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2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷


高一(上)第一次段考数学试卷

一、选择题(将选择题的答案填入下面的表格.本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. ) 1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A.佛冈中学高一班的全体男生 B.佛冈中学全校学生家长的全体 C.李明的所有家人 D.王明的所有好朋友 2.已知集合 A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>1}那么 A∩B 等于( A.{1,2,3,4,5} B.{2,3,4,5} C.{2,3,4} ) D.{x∈R|1<x≤5}

3.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中 的阴影部分表示的集合为( )

A.{2}

B.{4,6} )

C.{1,3,5}

D.{4,6,7,8}

4.下列四组函数中表示同一函数的是( A.f(x)=x, C. ,g(x)=|x|
2

B.f(x)=x ,g(x)=(x+1) D.f(x)=0,

2

2

5.函数 f(x)=2x ﹣1,x∈(0,3) .若 f(a)=7,则 a 的值是( A.1 B.﹣1 C .2

) D.±2

6. A.3 B.1 C .0 )

=(

) D.﹣1

7.下列四个图象中,不是函数图象的是(

A.

B.

C.

D.

8.函数 y=x ﹣6x+7 的值域是( ) A.{y|y<﹣2} B.{y|y>﹣2}

2

C.{y|y≥﹣2}

D.{y|y≤﹣2} )

9.若奇函数 f(x)在[2,4]上为增函数,且有最小值 0,则它在[﹣4,﹣2]上( A.是减函数,有最小值 0 B.是增函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0 D.是增函数,有最大值 0 10.若 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣x +x,则当 x<0 时,f(x)=( 2 2 2 2 A.﹣x ﹣x B.x ﹣x C.x +x D.﹣x +x
2

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.设 A={4,a},B={2,ab},若 A=B,则 a+b=__________.

12.函数
2

的定义域为__________.

13. 函数 f (x) =x +2ax+1 在区间 (﹣∞, 2]上为减函数, 则实数 a 的取值范围是__________.

14.设 0<a<1,使不等式 a

>a

成立的 x 的集合是__________.

三、解答题(44 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 15.已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求:A∪B, (?RA)∩B. 16.化简下列各式的(式中字母均为正数) (1) ;

(2)

(结果为分数指数幂) .

17.已知函数 f(x)=



(1)证明:函数在区间(1,+∞)上为减函数; (2)求函数在区间[2,4]上的最值.

18.已知函 f(x)=|x﹣1|+1 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.

19.如图,已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7cm,腰长为 ,当一条 垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出左边部分的面积 y 与 x 的函数.

高一(上)第一次段考数学试卷
一、选择题(将选择题的答案填入下面的表格.本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. ) 1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A.佛冈中学高一班的全体男生 B.佛冈中学全校学生家长的全体 C.李明的所有家人 D.王明的所有好朋友 考点:集合的确定性、互异性、无序性. 专题:证明题. 分析:分析四个答案中所列的对象是否满足集合元素的确定性和互异性,即可得到答案. 解答: 解:A 中,佛冈中学高一班的全体男生,满足集合元素的确定性和互异性,故可以 构造集合; B 中,佛冈中学全校学生家长的全体,满足集合元素的确定性和互异性,故可以构造集合; C 中,李明的所有家人,满足集合元素的确定性和互异性,故可以构造集合; D 中,王明的所有好朋友,不满足集合元素的确定性,故不可以构造集合; 故选 D 点评: 本题以判断对象能否构成集合为载体考查了集合元素的性质, 熟练掌握集合元素的确 定性和互异性,是解答的关键. 2.已知集合 A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>1}那么 A∩B 等于( ) A.{1,2,3,4,5} B.{2,3,4,5} C.{2,3,4} D.{x∈R|1<x≤5} 考点:交集及其运算. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用交集的定义,求出两个集合的交集. 解答: 解:∵A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>1}, ∴A∩B={x∈R|1<x≤5} 故选 D 点评:在求集合的运算时常借助的工具是数轴;注意集合的运算结果一定也是集合形式. 3.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则图中 的阴影部分表示的集合为( )

A.{2}

B.{4,6}

C.{1,3,5}

D.{4,6,7,8}

考点:Venn 图表达集合的关系及运算.

分析:由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUA)∩B,根据集合的运算求解即可. 解答: 解:全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6}, 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUA)∩B, ∵CUA={4,6,7,8}, ∴(CUA)∩B={4,6}. 故选 B. 点评:本题考查集合的基本运算和韦恩图,属基本题. 4.下列四组函数中表示同一函数的是( A.f(x)=x, C. ,g(x)=|x| ) B.f(x)=x ,g(x)=(x+1) D.f(x)=0,
2 2

考点:判断两个函数是否为同一函数. 专题:计算题. 分析:根据两个函数是同一个函数的定义,函数的三要素均相等,或两个函数的图象一致, 根据函数的定义域与函数的解析式一致时, 函数的值域一定相同, 我们逐一分析四个答案中 两个函数的定义域和解析式是否一致,即可得到答案. 解答: 解:∵y=x(x∈R)与 ∴A 中两个函数不表示同一函数; ∵f(x)=x ,g(x)=(x+1) 两个函数的对应法则不一致, ∴B 中两个函数不表示同一函数; ∵f(x)=|x|与 g(x)= =|x|,且两个函数的定义域均为 R
2 2

(x≥0)两个函数的定义域不一致,

∴C 中两个函数表示同一函数; f(x)=0, =0(x=1)两个函数的定义域不一致,

∴D 中两个函数不表示同一函数; 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数, 熟练掌握判断两个函数是否为同 一函数的方法,正确理解两个函数表示同一函数的概念是解答本题的关键. 5.函数 f(x)=2x ﹣1,x∈(0,3) .若 f(a)=7,则 a 的值是( A.1 B.﹣1 C .2 D.±2
2

)

考点:二次函数的性质;函数的值域. 专题:计算题. 分析:由已知中函数的解析式,将 f(x)=7 代入构造 a 的方程,解方程可得答案. 2 解答: 解:∵f(x)=2x ﹣1,x∈(0,3) . 又∵f(a)=7, 2 即 2a ﹣1=7, 2 即 a =4

解得 a=﹣2(舍去) ,或 a=2. 故选 C. 点评:本题考查的知识点是二次函数的性质、函数的值等知识,熟练掌握二次函数的图象和 性质,是解答本题的关键.

6. A.3 B.1 C .0

=(

) D.﹣1

考点:函数的值;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题:计算题. 分析:由 f(x)= ,知 f[f(﹣1)]=f(1) ,由此能够求出结果.

解答: 解:∵f(x)=



∴f[f(﹣1)]=f(1)=1+2=3. 故选 A. 点评:本题考查函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意分段函数的 性质和应用. 7.下列四个图象中,不是函数图象的是( )

A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象. 专题:规律型;函数的性质及应用. 分析:根据函数的定义,在 y 是 x 的函数中,x 确定一个值,y 就随之确定唯一一个值,体 现在函数的图象上的特征是, 图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点, 从而对照选项 即可得出答案. 解答: 解:根据函数的定义知:y 是 x 的函数中,x 确定一个值,y 就随之确定一个值, 体现在图象上,图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点, 对照选项,可知只有 B 不符合此条件. 故选 B. 点评:本题考查函数的图象,正确理解函数的定义是关键. 8.函数 y=x ﹣6x+7 的值域是( ) A.{y|y<﹣2} B.{y|y>﹣2}
2

C.{y|y≥﹣2}

D.{y|y≤﹣2}

考点:函数的值域. 分析:直接将二次函数的解析式配方,从而求出函数的值域. 解答: 解:∵y=x ﹣6x+7=(x﹣3) ﹣2≥﹣2, 故选:C. 点评:本题考查了函数的值域问题,二次函数的性质,是一道基础题. 9.若奇函数 f(x)在[2,4]上为增函数,且有最小值 0,则它在[﹣4,﹣2]上( A.是减函数,有最小值 0 B.是增函数,有最小值 0 C.是减函数,有最大值 0 D.是增函数,有最大值 0 )
2 2

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:根据题意得任意的 x∈[2,4],有 f(x)≥f(2)恒成立,从而对 x∈[﹣4,﹣2]都有 f (﹣x)≥f(2)恒成立,由函数为奇函数得对任意的 x∈[﹣4,﹣2]有 f(x)≤f(﹣2)=0 恒 成立.由此可得答案. 解答: 解:∵奇函数 y=f(x)在区间[2,4]上是增函数,∴f(x)在区间[﹣4,﹣2]上也 是增函数 ∵函数 y=f(x)在区间[2,4]上是增函数,有最小值 0, ∴当 2≤x≤4 时,[f(x)]min=f(2)=0, 即任意的 x∈[2,4],f(x)≥f(2)恒成立. 又∵x∈[﹣4,﹣2]时,﹣x∈[2,4],得 f(﹣x)≥f(2)恒成立, ∴根据函数为奇函数,得﹣f(x)≥f(2)即 f(x)≤f(﹣2) , ∵f(﹣2)=﹣f(2)=0, ∴对任意的 x∈ [﹣4,﹣2],f(x)≤f(﹣2)=0 恒成立, 因此,f(x)在区间[﹣4,﹣2]上为增函数且有最大值 f(﹣2)=0. 故选:D 点评: 本题给出函数在某个区间上的奇偶性与单调性, 求它在关于原点对称区间上的单调性 与最值.着重考查了函数的奇偶性和单调性及其相互关系等知识,属于中档题. 10.若 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=﹣x +x,则当 x<0 时,f(x)=( 2 2 2 2 A.﹣x ﹣x B.x ﹣x C.x +x D.﹣x +x
2

)

考点:函数奇偶性的性质. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:当 x<0 时,﹣x>0,运用已知的解析式,再由奇函数的定义,即可得到所求的解析 式. 解答: 解:当 x<0 时,﹣x>0,则 2 由当 x>0 时,f(x)=﹣x +x, 2 即有 f(﹣x)=﹣x ﹣x, 又 f(x)为奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x) , 2 则有 f(x)=x +x, (x>0) . 故选 C. 点评:本题考查函数的奇偶性及运用:求解析式,考查运算能力,属于基础题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.设 A={4,a},B={2,ab},若 A=B,则 a+b=4. 考点:集合的相等. 专题:集合. 分析:利用集合相等,集合元素相同解答. 解答: 解:因为 A={4,a},B={2,ab},A=B, 所以 ,解得 a=2,b=2,

所以 a+b=4; 故答案为:4 点评:本题考查了集合的相等,如果两个集合相等,那么两个集合元素完全相同.

12.函数

的定义域为[﹣1,0)∪(0,+∞) .

考点:函数的定义域及其求法. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:直接利用分式的分母不为 0,无理式大于等于 0,求解即可得到函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,必须 ,解得 x∈[﹣1,0)∪(0,+∞) .

函数的定义域为:[﹣1,0)∪(0,+∞) . 故答案为:[﹣1,0)∪(0,+∞) . 点评:本题考查函数的定义域的求法,考查计算能力. 13.函数 f(x)=x +2ax+1 在区间(﹣∞,2]上为减函数,则实数 a 的取值范围是(﹣∞, ﹣2]. 考点:二次函数的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:结合二次函数的图象与性质以及 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,可得 a 的取值 范围. 2 解答: 解:∵二次函数 f(x)=x +2ax+1 的图象是抛物线,开口向上,对称轴是 x=﹣a; 且 f(x)在区间(﹣∞,2]上为减函数, ∴﹣a≥2, 即 a≤﹣2, ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2]; 故答案为: (﹣∞,﹣2]. 点评:本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题,是基础题.
2

14.设 0<a<1,使不等式 a

>a

成立的 x 的集合是(﹣∞,4) .

考点:指数函数的图像与性质.

专题:函数的性质及应用. 分析:先根据 0<a<1,得到 y=a 为减函数,再根据指数函数的单调性得到 x ﹣2x+1<x ﹣3x+5,解得即可 解答: 解:∵0<a<1, x ∴y=a 为减函数, ∵a
2 x 2 2

>a
2



∴x ﹣2x+1<x ﹣3x+5, 解得 x<4, 故答案为: (﹣∞,4) 点评:本题主要考查了指数函数的性质和不等式的解法,属于基础题. 三、解答题(44 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 15.已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求:A∪B, (?RA)∩B. 考点:补集及其运算;并集及其运算;交集及其运算. 专题:计算题. 分析:根据并集的定义,由集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求出 A 与 B 的并集即可; 先根据全集 R 和集合 A 求出集合 A 的补集,然后求出 A 补集与 B 的交集即可. 解答: 解:由集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}, 把两集合表示在数轴上如图所示:

得到 A∪B={x|2<x<10}; 根据全集为 R,得到 CRA={x|x<3 或 x≥7};

则(CRA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}. 点评:此题考查了补集、交集及并集的混合运算,是一道基础题.学生在求补集时应注意全 集的范围以及端点的取舍. 16.化简下列各式的(式中字母均为正数) (1) ;

(2) 考点:有理数指数幂的化简求值. 专题:计算题. 分析: (1)将根式化为指数式进行运算即可, (2)根据指数幂的运算性质进行化简即可得出.

(结果为分数指数幂) .

解答: 解: (1)



(2)

=﹣2

=

点评:本题考查根式与指数式的转化,分数指数幂的运算性质,基本运算题. 17.已知函数 f(x)= .

(1)证明:函数在区间(1,+∞)上为减函数; (2)求函数在区间[2,4]上的最值.

考点:函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质;函数的最值及其几何意义. 专题:计算题;证明题;函数的性质及应用. 分析: (1)运用单调性的定义证明,注意取值、作差、变形、定符号和下结论几个步骤; (2)运用(1)的结论,即可得到最值. 解答: (1)证明:设 1<m<n,则 f(m)﹣f(n)= =

由于 1<m<n,则 n﹣m>0,m﹣1>0,n﹣1>0, 则 f(m)﹣f(n)>0, 则函数 f(x)在区间(1,+∞)上为减函数; (2)解:由(1)可得,f(x)在区间[2,4]上递减, 则 f(2)取得最大,且为 2,f(4)取最小,且为﹣ . 点评:本题考查函数的单调性的证明和运用:求最值,考查运算能力,属于基础题. 18.已知函 f(x)=|x﹣1|+1 (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域.

考点:函数的图象;函数的值域;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题:作图题;图表型. 分析: (1)先对原函数式中的绝对值内的式子进行分类讨论,将原函数式化成分段函数的形 式, (2)最后利用一次函数的图象即可画出函数的图象. (3)根据图象观察得出函数的值域. 解答: 解: (1)函数 f(x)=|x﹣1|+1 = 它的图象是两段射线组成. (2)函数 f(x)=|x﹣1|+1 的图象: 如图所示. (3)据图象,此函数有最小值 1, 从而写出该函数的值域是:[1,+∞) .

点评:本题主要考查了函数的图象、函数的值域,考查学生的画图能力等基本知识.属于基 础题.

19.如图,已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7cm,腰长为 ,当一条 垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出左边部分的面积 y 与 x 的函数.

考点:分段函数的应用. 专题:数形结合. 分析:直线 l 从左至右移动,分别于线段 BG、GH、HC 相交,与线段 BG 相交时,直线 l 左边的图形为三角形,与线段 GH 相交时,直线 l 左边的图形为三角形 ABG 与矩形 AEFG, 与线段 HC 相交时,直线 l 左边的图形的图形不规则,所以观察其右侧图形为三角形 CEF, 各段利用面积公式可求得 y. 解答: 解:过点 A,D 分别作 AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是 G,H. 因为 ABCD 是等腰梯形,底角为 45°, , 所以 BG=AG=DH=HC=2cm,又 BC=7cm,所以 AD=GH=3cm. (1)当点 F 在 BG 上时,即 x∈(0,2]时, ;

(2)当点 F 在 GH 上时,即 x∈(2,5]时,y=2+(x﹣2)?2=2x﹣2; (3)当点 F 在 HC 上时,即 x∈(5,7]时,y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD﹣ SRt△ CEF= .

所以,函数解析式为

(14 分)

点评:本题考查求分段函数的解析式,找到分段点,在各段找出已学过得的规则图形,化未 知为已知,结合图形,比较直观.用到转化,化归与数形结合的思想.


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