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【解析】山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理(A)


保密★启用前试卷类型:A

高三数学(理科)
2013.01 本试卷共 4 页,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再改 涂其它答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)全集 U=R,集合 A ? ?x | x ? 2 x ? 0?,则[UA=
2

(A) ?? 2,0? (C) ?? ?,?2? ? ?0,?? ? 【答案】B

(B) ?? 2,0 ? (D) ?0,2?

【解析】 A ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0? ? {x x ? 0或x ? ?2} ,所以 ? A ? {x ?2 ? x ? 0} ,选 B. U (2)已知 ? ? (? , ? ), cos ? ? ?
2 3 4 5 1 7 , 则 tan(

?
4 1 7

? ? ) 等于

(A)7 【答案】B

(B)

(C) ?

(D) ? 7

【 解 析 】 因 为 ? ? (? , ? ), cos ? ? ?
2

3

3 3 .所以 , 所 以 sin ? ? 0 , 即 sin ? ? ? , ? ? tan 5 5 4

4

tan(

?
4

?? ) ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?

1? ? 1+

3 4 ? 1 ,选 B. 3 7 4

(3)如果等差数列 ?an ?中, a5 ? a6 ? a7 ? 15 ,那么 a3 ? a4 ? ... ? a9 等于 (A)21 【答案】C 【 解 析 】 在 等 差 数 列 中 , 由 a5 ? a6 ? a7 ? 15 得 3a6 ? 15,a6 ? 5 。 所 以
a3 ? a4 ? ... ? a9 =7 a6 ? 7 ? 5 ? 35 ,选 C.

(B)30

(C)35

(D)40

(4)要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3 x 的图象 (A)向左平移 2 个单位 (B)向右平移 2 个单位
1

(C)向左平移 【答案】D

2 3

个单位

(D)向右平移

2 3

个单位

【解析】因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平移
3

2

2 3

个单位,

即可得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选 D. (5) m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3 x ? my ? 3 ? 0 垂直”的 “ (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 【答案】A 【解析】若两直线垂直,则当 m ? 0 时,两直线为 y ? 2 与 x ? ?1 ,此时两直线垂直。当 2m ? 1 ? 0 , 即m ?
1 2

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

时,两直线为 x ? ?4 与 3 x ?
?m 2m ? 1 x?

1 2

y ? 3 ? 0 ,此时两直线相交不垂直。当 m ? 0 且 m ?

1 2 3

时,两直 ,所以由

线的斜截式方程为 y ?
?m 2m ? 1 ? (? 3 m

2 2m ? 1

与 y??

3 m

x?

3 m

。两直线的斜率为

?m 2m ? 1

与?

m

) ? ?1 得 m ? ?1 ,所以 m ? ?1 是两直线垂直的充分不必要条件,选 A.

(6)设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 (A) m / /? , n / / ? 且? / / ? , 则m / / n (B) m ? ? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n (C) m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? (D) m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ? 【答案】B 【解析】A 中直线 m, n 也有可能异面,所以不正确。B 正确。C 中 ? , ? 不一定垂直,错误。D 当 m, n 相交时,结论成立,当 m, n 不相交时,结论错误。所以选 B. (7)函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是

【答案】A 【解析】函数 y ? x sin x 为偶函数,所以图象关于 y 对称,所以排除 D.当 x ?
3? 4

?
2

时, y ?

?
2

? 0 ,排除

B.当 x ?

时, y ?

?
4

sin

3? 4

?

2 2

?

?
4

?

?
2

?

2 4

?

?
2

,排除 C,选 A.

(8) 已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的斜率为

2, 且右焦点与抛物线 y ? 4 3 x
2

2

的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 (A) 2 【答案】B 【解析】 抛物线的焦点为 ( 3, 0) , c ? 即 双曲线的渐近线方程为 y ? 3。
b a

(B) 3

(C)2

(D)2 3

由 x,

b a

?

即 2, b?

2a ,

所以 b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 c 2 ? 3a 2 ,即 e 2 ? 3, e ? 3 ,即离心率为 3 ,选 B. (9)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,

若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 (A) 12? 【答案】D 【解析】该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,高为 CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为
AC1 ? 4 3 ? 2 R

(B) 24?

(C) 32?

(D) 48?

,所以球的半

径为 R ? 2 3 ,,所以球的表面积是 4? R ? 4? ? (2 3) ? 48? ,选 D.
2 2

(10)若 ? x 2 ? 1? ? x ? 3? ? a0 ? a1 ? x ? 2 ? ? a2 ? x ? 2 ? ? a3 ? x ? 2 ? ? ??? ? a11 ? x ? 2 ? ,
9 2 3 11

则 a1 ? a2 ? ??? ? a11 的值为 (A)0 【答案】C 【解析】令 x ? 3 ,则有 a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a11 ? 0 ,令 x ? 2 ,则 a0 ? (22 ? 1)(2 ? 3)9 ? ?5 ,所以
a1 ? a2 ? ??? ? a11 ? ? a0 ? 5 ,选 C.

(B) ?5

(C)5

(D)255

11.某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”“进敬老院”“参观工厂”“民俗调查”“环 、 、 、 、 保宣传”五个项目的社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五内完成.其中“参观工厂” 与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天, “民俗调查”活动不能安排在周一.则不同安排方法的种数 是
3

A.48

B.24

C.36

D.64

【答案】C
4 2 【解析】将“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动可做一个整体有 A4 A2 ? 48 种排法。当“民俗调查”

3 2 排在周一时有 A3 A2 ? 12 种,所以满足条件的不同安排方法有 48 ? 12 ? 36 种,选 C.

(12)已知函数 f ( x) ? ?

?kx ? 2, x ? 0 ?1nx, x ? 0

? k ? R ? ,若函数 y ?

f

? x?

? k 有三个零点,则实数 k 的取值

范围是 (A) k ? 2 (B) ?1 ? k ? 0 (C) ?2 ? k ? ?1 【答案】D

(D) k ? ?2

【 解 析 】 由 y ? f ? x ? ? k ? 0 , 得 f ( x) ? ?k , 所 以 k ? 0 。 做 出 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 如 图

,要使函数 y ? f ? x ? ? k 有三个零点,则由 ? k ? 2 ,即 k ? ?2 , 选 D.

4

第 II 卷(非选择题共 90 分)
注意事项: 1.将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 (13)已知向量 a ? (1,1), b ? (2, 0) ,则 2a ? b 等于为。 【答案】 2 5 【 解 析 】 因 为 a ? (1,1),b ? (2, 0) , 所 以 2a ? b ? 2(1,1)? (2, 0)? (4, 2) , 所 以
? ? 2a ? b ? 4 ?2 ?
2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

20 ? 2 5 。

(14)已知三角形的一边长为 4,所对角为 60°,则另两边长之积的最大值等于。 【答案】16 【解析】设另两边为 a, b ,则由余弦定理可知 42 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60? ,即 16 ? a 2 ? b 2 ? ab ,又
16 ? a ? b ? ab ? 2ab ? ab ? ab ,所以 ab ? 16 ,当且仅当 a ? b ? 4 时取等号,所以最大值为 16。
2 2

?x ? y ? 1 ? 0 ? (15)已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为。 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

【答案】2

【解析】设 z ? 2 x ? y ,则 y ? 2 x ? z 。作出可行域如图

作直线

y ? 2 x ,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最下,

此时 z 最大,把 D (1, 0) 代入直线 z ? 2 x ? y 得 z ? 2 ,所以 2 x ? y 的最大值为 2. (16)若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内的任意 x, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成立,则称
f (x ) 为 m 函数,现给出下列函数:

5

①y?

1 x



② y ? 2x ;

③ y ? sin x ;

④ y ? 1nx

其中为 m 函数的序号是。 (把你认为所有正确的序号都填上) 【答案】②③ 【解析】 ①若 y ?
1 x

, 则由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得

1 x?m

?

1 x

?

1 m

, 即

1 x?m

?

1 x

?

m x ( x ? m)

?

1 m



所 以 m 2 ? x( x ? m) ? x 2 ? mx , 显 然 不 恒 成 立 。 ② 若 y ? 2 x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 得 由
2( x ? m) ? 2 x ? 2m 恒 成 立 , 所 以 ② 为 m 函 数 。 ③ 若 y ? sin x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 得
sin( x ? m) ? sin x ? sin m ,当 m ? 2? 时,有 sin( x ? 2? ) ? sin x , sin m ? sin 2? ? 0 ,此时成立,所以

③ 为 m 函 数 。 ④ 若 y ? 1nx , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 得 由 ln( x ? m) ? ln x ? ln m ? ln mx , 即
x ? m ? mx ,即 (1 ? m) x ? m ? 0 ,要使 (1 ? m) x ? m ? 0 恒成立,则有 1 ? m ? 0 ,即 m ? 1 。但此时
(1 ? m) x ? m ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ,所以不存在 m ,所以④不是 m 函数。所以为 m 函数的序号为②③。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(?x ?
?
6 ) ? cos(?x ?

?
6

) ? sin ?x (? ? 0, x ? R ) 的最小正周期为 2?



(I)求函数 f (x) 的对称轴方程;
6 3

(II)若 f (? ) ?

,求 cos(

?
3

? 2? ) 的值。

18.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ?为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? bn ? 2 。 (I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (II)若 cn ?
an bn

?n ? N ? ? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn 。

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 五 面 体 中 , 四 边 形 ABCD 是 矩 形 , DA ? 面 ABEF , 且 DA=1 , AB//EF ,
AB ? 1 2 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 AE、BD、EF 的中点。

(I)求证:PQ//平面 BCE; (II)求证:AM ? 平面 ADF; 20.(本小题满分 12 分) M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成 绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部 门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作”.
6

(I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人, 那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (II)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写 出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

21.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? x1nx ? ax ? x?a ? R ? 。
2

(I)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)若函数 f (x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围; (III)求证: 20132012 ? 20122013 .

21.(本小题满分 12 分) 已知两定点 E ? 2, 0 , F 点 M 满足 PM ?
???? ?

?

? ?

??? ??? ? ? 2, 0 ,动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作垂线 PQ,垂足为 Q,

?

?

???? ? 2 ? 1 MQ ,点 M 的轨迹为 C.

?

(I)求曲线 C 的方程; (II)若线段 AB 是曲线 C 的一条动弦,且 AB ? 2 ,求坐标原点 O 到动弦 AB 距离的最大值.

7

8

9

10

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