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01.3.1.2 用二分法求方程的近似解


3.1.2 用二分法求 方程的近似解 复习思考: 1.函数的零点 ? 使 f(x)=0的实数 x叫做函数 y=f(x)的零点 方程 f ( x ) ? 0有实数根 2.零点存在的判定 如果函数 (x 在区间 [a ,b]上的图象是 ? 函数yy= ?f f ()x )的图象与 x轴有交点 3.方程实数根个数的求法 连续不断的一条曲线,并且有 ? 函数y ? f ( x )有零点f (a )f (b) ? 0 , 1.代数法:求方程的根,得出函数的零点。 那么,函数 y ? f (x )在区间(a ,b)内有零点, 2.几何法:作图,找出函数图象和 x 轴的 交点的横坐标。 即存在 c ? (a ,b),使得f (c )=0,这个c也就是 方程f (x )=0的根. 问题: 现有16枚金币,其中1枚较轻。给你一个天 平,问至少需要称几次,才能一定找出这枚较 轻的金币? 16枚金币中有 一枚略轻,是假 币 我在这里 我在这里 我在这里 哦,找到 了啊! 这个小实验,就是用二分法缩小零点所在 的范围并求出零点的思想的应用。 思考问题: 判断所给方程的实数根个数并求出实数根 (1) x ? 2 x ? 6 ? 0 2 (2) 2 ? 3 x ? 7 x 借助计算器或计算机求方程2 +3x=7的近似解 (精确度0.1) 解:原方程即2 +3x=7,令 f(x)= 2 +3x-7,用计 算器作出函数 f(x)= 2x+3x-7的对应值表如下: x x x x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 因为 f(1)· f(2)<0 x 所以 f(x)= 2 +3x-7在(1,2)内有零点 因为 f(1)· f(2)<0所以 f(x)= 2 +3x-7在(1,2) 内有零点 x0, 取(1,2)的中点 x1=1.5, f(1.5)= 0.33, 因为 f(1)· f(1.5)<0所以 x0 ∈(1,1.5) 取(1,1.5)的中点 x2=1.25 , f(1.25)= -0.87, 因为 f(1.25)· f(1.5)<0,所以 x0∈(1.25,1.5) 同理可得, x0∈(1.375,1.5), x0∈ (1.375,1.4375), 由于|1.375-1.4375|=0.0625< 0.1 所以,原方程的近似解可取为1.4375 x 二分法概念 y a 对于在区间[a,b]上连续不断, 0 b x 且满足 f(a)· f(b)<0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得 到零点近似值的方法叫做二分法. 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 1、确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度ε; 2、求区间(a,b)的中点 x1, 3、计算 f(x1) (1)若 f(x1)=0,则 x1就是函数的零点; (2)若 f(a)· f(x1)<0,则令b= x1(此时零点 x0∈(a, x1) ); (3)若 f(x1)· f(b)<0,则令a= x1(此时零点 x0∈( x1,b)); 4、判断是否达到精确度 ε,即若 |a-b|< ε,则得 到零点近似值 a(或b),否则重复2~4 口 诀 定区间,找中点,中值计算两边看. 同号去,异号算,零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断. 思考 应用 1.用二

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