(1,-2,1) =(-1-1,2-(-2),-1-1) =(-2,4,-2). 答案: B

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第三章 空间向量与立体几何

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3.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则
x=________,y=________.
解析: a+2b=(1+2x,4,-y+4),

2a-b=(2-x,3,-2y-2) ∵(a+2b)∥(2a-b) 1+2x 4 -y+4 ∴ =3= , 2-x -2y-2 1 解得 x=2,y=-4.

1 答案: 2 -4
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第三章 空间向量与立体几何

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4.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),若|a|= → → 3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标.
解析: 设a=(x,y,z), 因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), → → 所以AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),

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第三章 空间向量与立体几何

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→ → 又因为a⊥AB,a⊥AC,且|a|= 3, ?-2x-y+3z=0, ? 所以?x-3y+2z=0, ?x2+y2+z2=3. ? ?x=1, ? 解得?y=1, ?z=1, ? ?x=-1, ? 或?y=-1, ?z=-1. ?

所以a=(1,1,1)或(-1,-1,-1).

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第三章 空间向量与立体几何

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第三章 空间向量与立体几何

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已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4), → → → → → AC → (1)求AB+AC,AB-AC,AB· . → → (2)求AB,AC夹角的余弦值. → → → (3)问是否存在实数x,y,使得AC =xAB +yBC 成立,若存 在,求出x,y的值.

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第三章 空间向量与立体几何

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由题目可获取以下主要信息: ①A、B、C 三点坐标已知; ②向量运算的坐标表示; → → 解答本题可先求出AB,AC的坐标,再利用运算性质求解.

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第三章 空间向量与立体几何

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[解题过程]

→ → AB=(1,1,0),AC=(-1,0,2)

→ → (1)AB+AC=(1,1,0)+(-1,0,2) =(1-1,1+0,0+2) =(0,1,2) → → AB-AC=(1,1,0)-(-1,0,2) =(1-(-1),1-0,0-2) =(2,1,-2) → AC → AB· =(1,1,0)· (-1,0,2) =1×(-1)+1×0+0×2=-1
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第三章 空间向量与立体几何

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→ AC → AB· → → (2)cos〈AB,AC〉= → |AC |AB|·→ | -1 10 = 2 2 2 2 2 2=- 10 1 +1 +0 · ?-1? +0 +2 (3)假设存在 x、y∈R 满足条件,则由已知可得 → BC=(-2,-1,2). (-1,0,2)=x(1,1,0)+y(-2,-1,2) ∴(-1,0,2)=(x-2y,x-y,2y) ?-1=x-2y ? ∴?0=x-y ?2=2y ?
?x=1 ? ∴? ?y=1 ?

∴存在实数 x=1,y=1 使得结论成立.
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第三章 空间向量与立体几何

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[题后感悟]

首先将空间向量用坐标表示出来,然后灵活运

用空间向量坐标运算公式,对于由条件求向量的问题,可先把 向量用坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程的方法 求出其坐标.

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第三章 空间向量与立体几何

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1.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2) → → → → → BC → (1)求AC+BC,AB-AC,AB· ; → → (2)求AC,BC夹角的余弦值; → → → (3)是否存在实数x,y,使AC =xAB +yBC 成立,若存在, 求x,y的值.

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第三章 空间向量与立体几何

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解析:

→ → → AC=(-1,0,2),BC=(0,-1,2),AB=(-1,1,0)

→ → (1)AC+BC=(-1,0,2)+(0,-1,2) =(-1+0,0+(-1),2+2) =(-1,-1,4) → → AB-AC=(-1,1,0)-(-1,0,2) =(-1-1-1,1-0,0-2) =(0,1,-2) → BC → AB· =(-1,1,0)· (0,-1,2) =-1×0+1×(-1)+0×2 =-1
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第三章 空间向量与立体几何

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→ BC → AC· → → (2)cos〈AC,BC〉= |AC→·→ | | |BC ?-1,0,2?· ?0,-1,2? 4 = 2 2 2 2 2 2=5 ?-1? +0 +2 · 0 +?-1? +2 (3)假设存在x,y∈R满足条件,则由已知可得 (-1,0,2)=x(-1,1,0)+y(0,-1,2) 即(-1,0,2)=(-x,x,0)+(0,-y,2y) =(-x,x-y,2y) ?-1=-x ? ∴?0=x-y ?2=2y ?
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?x=1 ? ∴? ?y=1 ?

∴存在实数x=1,y=1使得结论成立.
第三章 空间向量与立体几何

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已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 → → a=AB,b=AC. → (1)设|c|=3,c∥BC,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.

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第三章 空间向量与立体几何

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→ (1) 根据c与B→共线,设c=λBC → 根据模列出关系式 C → 求λ (2) 写出ka+b,ka-2b的坐标 → 利用垂直列关系式 → 求k

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[规范作答]

→ → (1)∵BC=(-2,-1,2),且c∥BC,

→ ∴设c=λBC=(-2λ,-λ,2λ).2分 ∴|c|= ?-2λ?2+?-λ?2+?2λ?2=3|λ|=3.4分 解得λ=± 1. ∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).6分

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第三章 空间向量与立体几何

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→ → (2)∵a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).8分 ∵(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(ka+b)· (ka-2b)=0.10分 即(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=2k2+k-10=0. 5 解得k=2或=-2.12分

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第三章 空间向量与立体几何

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[题后感悟] 向量平行与垂直问题主要有两种题型:

(1)平行与垂直的判断;
(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应

用,解题时要注意:
①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关 于参数的方程; ②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.

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第三章 空间向量与立体几何

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2.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求k的值; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求k的值.

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第三章 空间向量与立体几何

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解析:

ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),

a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16). (1)∵(ka+b)∥(a-3b), k-2 5k+3 -k+5 ∴ 7 = = , -4 -16 1 解得 k=- . 3 (2)∵(ka+b)⊥(a-3b), ∴(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0, 106 解得 k= 3 .
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第三章 空间向量与立体几何

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棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G 是 DD1、BD、BB1 的中点. (1)求证:EF⊥CF; (2)求 E→与 C→所成角的余弦值; F G (3)求 CE 的长.

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第三章 空间向量与立体几何

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[解题过程] 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 则
? 1? D(0,0,0),E?0,0,2?,C(0,1,0), ? ? ?1 1 ? ? 1? F?2,2,0?,G?1,1,2?. ? ? ? ? ? ? → =?1,1,-1?, ∴EF 2 2 2 ? ? ? ? → =?1,-1,0?, CF 2 2 ? ? ? ? ? ? → =?1,0,1?,CE=?0,-1,1?. → CG 2 2 ? ? ? ?

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1 1 1 ? 1? ? 1? → CF → (1)证明:∵EF· =2×2+2×?-2?+?-2?×0=0, ? ? ? ? → → ∴EF⊥CF,即EF⊥CF.
? 1? 1 1 1 1 → CG → (2)∵EF· =2×1+2×0+?-2?×2=4, ? ?

→ |EF|= → |CG|=

?1? ?1? ? 1? 2 2 ? ? +? ? +?- ?2= ?2? ?2? ? 2?

3 2,

1 +0

2

2

?1? +?2?2= ? ?

5 , 2 1 4

→ CG → EF· 15 → ,CG〉= → ∴cos〈EF = = . → ||CG| → 3 5 15 |EF 2×2 → (3)|CE|=
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0 +?-1?

2

2

?1? +?2?2= ? ?

5 . 2
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第三章 空间向量与立体几何

[题后感悟] 两向量的夹角 θ∈[0,π],而两异面直线所成 角
? π? α∈?0,2?,要注意区分,向量的坐标运算为解决线段长度及 ? ?

两直线垂直等问题提供了有力而方便的工具,以后遇到几何体 中的夹角、距离、垂直、平行问题时,要学会将其转化为向量 间的夹角、模、垂直、平行问题,利用向量方法解决.

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3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA =CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的 中点. (1)求BN的长; (2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值.

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解析: 如下图所示,以 C 为原点建立空间直角坐标系.

(1)依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1). → ∴|BN|= ?1-0?2+?0-1?2+?1-0?2= 3, ∴BN 的长为 3.
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(2)依题意得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2), → → ∴BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2), → CB → ∴BA1· 1=3. → → 又∵|BA1|= 6,|CB1|= 5, → CB → BA1· 1 30 →1,CB1〉= → ∴cos〈BA = . 10 → → |BA1||CB1| 30 ∴异面直线 BA1 与 CB1 所成角的余弦值为 10 .

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1.如何确定向量的坐标?
(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,可先求其两端 点的坐标; (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标; (3)给出条件求向量的问题,可先设出向量的坐标,然后通 过建立方程组,解方程组求其坐标.

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2.如何利用向量坐标处理空间中的平行与垂直?
(1)向量化:即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与

平行;
(2)向量关系代数化:即写出向量的坐标; (3)求解:利用向量的坐标运算列出关系式求解.

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[提醒] ?a1=λb1 ? ??a2=λb2 ?a =λb ? 3 3

设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a∥b(b≠0) a1 a2 a3 ,这一形式不能等价于b =b =b ,只有在 b 与三 1 2 3

个坐标轴均不平行时才能这样写,比如,当 b 与坐标平面 xOy a3 平行时,b3=0,此时b 无意义. 3

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◎已知向量

? 2? a=(5,3,1),b=?-2,t,-5?,若 ? ?

a 与 b 的夹

角为钝角,求实数 t 的取值范围.

【错解】 由已知

? 2? 52 a· b=5×(-2)+3t+1×?-5?=3t- , 5 ? ?

因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a· b<0, 52 52 即 3t- <0,所以 t< . 5 15

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【错因】

a,b的夹角为钝角与a·b<0并不等价,a·b<0中

包含着〈a,b〉=180°的情形,〈a,b〉=180°的情形可利 用a=λb(λ<0),也可利用a·b=-|a|·|b|,即cos〈a,b〉=-1求 得, 同样a·b>0也包含着〈a,b〉=0°的情形,解题时应把这 种情况剔除.
【正解】 由已知
? 2? 52 ?- ?=3t- , a· b=5×(-2)+3t+1× 5 5 ? ?

因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a· b<0, 52 52 即 3t- 5 <0,所以 t<15.

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若 a 与 b 的夹角为 180° , 则存在 λ<0,使 a=λb(λ<0),
? 2? 即(5,3,1)=λ?-2,t,-5?, ? ?

?5=λ?-2?, ? ?3=λt, 所以? ? 2? ? ?1=λ?-5? ? ? ? 故t

6 所以 t=- , 5

? 6? ? 6 52? 的取值范围是?-∞,-5?∪?-5,15?. ? ? ? ?

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练考题、验能力、轻巧夺冠
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