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高中数学(人教A版 选修2-2)Word版活页训练:1-4生活中的优化问题举例(Word有详解答案)


1.4

生活中的优化问题举例 ?限时20分钟?
).

双基达标
?l? A.?6?3π ? ? ?l? C.?4?3π ? ? ?l? B.?3?3π ? ? 1? l ? D.4?4?3π ? ?

1.如果圆柱截面的周长 l 为定值,则体积的最大值为(

解析 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,体积为 V,则 4r+2h=l, l-4r ∴h= 2 , l? l ? V=πr2h=2πr2-2πr3?0<r<4?. ? ? 则 V′=lπr-6πr2, l 令 V′=0,得 r=0 或 r=6,而 r>0, l ∴r=6是其唯一的极值点. l ?l? ∴当 r=6时,V 取得最大值,最大值为?6?3π. ? ? 答案 A 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为( A.2πr2 C.4πr B.πr2 1 D.2πr2 ).

解析 设内接圆柱的高为 h,底面半径为 x,则由组合体的知识得 h2+(2x)2=(2r)2,又圆柱 的侧面积 S=2πxh, ∴S2=16π2(r2x2-x4),(S2)′=16π2(2r2x-4x3), 2 令(S2)′=0 得 x= 2 r(x=0 舍去), ∴Smax=2πr2,故选 A. 答案 A 3.某公司生产一种产品, 固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元,

x3 ? ?- +400x,0≤x≤390, 若总收入 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? 900 ? ?90 090,x>390, 每年生产产品的单位数是

则当总利润最大时,

( A.150 B.200 C.250 D.300 解析 由题意得,总利润 x3 ? ?- +300x-20 000,0≤x≤390, P(x)=? 900 ? ?70 090-100x,x>390, 令 P′(x)=0,得 x=300,故选 D. 答案 D

).

4.有矩形铁板,其长为 6,宽为 4,现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形,将剩余部分 折成一个无盖的长方体盒子,要使容积最大,则 x=________. 解析 可列出 V=(6-2x)(4-2x)· x,求导求出 x 的最大值. 答案 5- 7 3

5.如图所示,某厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁, 其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________.

512 解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为 x 米,则长为 x 米, 512 512 因此新墙壁总长度 L=2x+ x (x>0),则 L′=2- x2 . 令 L′=0,得 x=± 16. ∵x>0,∴x=16. 512 当 x=16 时,Lmin=64,此时堆料场的长为 16 =32(米). 答案 32;16 6.如图所示,已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方 的曲线上,求这个矩形面积最大时的边长.



设矩形边长 AD=2x,则|AB|=y=4-x2,则矩形面积为 S=2x(4-x2)(0<x<2),即 S=8x 2 2 ,x2=- (舍去). 3 3

-2x3,S′=8-6x2,令 S′=0,解得 x1= 当 0<x< 2 2 时,S′>0;当 x> 时,S′<0, 3 3

所以当 x=

2 32 3 时,S 取得最大值,此时,S 最大值= 9 . 3

4 3 8 即矩形的边长分别为 3 ,3时,矩形的面积最大.

综合提高

?限时25分钟?
( ).

7.设底为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为

3 A. V 3 C. 4V

3 B. 2V 3 D.2 V

1 4V 解析 设底面边长为 x,侧棱长为 l,则 V=2x2· sin 60° · l,∴l= , 3x2 3 4 3V ∴S 表=2S 底+3S 侧=x2· sin 60° +3· x· l= 2 x2+ x , 4 3V 3 3 ? S′表= 3x- x2 .令 S′表=0,∴x3=4V,即 x= 4V.又当 x∈? ?0, 4V?时,S′表<0;当 ? 3 x∈? ? 4V,V?,S′表>0, 3 ∴当 x= 4V时,表面积最小. 答案 C 8.把长为 12 cm 的细铁丝截成两段,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之 和的最小值是( ).

3 A.2 3 cm2 C.3 2 cm2

B.4 cm2 D.2 3 cm2

解析 设一个正三角形的边长为 x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm,则这两个正 3 3 3 三角形的面积之和为 S= 4 x2+ 4 (4-x)2= 2 [(x-2)2+4]≥2 3(cm2),故选 D. 答案 D 9.在半径为 r 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上的高为________时它的面积最大. π 解析 如图,设∠OBC=θ,则 0<θ<2,

OD=rsin θ,BD=rcos θ. ∴S△ABC=rcos θ(r+rsin θ)=r2cos θ+r2sin θcos θ. 令 S′=-r2sin θ+r2(cos2θ-sin2θ)=0. ∴cos 2θ=sin θ. 1 π ∴1-2sin2θ=sin θ,解之 sin θ=2,0<θ<2. π π r 3r ∴θ=6,即当 θ=6时,△ABC 的面积最大,即高为 OA+OD=r+2= 2 时面积最大. 答案 3r 2

10 .做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径为 ________. 27 解析 设圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 V=πR2L=27π,∴L= R2,要使用料最省, 27 只须使圆柱表面积最小,由题意,S 表=πR2+2πRL=πR2+2π· R , 54π ∴S′(R)=2πR- R2 =0,∴R=3,则当 R=3 时,S 表最小. 答案 3 11.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的

桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥 面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因 素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解 lim (1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m,即 n= x -1.

所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x 256lim ?lim ? lim =256? x -1?+ x (2+ x)x= x +m x+2m-256. ? ? (2)由(1)知,f′(x)=- 256lim 1 1 lim 3 2 + mx- = 2(x -512). x 2 2 2x 2

3 令 f′(x)=0,得 x2=512,所以 x=64. 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当 64<x<640 时, f′(x)>0, f(x)在区间(64,640)内为增函数, 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值. lim 640 此时 n= x -1= 64 -1=9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 12.(创新拓展)如图所示,在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它 沿虚线折起,做成一个无盖的长方体箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大 容积是多少?



60-x 设箱子的底边长为 x cm,则箱子高 h= 2 cm.
2

60x2-x3 箱子容积 V=V(x)=x h= (0<x<60). 2 3 求 V(x)的导数,得 V′(x)=60x-2x2=0, 解得 x1=0(不合题意,舍去),x2=40.

当 x 在(0,60)内变化时,导数 V′(x)的正负如下表: x V′(x) (0,40) + 40 0 (40,60) -

因此在 x=40 处,函数 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是函数 V(x)的最大值. 将 x=40 代入 V(x) 60-40 得最大容积 V=402× 2 =16 000(cm3). 所以箱子底边长取 40 cm 时,容积最大, 最大容积为 16 000 cm3.


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