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高三数学一轮复习相互独立事件同时发生的概率


第三节

相互独立事件同时发生的概率

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高考总复习 · 数学(理)

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最新考纲

高考热点

1.了解相互独立事件的意义,会用相互独 立事件的概率乘法公式计算一些事件的概 率. 2.会计算事件在n次独立重复试验中恰好 发生k次的概率. 1.以考查相互独立事件的概率为主,综合 等可能性事件的概率、互斥事件及对立事 件的概率.同时考查排列、组合知识. 2.以实际问题为背景,考查独立重复试验 的概率问题.

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1.相互独立事件及同时发生的概率 (1)相互独立事件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率 没有影 响 ,这样的两个事件叫做相互独立事件. (2)相互独立事件同时发生的概率

两个相互独立事件同时发生的概率,等于 每个事件 发生的概率的积 ,即P(A·B)= P(A)·P(B) .

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推广:如果事件A1 ,A2 ,?,An相互独立,那么这n个 事件同时发生的概率等于 P(A1·A2·?·An)= 每个事件发生的概率的积 . ,即 P(A1)·P(A2)·?·P(An)

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2.独立重复试验 (1)独立重复试验 若n次重复试验,每次试验结果的概率都不依赖于其它 各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.

(2)独立重复试验的概率
如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独 立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)= .

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1.运用公式P(A·B)=P(A)·P(B)时一定注意公式成立的 条件,只有当事件A,B相互独立时,公式才成立.

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2.相独事与斥件区是前 互立件互事的别:者 是两试中两事发的率不响 指个验,个件生概互影, 计公为 算式 P(A· B)=P(A)· P(B), 后者是指同一次试 验中两个事件不会同时发生,计算公式为 P(A+B) =P(A)+P(B),且满足 P(A)+P( A )=P(A+ A )=1. 3.相互独立事件的性质,若事件 A 与事件 B 独立,A 的对立事件为 A ,B 的对立事件为 B ,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都是相互独立的.

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题型一 思维提示

相互独立事件同时发生的概率 P(A·B)=P(A)P(B)

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例 1 甲、乙、丙位学业 三大毕生 ,同到 时 一用单应 个人位聘 ,其选的率别 被中概分为 2 3 1 甲:P(A)=5;乙:P(B)=4;丙:P(C)=3. 且自否选是互 各能被中相 独的 .求: 立 )( 三都选的率 1 人被中概 ; )( 只两被中概 2 有人选的率 ; )( 三中几被中事最发 3 人有人选的件易生 ?

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[分析] 率公式求解.

分清事件之间的关系,准确运用相互独立事件

的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式及对立事件的概

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[解] )( ∵三事 1 个件 ∴三都选的率 人被中概

A、B、C 相独 互立



2 3 1 1 P(A· C)=P(A)· B· P(B)· P(C)=5×4×3=0 . 1

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)( 只两被中事为 2 有人选的件 A · C+A· · B· B C+A· C . B· ∵事 A · C、A· · 件 B· B C、A· C 彼互 B· 此斥 ,且 A、 B、C 相独 互立 . ∴P( A · C+A· · B· B C+A· C ) B· =P( A · C)+P(A· · B· B C)+P(A· C ) B· = P( A )· P(B)· P(C) + P(A)· B )· P( P(C) + P(A)· P(B)· C ) P( 3 3 1 2 1 1 2 3 2 3 2 =5×4×3+5×4×3+5×4×3=0 . 6 3 2 故有人选的率 只两被中概为 0 . 6

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)( ∵三都被中概 3 人不选的率 3 1 2 P( A · · )=P( A )· B )· C )= 5 × 4 × 3 = B C P( P( 1 10, ∴三人中有且仅有一人被选中的概率为: 1-P(A· C)-P( A · C+A· · B· B· B C+A· C )- B· 5 P( A · · )=12. B C 5 23 1 由于12>60>10,所以三人中只有一人被选 中的概率最大,此事件最容易发生.

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[规律总结]

关于互斥事件与相互独立事件概率公式的

综合运用,是高考概率问题的常见题型.利用概率加法公式、 减法公式(对立事件的概率)、乘法公式进行相关事件的概率 计算,要注意区分一些容易混淆的概念,如“对立事件”与

“互斥事件”,“互斥事件”与“相互独立事件”等,具体
问题中概率的运算公式常附加一些条件,要弄清这些关键字、 词的差异,如“恰有 ”、“至少”、“至多”、“都”、 “或”等.

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备选例题1

一次考试共有12道选择题,每道选择题都

有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定: “每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零 分”.某考生已确定有9道题的答案是正确的,其余题中:

有一道题可判断两个选项是错误的,有一道题可判断一个选
项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.试求该考 生: (1)得60分的概率; (2)得多少分的可能性最大?

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解 )( 设“可断个项错的做 :1 判两选是误题 对”为件 A,“可断个项 事 判一选是 错的 误题 做 ”为件 B,“不解意题对 对 事 理题的做 ”为 事 C, 件 1 1 1 ∴P(A)=2,P(B)=3,P(C)=4. 所 , 0 分概 以 得 6 的率 (即 2 个择部 1 选全做 1 1 1 1 对概 的率 )为 P=2×3×4=4 . 2

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)( 得 5 分概 2 4 的率 为

(即三选全的率 后个择错概

)

1 2 3 1 P=2×3×4=4; 得 0 分概为 5 的率 1 2 3 1 1 3 1 2 1 11 P=2×3×4+2×3×4+2×3×4=24; 得 55 分的概率为 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 P=2×3×4+2×3×4+2×3×4=4, 所以得 50 分的可能性最大.

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题 型 二 思 维 提 示

事在 件

n 次立复验恰发 独重试中好生 k 次概 的率 A发 k次 生 - Pn(k)=Ck Pk(1-P)n k n

n 次立复验事 独重试中件 的率算式 概计公

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甲、乙人进 两各行 3 次击 ,甲 射 每 1 次中标概为 击目的率 每击目的 2,乙次中标概 2 率 3,求 为 )( 甲好中标 1 恰击目 2 次概 的率 ; )( 乙少中标 2 至击目 2 次概 的率 ; )( 乙好甲击目 3 恰比多中标 2 次概 的率 .

例2

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[分析]

本题符合独立重复试验的条件,可用事件在n

次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式求解.

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[解] )( 甲好中标 1 恰击目 2 次概为 的率 3 2 1 3 C3(2) =8. )( 乙少中标 2 至击目 2 次概为 的率 0 2 2 2 21 3 2 3 C3·3) ·+C3(3) =7 . ( 3 2

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)( 设恰比多中标 3 乙好甲击目 2 次事 为件 A, 乙好中标 恰击目 2 次甲好中标 且恰击目 0 次事 为 件 B1,乙好中标 恰击目 3 次甲好中标 且恰击目 1 次事 为件 B2,则 A=B1+B2,B1、B2 为斥件 互事 . 2 2 2 1 0 1 3 3 P(A) = P(B1) + P(B2) = C 3 ( 3 ) · · 3 ( 2 ) + C 3 C 3 23 113 1 1 1 (3) · 3(2) =18+9=6. C 1 所以乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率为6.

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[规律总结]

有关射手射击问题,可以看作典型的独立

重复试验问题,这里基于以下三点原因: (1)若把射手每射一次看作一次试验,则每次试验之间 是相互独立的,也就是说某一次试验的结果不影响另一次试

验的结果;
(2)整个射击过程都是重复着同一种试验; (3)整个试验的结果有且只有两种:击中目标或者击不 中目标.

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备例 选题 2 甲、乙两人在一场五局三胜制 的乒乓球比赛中,规定甲或乙无论谁先赢满三局就 获胜,并且比赛就此结束.已知甲、乙两人每局比 2 1 赛甲取胜的概率为3,乙胜的概率为3,且每局比赛 的胜负相互独立. (1)求比赛以甲 3 胜 1 负结束的概率; (2)求比赛以乙 3 胜 2 负结束的概率; (3)设甲获胜的概率为 P1,乙获胜的概率为 P2, 求 P1∶P2.

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解 )( 以 3 胜 1 负束 , 第局定 :1 甲 结 则四一甲 胜,前局甲两 三中胜局 ,所概为 求率 22 1 2 8 2 P=C3×(3) ×3×3=7 . 2 )( 以 3 胜 2 负束 ,则五一乙 2 乙 结 第局定胜 , 前局乙两 四中胜局 ,所 概 为 求率 P=C2 4 12 22 1 8 ×(3) ×(3) ×3=1 . 8

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3胜0负 3胜1 、 8 3 2 3 负 3 胜 2 负则概分为 , ,其率别 C3(3) =7 ; 2 1 2 8 12 2 6 1 2 2 2 2 2 2 C3(3) ×3×3=7 ;C4(3) ×(3) ×3=1 . 2 8 8 8 6 1 4 6 于甲胜概为 是获的率 P1=7 +7 +1 =1 . 2 2 8 8 7 1 乙胜概为 获的率 P2=1-P1=1 . 8 所 P1∶P2=6 ∶1 以 4 . 7

)( 甲胜情有种 3 获的况三:

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题型三

相对独立事件概率的综合应用 灵活应用等可能性事件、互斥事件、 对立事件以及独立重复试验的概率公 式解决问题.

思维提示

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例3 甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概
率分别为0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响, 求: (1)甲试跳三次,第三次才成功的概率; (2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;

(3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次
的概率. [分析] 第(1)问是有关相互独立事件同时发生的问题,

第(2)问和第(3)问是既有相互独立事件同时发生,又有互斥事
件有一个发生的概率问题.

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[解] 记“甲 i 次跳功 第 试成 ”为件 Ai, 事 “乙 i 次跳功 第 试成 ”为件 Bi,依意 事 题得 P(Ai)=0 ,P(Bi)=0 ,且 Ai,Bi(i=1,2,3 7 . 6 . ) 相独 互立 . )( “甲第三次试跳才成功”为事件 A 1 A 1 三试相独 . 2A3,且次跳互立 所以 P( A 1 A 2A3)=P( A 1)P( A 2)P(A3)= 30 ×0 ×0 =0 . 3 . 7 . .6. 3 0

答:甲第三次试跳才成功的概率为0.063.

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)( “甲、乙人第次跳至有 2 两在一试中少一 人功 ”为件 C. 成 事 解一 法: 因 C=A1 B 1+ A 1B1+A1B1, 为 且 A1 B 1、 A 1B1、A1B1 彼互 此斥 , 所 P(C)=P(A1· 1)+P( A 1· 1)+P(A1· 1) 以 B B B = P(A1)P( B 1) + P( A 1)P(B1) + P(A1)P(B1) = 70 ×0 +0 ×0 +0 ×0 =0 . 4 . 3 . 6 . 7 . 6 . .. 8

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解二 法: 30 ×0 =0 . 4 . .. 8

P(C) = 1 - P( A 1)· B 1) = 1 - P(

答:甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率 为0.88.

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)( 设“甲两试中功 3 在次跳成 i 次”为件 事 Mi(i =0 ), , 21 ,“乙两试中功 在次跳成 i 次”为件 事 Ni(i =0 ), , 21 ,为件 因事 “甲乙试两,比的 、各跳次甲乙 成次恰 多次 功数好 一 ”可表示为 M1N0 +M2N1,且 M1N0、M2N1 为斥件 互事. 所所的率 以求概为 P(M1N0+M2N1)=P(M1N0)+P(M2N1) =P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1) 1 =C2×0 ×0 ×0 2+0 2×C1×0 ×0 7 . 3 . 4 . 7 . . 4 . 2 6 =0 2. 7 6 0 +0 2. 5 3 =0 .2. 4 0 3

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答:甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一 次的概率为0.3024.

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[规律总结]

如果所要求解的概率问题是由若干个连续

的部分过程组成的总过程,那么计算与此总过程有关的事件 的概率时,可应用相互独立事件的概率乘法公式.其解题步 骤为:

(1)用恰当字母表示题中有关事件;
(2)根据题设条件,分析事件间的关系; (3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积,或 若干个乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立); (4)利用概率乘法公式计算概率.

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备选例题3

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机

培训,以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选 择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过 财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%.假设每个人

对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没
有影响. (1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培训 的概率.

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解 任 1 名岗员 : 选 下人 ,记“该参过 人加财 会培训”为事件 A,“该人参加过计算机培训” 为事件 B,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75. (1)解法一:任选 1 名下岗人员,该人没有参 加过培训的概率是 P1 =P( A · )=P( A )· B )= B P( 0.4×0.25=0.1. 所以该人参加过培训的概率是 1-P1 =1- 0.1=0.9.

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解二 法: 任 1 名岗员 选 下人 ,该只加一 人参过 项培训的概率是 P2 =P(A· )+P( A · B B)=0.6×0.25 +0.4×0.75=0.45. 该人参加过两项培训的概率是 P3=P(A· B)=0.6×0.75=0.45. 所以该人参加过培训的概率是 P2+P3=0.45+ 0.45=0.9. (2)解法一:任选 3 名下岗人员,3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 P4=C2×0.92×0.1=0.243. 3 3 人都参加过培训的概率是 P5=0.93=0.729. 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 P4+P5=0.243+0.729=0.972.

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解二 法: 任 3 名岗员 选 下人 ,3 人只 中有 1 人 参 加 过 培 训 的 概 率 是 C 1 ×0 ×0 2 = . 1 . 3 9 .2. 70 0 3 人没参过训概是 都有加培的率 10 3 = . .0. 10 所 3 人至有 以 中少 2 人加培的率 参过训概 是 1-0 7. 2 0 -0 1. 0 =0 .7. 2 9

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计算错误



某单位6个员工借助互联网开展工作,每个员工

上网的概率都是0.5(相互独立). (1)求至少3人同时上网的概率; (2)至少有几人同时上网的概率小于0.3?

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[解思 题路 ] )( 记 Ar(r=0、1、2、?、6 为 r 1 ) 个同上这事, 概为 人时网个件 其率 则 P(Ar)=Cr . r(1 5 60 1 r 6-r r 6 -0.5) =C60.5 =64C6. “至少 3 人同时上网”即为事件 A3+A4+A5+ A6,因为 A3、A4、A5、A6 为彼此互斥事件,所以可 应用概率加法公式,得“至少 3 人同时上网”的概 率为 P=P(A3+A4+A5+A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+ 1 3 1 4 5 6 P(A6)= 64 (C 6 +C 6 +C 6 +C 6 )= 64 (20+15+6+1)= 21 32.

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)( 记“至 r 个同上 2 少 人时网 ”为件 Br,则 Br 事 的率 P(Br)随着 r 的加减, 意求足 概 增而少 题是满 依 P(Br)<0 的数 r 的,为 3 . 整 值因 1 P(B6)=P(A6)= 4 <0 ,P(B5)=P(A5 +A6)= . 6 3 1 5 7 6 P(A5)+P(A6)=4 (C6+C6)=4 <0 , . 6 6 3 P(B4)=P(A4+A5+A6)=P(A4)+P(A5)+P(A6) 1 4 11 5 6 =4 (C6+C6+C6)=2 >0 3 6 3 .. 因至 为少 4 人时网概大 同上的率于 30 ,至 . 所 以 少 5 人时网概小 同上的率于 .. 30

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[错因分析]

误区一:缺乏必要的文字说明和说理,只

写出算式和计算结果,解答不够完整. 误区二:混淆“至多”“至少”的概率,把“至少3人 同时上网”误认为是“同时上网的人数不超过3人”或“同

时上网的人数超过3人”,因而导致计算错误.

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