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2015高考数学复习:圆锥曲线压轴(文理)


2015 高考数学专题复习:圆锥曲线
“设而不求”的方法

2015.3.31

若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A, B 时,一般地,首先设出交点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?,它们是过渡性参数, 不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.

一、弦长面积:
弦长公式: AB ? =

x2 y2 ? ? 1 于 A, B 两点,求 AB 和 ?OAB 的面积 1.直线 y ? x ? 2 交椭圆 12 8

2 2.焦点在 x 轴上的抛物线 y ? ax 被直线 l : y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物线方程.

2 3.已知抛物线 y ? ax ,直线 l 过抛物线焦点 F 且与抛物线交于 A, B 两点, AF ? m, BF ? n ,求

1 1 ? m n

2 4. A, B 为 y ? 2 x 上的两点,且 OA ? OB ,求 S ?OAB 最小值

2 5.已知抛物线 y ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A, B 两点

(Ⅰ)求证: OA ? OB (Ⅱ)当 ?OAB 的面积为 10 时,求 k 的值

1

6.设 P 是圆 x 2 ? y 2 ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的射影, M 为 PD 上一点,且 MD ? (Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)求过点 ?3,0? 且斜率为 1 的直线被 C 所截线段的长度

4 PD 5

7.设 F1 , F2 分别是椭圆的

x2 y2 ? ? 1 上,下焦点,点 P 在椭圆上且在第一象限, PF1 ? PF2 ? 1,过点 P 作 2 4

倾斜角互补的两条直线 PA, PB 分别交椭圆于 A, B 两点 (Ⅰ)求证:直线 AB 的斜率为定值 (Ⅱ)求 ?PAB的面积的最大值

8.已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F ?0,1? 的距离比它到直线 l : y ? ?2 的距离小 1 (Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)过点 P(2,2) 的直线 m 与曲线 C 交于 A, B 两点,设 AP ? ? PB 当 ?OAB 的面积为 4 2 时,求 ? 的值

x y x y y2 x2 3 , 9. A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 是椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 上两点,满足 ( 1 , 1 ) ? ( 2 , 2 ) ? 0 ,离心率 e ? b a b a 2 a b
短轴长为 2,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)若直线 AB 过椭圆的焦点 F ?0, c ? ,求直线 AB 的斜率 k 的值 (Ⅲ) ?OAB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

10.过抛物线 C : y ? 4ax 的焦点且互相垂直的两条直线与 C 分别交于 A, B 和 C , D ,求 AB ? CD 最小值
2

2

11. l1 , l 2 过点 P ? 2 ,0 的两互相垂直的直线,l1 , l 2 与双曲线 y 2 ? x 2 ? 1 各有两个交点, 分别为 A1 , B1 和 A2 , B 2 (Ⅰ)求 l1 的斜率 k 1 的取值范围 (Ⅱ)若 A1 B1 ? 5 A2 B2 ,求 l1 , l 2 的方程.

?

?

12.已知椭圆

y2 x2 2 ? 2 ? 1,e ? ,短轴长为 2 , A?x1 , y1 ?B?x2 , y 2 ??x1 ? x2 ?是椭圆上两点, 2 2 a b

?x y ? ?x y ? m ? ? 1 , 1 ?, n ? ? 2 , 2 ?, 且m ? n ? 0 ?b a? ?b a ?
(Ⅰ)求椭圆方程 (Ⅱ)求 S ?OAB 是否为定值

13.已知椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 的离心率 e ? ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为 ?? a,0? (i)若 AB ?

4 2 ,求直线 l 的倾斜角 5

(ii)若点 Q?0,y 0 ? 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 . 求 y 0 的值.

?1? 16

3 8 6 , 5 5

a 2? a ?2? y 2 ? ?4x, y 2 ? 12x ?3?k 2 x 2 ? ? ? a ? k ?x ? ? 2 ?

k2 1 1 4 ? 0, ? ? ?4 ? 4 a a a 16 x1 ? x2 ? 4 4
2

? b2 b2 ? 4 ? ? 2 x2 y2 320 1 ? ?5? k ? ? ?6? ? ? 1, .?7? P 1, 2 , 2 S ? 25 16 41 2 6

?

?

? ? ? ?

, 2 ?8? k ? 2, 0, ? ? 3 ? 2 2

?9? ?

2 ,1 ?10? AB ? 4a
2

2 k 2 ?1 ?1 ? 2 2 , CD ? 4a k 2 ? 1 ?11? k1 ? ? , 3 ? k ? 2 ?12? 2 2 k ?3 ?

?

?

?13? x

4

? y 2 ? 1,32t 2 ? 9t ? 23 ? 0 ? ? ?

? 3?
4 4 ,

. y0 ? ?2 2 , y0 ? ?

2 14 5
3

2015 高考圆锥曲线专题复习:方程韦达定理
1.(点差法)直线 l 过点 M ?1,1? ,与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 A, B 的中点为 M ,求 l 方程. 4 3

( ? 2 2, 0) 2.椭圆 C 的焦点 F ,长轴长 6, 直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A, B 两点,求线段 AB 的中点坐标

3.已知椭圆一个焦点为 0,5 2 ,截直线 y ? 3x ? 2 所得的弦的中点的横坐标为

?

?

1 ,求椭圆方程 2

4.已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1中 e ? ,直线 x ? y ? 1 ? 0 交椭圆于 P, Q 两点,且 OP ? OQ ,求椭圆方程 2 a b 2

2 2 5.若椭圆 ax ? by ? 1 与直线 x ? y ? 1 交于 A, B 两点, M 为 A, B 的中点,直线 OM 的斜率为

2 , 2

且 OA ? OB ,求椭圆的方程.

4

6.直线 l : y ? x ? 1 与椭圆相交于点 P, Q ,且 OP ? OQ , PQ ?

10 ,求椭圆方程. 2

7.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 与点 P ?1,2 ? ,过 P 点作直线 l 与双曲线交于 A, B 两点,若 P 为 AB 中点. 2

(Ⅰ)求直线 AB 的方程 (Ⅱ)若 Q ?1,1? ,证明不存在以 Q 为中点的弦.

x2 y2 ? ?1 8.已知过双曲线方程 4 2
(Ⅰ)过 M ?1,1? 的直线交双曲线于 A, B 两点,若 M 为弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程 (Ⅱ)是否存在直线 l ,使 N (1, ) 为 l 被双曲线所截得弦的中点,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由

1 2

5

9.已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,当 l 的 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2 2 (Ⅰ)求 a , b 的值 (Ⅱ)C 上是否存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立?若存在,求出 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由

10.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,虚轴长为 2 2 a 2 b2

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程 (Ⅱ)直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ,且线段 AB 的中点在圆 x ? y ? 5 上,求 m
2 2

(Ⅲ)直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P?x0 . y 0 ? 处的切线, l 与双曲线 C 交于两点 A, B ,求证: ?AOB = 90
2 2

0

11.设 F1 , F2 分别是椭圆的

x2 ? y 2 ? 1 左、右焦点 4

(Ⅰ)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且 PF1 ? PF2 ? ?

5 ,求点 P 的坐标 4

(Ⅱ)过 M (0,2) 的直线与椭圆交于两点 A, B ,且 ?AOB为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围

6

12.设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个顶点与抛物线 G : x 2 ? 4 3 y 的焦点重合, F1 , F2 分别是椭圆的左 a 2 b2

右焦点,且离心率 e ? (Ⅰ)椭圆 C 的方程

1 ,若过椭圆的右焦点 F 2 的直线 l 与椭圆交于 M , N 两点, O 为坐标原点 2

(Ⅱ)若直线 l 使得 OM ? ON ? ?2 ,求直线 l 的方程 (Ⅲ)若点 P 在椭圆上,且 OP与MN平行 ,求证: OP : MN 为定值
2

13.椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1 ? e ,直线 2

l与y 轴交于点 P (0, m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A, B ,且 AP ? ? PB.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)若 OA ? ? OB ? 4OP ,求 m 的取值范围

x2 ? y 2 ? 1 ,过 P?2,0? 的直线 l 与 C 交于 E , F 两点, E 在 P, F 之间,求三角形 ?OPE 与 14. 椭圆 C 的方程 2

?OPF 面积比值范围

7

x2 y2 5 ? ? 1 ,过 P ?2,1? 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点, 且满足 PA ? PB ? ,求直线 l 的方程 15. 椭圆 C 的方程 4 3 4

16.椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个长轴端点为 (0,2) ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, 直线 l 与 y 轴 交于点 P (0, m) ,与椭圆 C 交于相异两点 A, B ,且 AP ? 2 PB . (Ⅰ)求椭圆方程 (Ⅱ)求 m 的取值范围

a ?x 9 1? y ?1?k ? ? 3 .?2?? ? ? , ?.?3?k ? ? 2 0 ?
2

4

? 5 5?

b ? y0

x2 x2 3 2 2 ? 1.?4? ? y 2 ? t , t ? . ?5?2 2 ? 1 x ? 2 2 2 ? 1 y ? 1 75 25 2 4 ?

2

?

?

?

?

?6? x

2

2
? ?

?

1 1 3x 2 y 2 3 2 y2 ? ? 1 ?7?k ? 1 2 ? 2 ?8?k ? ?9 ? ? k 2 ? 1 ?10?x 2 ? y ?1 ? 1, m ? ?1 2 2 2 2 2 2
3? 4 ? 4k 2 3 x2 y2 2 ?, 4k 2 ? 1 x 2 ? 16kx ? 12 ? 0. y1 y2 ? 2 ? ? , OA ? OB ? 0 , ? ? 0 ? ? k ? 4 . 12 ? ?1 2 ? 4k ? 1 4 4 3 ?

?11? p? ?1,

?

?

k ? ? 2. MN ? OP ?

2

12 k 2 ? 1 ?x ? x ? 4 . ?13?2x 2 ? y 2 ? 1.AP ? ? PB ? ?OB ? 3OP ? ? ? 3 ? 1 2 ? ? 2 4k ? 3 x1 x2 3
2

?

?

2 1 y12 ? y2 8m2 S1 y1 1? ?1 ? ? ? 2 ? ?4,8? ? t ? 3 ? 2 2 ,1 ? t , ?t ? 1? , t ? ? 2 ? ? ? 0 ? m ? ? ? 1,? ? ? ? ,1? ?14? ? t y1 y2 m ?2 S 2 y2 2? ?2 ? ?

?

?

?15??2 ? x1 ??2 ? x2 ?? ?k 2 ? 1? ? 5 ? k ? ? 1 .?16? y
4 2

2

4

?

x2 ? 1 ? k 2 ? 2 x 2 ? 2km x? m 2 ? 4 ? 0 . 2

?

?

?

?

? ? 0 ? 2k ? m
2

2

2 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 0.

x1 x2

1 m2 m2 ? 4 ?4 ? ?? ? ? 0 ? m 2 ? ? ,4 ? 2 2 9m ? 4 ?9 ?
8

?

?

2015 高考圆锥曲线专题复习:向量
1.已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F ?1,0 ? 的距离减去它到 y 轴距离的差都是1 (Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)是否存在正数 m ,对于过点 M ?m,0? 且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线,都有 FA ? FB ? 0 ? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由

2.已知椭圆 C1 、抛物线 C 2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C 2 的顶点均为原点 O ,从每条曲线上取两个点, 将其坐标记录于下表中: (Ⅰ)求 C1 , C2 的标准方程 (Ⅱ)是否存在直线 l 满足条件:①过 C 2 的焦点 F ;②与 C1 交不同两点 M 、N , 且满足 OM ? ON ?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

x

3
?2 3

?2
0

4

2
2 2

y

?4

3.已知曲线 C : ?5 ? m?x ? ?m ? 2?y ? 8?m ? R?
2 2

(Ⅰ )若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围 (Ⅱ )设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A, B ,(点 A 位于 B 的上方),直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于不同的 两点 M , N ,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G .求证: A, G , N 三点共线

9

4.已知椭圆 C :

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? ,长轴长为 2 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆的标准方程 (Ⅱ)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M、N 两点,且 F2 M ? F2 N ?

2 26 ,求直线 l 的方程 3

5.已知动圆 P 与圆 M : ( x ?

?2 6 ? 2 6 2 ? ) ? y 2 ? 16 相切,且经过点 N ? ? 3 ,0 ? 3 ? ?

(Ⅰ)试求动圆的圆心 P 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)设 O 为坐标原点,圆 D : ( x ? t )2 ? y 2 ? t 2 (t ? 0) ,若圆 D 与曲线 C 交于关于 x 轴对称的两点 A, B (点 A 的 纵坐标大于 0 ) ,且 OA ? OB ? 0 ,请求出实数 t 的值 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,点 D 是圆 D 的圆心, E , F 是圆 D 上的两动点,满足 2OD ? OE ? OF ,点 T 是曲线

C 上的动点,试求 TE ? TF 的最小值

6.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点 A 作斜率为 2 的直线,与椭圆的另一个交点为 B ,与 y 轴的 a 2 b2
6 BC . 13

交点为 C ,已知 AB ? (Ⅰ)求椭圆的离心率

(Ⅱ)设动直线 y ? kx ? m 与椭圆有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q ,若 x 轴上存在 一定点 M (1, 0) ,使得 PM ? QM ,求椭圆的方程.

10

7.已知直线 l : x ? my ? 1 过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F ,抛物线: x2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点, a 2 b2

且直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,点 A 、 F 、 B 在直线 g : x ? 4 上的射影依次为点 D 、 K 、 E . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)若直线 l 交 y 轴于点 M ,且 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,当 m 变化时,探求 ?1 ? ?2 的值是否为定值? 若是,求出 ?1 ? ?2 的值,否则,说明理由 (Ⅲ)连接 AE 、 BD ,证明当 m 变化时, AE 与 BD 相交于定点 N ? ,0 ?

?5 ?2

? ?

y
A

l

g
D K E

o
B

F

x

8.已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F ?1,0 ? 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1 (Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)设 n 是过原点的直线, l 是与 n 垂直相交于点 P ,与曲线 C 相交于 A, B 两点的直线,且 | OP |? 1 , 是否存在上述直线 l 使 AP ? PB ? 1成立?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由

?1?m 2 ? 6m ? 1 ?
l MN : y ?

4 ?7 ? ? 0 ? 3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 ?2 ? k ? ?2 ?3?m ? ? ,5 ?, 2k 2 ? 1 x 2 ? 16kx ? 24 ? 0 2 k ?2 ?

?

?

?

?

? 3 x1 ? ? y 2 ? 1?? y1 ? 2? y1 ? 2 y2 ? 2 x ? 2, G? ? 2kx 1 x 2 ? 3? x1 ? x 2 ? ? 0 ?4? y ? ? x ? 1 ? y ? 2 ,1? ? ? k GN ? x y ? 2 x ? 3 x ? k GA ? x x1 2 1 2 1 2 ? 1 ?
2 2

?5?x 2 ? 3 y 2 ? 4 ? 0. A?x0 , y 0 ?, B?x 0 ,? y 0 ? ? OA ? OB ? 0 ? x ? y ? A?1,1? ? t ? 1.?3?OD ? 1 OE ? 1 OF ? E ?1,1?, F ?1,?1?
2 2 2 3 ? 13 12 ? b 2? 3? 1 1 2 TF ? TE ? ?x ? 1? ? y 2 ? 1 ? ? x ? ? ? ? ? , ?0 ? x ? 2?. ?6?P? ? a, a ? ? 2 ? , (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12t ? 0 19 19 4 a 3? 2? 6 6 ? ?
2

2

? ? 0 ? m2 ? 3t ? 4k 2t , P ( ?

4km 3m , ) M (1, 0) , Q (4, 4k ? m) PM ? QM , 3 ? 4k 2 ? m2 ? t ? 1 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

?7? x

2

4

?

y 2 ? y1 ?x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 y2 8 2 2 ?x ? 4?, ? 1, ?1 ? ? 2 ? ? ? ?3? 3m ? 4 y ? 6m y ? 9 ? 0. y ? y 2 ? 4 ? x1 3 x1 x 2 ? 1 ? ?x1 ? x 2 ? 3

?

?

?5 ? ? p? ,0 ? ? 3? y1 ? y 2 ? ? 2m y1 y 2 ? 18m ? 18m ?8?y 2 ? 4x, k 2 x2 ? ?2km ? 4?x ? m2 ? 0.d ? 1 ? m2 ? k 2 ? 1 ?2 ?
OA ? OB ? OP ? PA ? OP ? PB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? m ? 4k ? 0.k ? ?

?

??

?

1 15

11

2015 高考圆锥曲线专题复习:判别式对称问题
1.求实数 m 的取值范围,使抛物线 y ? x 上存在两点关于直线 y ? m?x ? 3? 对称.
2

2.椭圆 C 经过点 A?2,3? ,且点 F ?2,0? 为其右焦点 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4 ? 若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由

3.直线 x ? y ? 1 ? 0与椭圆 且点 M 在直线 l : y ? (Ⅰ )求椭圆的离心率

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 AB 两点, M 是线段 AB 上的一点, AM ? ? BM , a2 b2

1 x上 2

(Ⅱ )若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1 上,求椭圆的方程.
2 2

4.已知椭圆 E 经过点 A ? 2,3? ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程 (Ⅱ)求 ?F1 AF2 的角平分线所在直线 l 的方程

1 2

(Ⅲ) 在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由

12

5.已知椭圆的一个焦点 F1 (0,?2 2 ) ,且离心率 e 为 (Ⅰ)求椭圆方程

2 4 和 的等比中项. 3 3

(Ⅱ)是否存在直线 l 与椭圆交于不同的两点 M , N ,且线段 MN 恰为直线 x ? ? 倾斜角的范围,若不存在,请说明理由.

1 平分?若存在,求出直线 l 的 2

6.已知椭圆 C :错误!未找到引用源。 轴, x 轴分别交于

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点为 F1 , F2 ,离心率为 e . 直线 l : y ? ex ? a 与 y a2 b2

点 A, B , M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点, P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM ? ? AB
2 (Ⅰ)证明: ? ? e

(Ⅱ)若 ? ?

1 , ?PF1 F2 的周长为 6 ,写出椭圆 C 的方程. 4

(Ⅲ) ?PF1 F2 为等腰三角形时,求 ? 的值

7.已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 (Ⅰ)求此椭圆的离心率

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 AB 两点,且线段 AB 的中点在直线 l : x ? 2 y ? 0 上. a 2 b2

(Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程.

13

8.椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点为 F (?c,0) , M 是椭圆上一点,且满足 F1 M ? F2 M ? 0 a2 b2

(Ⅰ)求离心率 e 的取值范围 (Ⅱ)当离心率 e 取得最小值时,点 N ?0,3? 到椭圆上的点的最远距离为 5 2 ( I )求此时椭圆 C 的方程 ( ii )设斜率为 k ?k ? 0? 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 AB , Q 为 AB 的中点,问 AB 两点能否关于过点
? 3 ? 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围;若不能,请说明理由 ? P? ? 0,? 3 ?, Q ? ?

9.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 (Ⅰ)求 k 的取值范围

x2 ? y 2 ? 1 有两个不同的交点 P 和 Q . 2

(Ⅱ)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A、 B ,是否存在常数 k ,使得向量 OP ? OQ 与 AB 共 线,如果存在,求 k 值;如果不存在,说明理由

10.试确定 m 的取值范围,使得椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称 4 3

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2 x2 y 2 ? 47 ? 2 , ? ? 1 ?8? k ? ? 0, ? 2 8 4 ? 2 ?

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14

2015 高考圆锥曲线专题复习:最值值域问题
1.过点 C ( p, 0) 作直线 m 与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 交于 A 、 B 两点.设 N (? p, 0) ,求 NA ? NB 的取值范围
2

2.椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1 过右焦点 F 斜率为 k 的直线交椭圆 M 于 A, B 两点,过 F 且与直线 AB 垂直的直线 18 9

交椭圆 M 于 C , D ,求 AB ? CD 的最大值

x2 y2 ? ? 1, F 3.椭圆 C : 4 2

?

2 ,0 ,E ? 2 ,0 , M , N 是 l : x ? 2 2 上两点,若 EM ? FN ? 0 ,求 MN 最小值

? ?

?

2 2 4.直线 m : y ? kx ? 1 和双曲线 x ? y ? 1 的左支交于 A, B 两点,直线 l 过点 P?? 2,0? 和线段 AB 的中点,求直

线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围

15

5.点 N 的坐标为 ( , ) ,动点 P 的轨迹方程为 4 x ? y ? y ? 0 ,求 | NP | 的取值范围
2 2

1 1 2 2

x2 ? y 2 ? 1 ,过点 ?m,0 ? 作圆 x2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交椭圆 C 于 AB 两点,将 | AB | 表示为 m 的 6.已知椭圆 C : 4
函数,求 | AB | 的取值范围

2 7.已知抛物线 C : x ? y , C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴于点 M ,

过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N .若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值.

8.椭圆的

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 1,2 ,直线 l 的斜率为 2 与椭圆交于 A, B 两点,求 ?PAB的面积的最大值 2 4

? ?

16

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点 A 和右顶点为 B ,点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS , BS 与 9.椭圆 4
直线 l : x ?

10 分别交于 M , N 两点,求线段 MN 的长度的最小值 3

10.已知椭圆 C 1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C 2 的左、右焦点分别为 C 1 的左、右顶点,而 C 2 的左、右 4

顶点分别是 C 1 的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线 C 2 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 1 及双曲线 C 2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C 2 的两个交点 A, B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围.

11.设圆 C 与两圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4,( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外切 (Ⅰ)求圆 C 的圆心轨迹 l 的方程 (Ⅱ)已知点 M (

3 5 4 5 , ), F ( 5, 0) ,且 P 为 l 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时 P 的坐标. 5 5

12.若曲线 C : y ? 4 x 的准线交 x 轴于 N ,过 N 的直线交曲线 C 于 AB 两点,又 AB 的中垂线交 x 轴于点 E ,
2

求 E 横坐标取值范围

17

13.已知 E 的方程为 y 2 ? 6 x ,过点 F (0, ) 作互相垂直的直线 l1 , l2 ,交轨迹 E 于 M,N 和 R, Q ,求四边形

3 2

MRNQ 面积的最小值

14.椭圆 C :

? x2 y2 2? ? 是椭圆上一点,且 M 到两 3, ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) , M ? 2 ? ? 2 a b ? ?

焦点之和为 4 (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)设与 OM 垂直的直线交椭圆于 A, B 两点,求 OA ? OB 的取值范围

?1? y ? 2 p 2 ? 2 p2
k

2

? 2 p 2 ?2? y ? 6 2 ?

t 2 ? 2t ? 1 ? t ?1 t ?1 ? 2 ? ? 18 2 ? ? 9 2.?3? y ? 3 2k ? ? 2 k 2t ? 5t ? 2 ? 2t ? 1 t ? 2 ?

?4? y ?

1 ( x ? 2) k ? 1, 2 ? 2k ? k ? 2
2

? ?

1 2 1 2 1 21? 2 b ? ? 2 ? 2或b ? 2 ?5? | NP | ? ( x ? ) ? ( y ? ) ? ? , ? 2 2 ?4 6 ?
? ? ? ?

?6? AB 2 ?
| MN |?

?m

48m
2

2

?3

?

2

? ?0,4?

? b2 b2 ? 4 ? ? 2 ?7 ?k 2 ? tk ? 1 ? 2t 2 ? 0, ? ? 0 ? t ? 2 . ?8?S ? ? 3 2

, 2 , ?9 ? S (

2 ? 8k 2 4k , ), 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

16k 1 ? 3 3k

?10?(?1,? 13 ) ? (? 3 ,? 1 ) ? ( 1 , 3 ) ? ( 13 ,1). 15 3 2 2 3 15

?11? x

2

4

? y 2 ? 1, d ? 2, l : y ? ?2 x ? 5

?

?

? 6 2 ? ,? ? 15x 2 ? 32 5x ? 84 ? 0 P? ? ? ?12??3,??? ?13?72 5? ? 5

x2 y 2 3b 2 ? 28 ? 28 50 ? 2 2 2 ?14? ? ? 1,13x ? 4 6bx ? 2b ? 4 ? 0, ? ? 0 ? b ? 26.OA? OB ? ? ?? , ? 4 2 13 ? 13 13 ?

?

?

18

2015 高考圆锥曲线专题复习:圆锥曲线与圆
已知以 A, B 为直径的圆和点 C ,由向量知识可知, 点 C 在圆内 ?
2

,点 C 在圆上 ?

,点 C 在圆外 ?



1.设过原点的直线 l 与抛物线 y ? 4?x ? 1? 交于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好过抛物线的焦点 F (Ⅰ)求直线 l 的方程 (Ⅱ)求 AB 的长

2.定点 C ?4,0 ? 和一定直线 l : x ? 1, P 为该平面上一动点, 作 PQ ? l , 垂足为 Q , 且 PC ? 2PQ PC ? 2PQ ? 0 (Ⅰ)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线 C 的方程 (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与 C 交于两点 A, B ,是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过点 D?0,?2? , 若存在,求出 k 的值,若不存在,说明理由

?

??

?

3.已知双曲线离心率为 2 ,且过点 4,? 10 (Ⅰ)求双曲线方程

?

?

(Ⅱ)若点 M ?3, m? 在双曲线上,求证:点 M 在以 F1 , F2 为直径的圆上 (Ⅲ)求 ?F1 MF2 的面积

19

4.直线 l : y ? kx ? 1与双曲线 C : 2 x ? y ? 1 的右支交于不同的两点 A, B
2 2

(Ⅰ)求实数 k 的取值范围 (Ⅱ)是否存在 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F ? 求出 k 的值

5.已知直线 l 过定点 A?4,0 ? 且与抛物线 C : y ? 2 px?( p ? 0) 交于 P, Q 两点,若以 PQ 为直径的圆恒过原点 O ,
2

求 p 的值

6.设 F1 ?0,3? 是椭圆的 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程

y2 x2 3 ? 2 ? 1 的一个焦点, M ?x,4??x ? 0? 为椭圆上一点, ?MOF1 的面积为 2 a b 2

(Ⅱ)是否存在平行于 OM 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,且以线段 AB 为直径的圆恰好 经过原点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由

20

7.已知定点 A?? 1,0?, F ?2,0? ,定直线 l : x ?

1 ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍. 2

设点 P 的轨迹为 E ,过点 F 的直线交 E 于 B, C 两点,直线 AB, AC 分别交 l 于点 M , N (Ⅰ)求 E 的方程 (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F ,并说明理由

8.己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C : (Ⅰ)求 C 的离心率

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B, D 两点,且 BD 的中点为 M ?1,3? a 2 b2

(Ⅱ)设 C 的右顶点为 A, 当右焦点坐标为 F ?2, 0? 时,证明:过 A, B, D 三点的圆与 x 轴相切

2 x2 y2 9.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,抛物线 y 2 ? 4 2 x 的焦点 F 2 a b
恰好是该椭圆的一个顶点. (Ⅰ)求椭圆方程 (Ⅱ)已知圆 x2 ? y 2 ?

2 的切线 l 与椭圆相交于 A, B 两点,那么以 AB 为直径的圆是否经过定点,如果是, 3

求出定点的坐标,如果不是,请说明理由

21

10.椭圆的焦点坐标为 F1 ?? 1,0 ? , F2 ?1,0 ? ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ? 3 , (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M , N ,则 ?F1 MN 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这 个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由

?1?y ? ?

2 2 x y 14 2 ? ? 1.k ? ? ?3? x ? y ? 1.6.?4? ? 2 ? k ? ? 2 , k ? ? 6 ? 6 . ?5? x, AB ? 4 3. ?2? 4 12 4 6 6 5 2

2

2

y 2 ? 4 x? .

x2 y2 y2 4k 2 4k 2 ? 3 2 ?6? ? ? 1 y ? 4x ? 102 ?7?x ? ? 1,y ? k ?x ? 2? ? x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2 ? 2 9 18 3 k ?3 4k ? 3
l AB : y ? ? 3 3 y1 ? y1 k 2 ? 1 x1 x 2 ? 1 ? 2k 2 ? x1 ? x 2 ? ? 4k 2 ? 1 ? ?x ? 1?, FM ? ? , ? ? FM ? FN ? ?0 ? 2 2 x ?1? ?x1 ? 1??x 2 ? 1? x1 ? 1 1 ? ?
0

?

?

?

?

?

?

?y ? x ? 2 b 2 ? y0 ? F ? 90 ? A ? 90 ? AB ? AC ? 0 ?8?k ? 2 ? e ? 2, ? 2 y 2 ? 2 x 2 ? 4 x ? 7 ? 0, AB ? AD ? 0 a ? x0 ?1 ?x ? 3 ?
0

?9? x

2 2b 2 ? 2t 2 ? 2tb 3b 2 ? 2 t 2 ? 1 ? y 2 ? 1, x ? ? ? O?0,0?.x ? ty ? b ? x1 x2 ? 2 , y1 y2 ? 2 , OA ? OB ? ? 0. d ? r ? 3b 2 ? 2t 2 ? 2 . 2 3 t ?2 t ?2 t2 ? 2
2

?

?

?

?

?10?S ?FMN

1 2 2 2 ? 4a ? R ? 4 R ? ?S ?FMN ?max ? S max . 3t 2 ? 4 y 2 ? 6ty ? 9 ? 0.?S ?FMN ? ? y1 ? y 2 ? ? y1 ? y 2 ? 2 t 2 ?1 1 3 9? ? 4 y1 y 2 ? 144? ? 144? ? 9. m ? t 2 ? 1 ? 1 ? S ?FMN ? 3 ? R ? ? S ? 2 1 4 16 3t 2 ? 4 9m ? ? 6 m ?

?

?

?

?

?

?

22

2015 高考圆锥曲线专题复习:重心问题
m2 x2 ? 0 ?m ? 1? ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1 , F1 , F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 1.已知直线 l : x ? my ? 2 m
(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程 (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, ?AF1 F2 , ?BF1 F2 的重心分别为 G , H ,若原点 O 在以线段 GH 为直径 的圆内,求实数 m 的取值范围.

2.设椭圆 C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1 ,抛物线 C 2:x 2 ? by ? b 2 , 2 a b

(Ⅰ) C 2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率,设 A?0, b ? , Q? 3 3, b ? ,又 M , N 为 C1 与 C 2 不在 y 轴上的

? ?

5 ? 4 ?

两个交点,若 ?AMN 的重心为 B ? 0, b ? ,且 ?QMN 的重心 E 在 C 2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C 2 的方程 (Ⅱ)设 A?0, b ? , Q? 3 3, b ? ,又 M , N 为 C1 与 C 2 不在 y 轴上的两个交点,若 ?AMN 的垂心为 B ? 0, b ? , 且 ?QMN 的重心 E 在 C 2 上,求椭圆 C1 和抛物线 C 2 的方程

? ?

3 ? 4 ?

? ?

5 ? 4 ?

? ?

3 ? 4 ?

23

m2 ?0上 3.已知 m 是非零实数,抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 在直线 l : x ? my ? 2
2

(Ⅰ)若 m ? 2 ,求抛物线 C 的方程 (Ⅱ)设直线 l 与抛物线 C 交于 A, B , 过 A, B 作准线垂线交于 A1 , B1 两点, ?AA 1 F , ?BB 1 F 的重心分别 为 G , H 求证:对任意非零实数 m , 抛物线 C 的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外

? m2 x ? m y ? ? m2 ? x2 m m 1 ?x y ? ?x y ? ? 2 ?1?F ? ? y1 ? y 2 ? ? , y1 ? y 2 ? ? , G? 1 , 1 ?, H ? 2 , 2 ?, 2 ? 2 ,0 ? ? 2 ? y ? 1.? 2 8 2 ?3 3? ? 3 3 ? ? ? ?x 2 ? m 2 y 2 ? m 2 ? 0 ? OG ? OH ? 0 ? m 4 ? 3m 2 ? 4 ? 0 ? m ? ?1, 2?.?2??1?e ? 2 ? 3 ? 5b ? 5b ? ? 5b ? ? ? , B? 0, B ? ? M ? x1 , ?, N ? ? x1 , ? ? E ? 3 , ? 2 8 ? ? 8 ? 6? ? 4 ? ? ?

? ? 5b b ? b? 16 ?MB ? AN ? 0 ? ? b 2 ? 18, a 2 ? 36.?2?M ?x, y ?, N ? x,? y ?, ? ? M? ,? ? ? E ? 3 , ? ? C 2 ? b 2 ? 4, a 2 ? . ? ? 4? 4? 3 ? ? ? 2 ?N ? C2 ? ? x1 2 y1 ? G , ? ? m2 3 ? ? ? ?x ? m y ? ? y1 ? y 2 ? 2m ? ? 3 3 ? 2 ?3?y ? 8 x, ? ,? , EG ? EH ? 12m 2 ? 0 ? 圆外 3 ?? 4 x 2 y ? ? ? y 2 ? 2m 2 x ?H ? ? y1 y 2 ? ?m ? 2, 2? ? ? ? ? 3 3 ?
24

2015 高考圆锥曲线专题复习:相切问题
3 x2 y2 , 抛物线 x 2 ? 2 py ? p ? 0? ? 2 ? 1 , ?0 ? b ? 2? 的离心率等于 1.已知椭圆 2 4 b
(Ⅰ)若抛物线的焦点 F 在椭圆的顶点上,求椭圆和抛物线的方程 (Ⅱ)若抛物线的焦点 F 为 ? 0, ? ,在抛物线上是否存在点 P ,使得过点 P 的切线与椭圆相交于 A, B 两点,且 满足 OA ? OB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

? ?

1? 2?

2. A, B, C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点, A 是右顶点, BC 过椭圆中心 O , 且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)若过 C 关于 y 轴对称的点 D 作椭圆的切线 DE ,则 AB 与 DE 有什么位置关系?证明你的结论.
y

C O A
x

B

3.直线 AB 过抛物线 x ? 2 py 的焦点 F ,并与其相交于 AB 两点, Q 是线段 A, B 的中点, M 是抛物线的准线
2

与 y 轴的交点, O 是坐标原点. (Ⅰ)求 MA ? MB 的取值范围 (Ⅱ)过 AB 两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于 N 点.求证: MN ? OF ? 0, NQ // OF

25

2 2 4.已知直线 l : y ? x ? 6 ,圆 O : x ? y ? 5 ,椭圆 E :

y 2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? .直线 l 被圆 O 2 a b 3

截得的弦长与椭圆的短轴长相等. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程 (Ⅱ)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线.若切线都存在斜率,求证这两条切线互相垂直.

5.如图, P 是抛物线 C : y ?

1 2 x 上一点,直线 l 过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q . 2

(Ⅰ)若直线 l 与过点 P 的切线垂直,求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程 (Ⅱ)若直线 l 不过原点且与 x 轴交于点 S ,与 y 轴交于点 T ,试求

| ST | | ST | ? 的取值范围. | SP | | SQ |

6.已知点 A?0,?1?, B 点在直线 y ? ?3 上, M 点满足 MB // OA, 且有

MA ? AB ? MB ? BA, M 点的轨迹为曲线 C
(Ⅰ)求 C 的方程 (Ⅱ) P 为 C 上的动点, l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值

26

7.已知椭圆 C1 :

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为1 . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程 (Ⅱ)设点 P 在抛物线 C 2 : y ? x ? h (h ? R) 上, C 2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的
2

中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

2 2 8. P 是抛物线 C 1 : x ? y 上的动点.过 P 作圆 C 2 : x ? ( y ? 3) ? 1 的两条切线,交直线 l : y ? ?3 于 A, B
2

(Ⅰ )求 C 2 的圆心 M 到抛物线 C1 准线的距离 (Ⅱ )是否存在点 P ,使线段 AB 被抛物线 C1 在点 P 处得切线平分,求出点 P 的坐标

? a2 y ? ax ? ? ? a ?? 2 ? 4a 2 ? 1 x 2 ? 4a 3 x ? a 4 ? 4 ? 0, OA ? OB ? 0 ? a 2 ? 4, ?? ? 108 ? 0? ? P?? 2,2? ?1? p? ? a, 2 ? ?, ? 2 x ? ? ? ? y2 ? 1 ? ?4
2

?

?

?

?

?2? x

2

4

?

x x 3y y p 1 3y 2 ? 1 , D ? ?1,1?,? ? 0, k ? ? 0 ? 0 ? 1, D ? ?1,1? . ? 3? y ? kx ? ? 2 3 4 4 4
2

? x2 ? x p? ? x ? x2 ?2 py ? 2 xx1 ? x1 x2 ? 2 pkx ? p2 ? 0 ? MA ? MB ? p2k 2 ? 0 A? ? ? x , , k ? ? ? N? 1 ,? ? ? ? ? 2 ? 2p ? p ? ?2 py ? 2 xx2 ? x 2 ? 2 2?

?4? y

2

3

?

x2 2 2 2 ? 1, 2k 2 ? 3 x 2 ? 4k ? y0 ? kx0 ?x ? 2?kx0 ? y0 ? ? 6 ? 0.? ? 0 ? 2 ? x0 k 2 ? 2kx0 y0 ? y0 ? 3 ? 0 ? k1 ? k2 ? ?1 2

?

?

?

?

?

?

? 5? y ? x 2 ?
2b

ST ST ?1 1 ? 1 1 ? 1? x ? 0 ? , y ? kx ? b, y ? x 2 ? y 2 ? 2 ? k 2 ? b ? y ? b 2 ? 0, ? ? b ? ? ?? 2 2x 2 SP SQ ? y1 y2 ?

1 2 1 2 1 1 1 ?2b ? ? 2, ?? ? ?6?y ? x ? 2, l : tx ? 2 y ? t ? 4 ? 0 ? d ? 2 4 2 2 y1 y2 b
2

?t

2

?4 ?

?

16 ?8 ? 2 t ?4
2

? 7 ? p ? t , t 2 ? h ? , k ? 2t , 4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 0. ? ? 4t 2 ? 4 ? x 2 ? 4t ? h ? t 2 ? x ? ? ?h ? t 2 ? ? ?
?

3 4 2 2 t ? th ? 4? ? 0. ? ? ? t ? 2 h ? 2 t ? 4 ? h . ? ? ? ? 2t 2 ? 2

2 ? ?h ? ?3 ? ? ? 0 t ?1 11 ? ?y ? t ? k ? x ? t?,d ? r ? t 2 ? ? h ? 1? t ? 1 ? 0, ? ' ? 0 ? ? . ?8? d ? , p ? t , t 2 ? , ? ? ? 4 8, 2 2 2 h ? 1, h ? 1 ? t ? ? 1 ? ? 0 2 4 ? ? y ? t ? 2 t x ? t ? ? ? ? ? ?

?

?

27

2015 高考圆锥曲线专题复习:轨迹方程
求轨迹问题常用方法有:待定系数法,定义法,直接法,转移代入法,消参法 一、待定系数法: 1.与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 3 2, 2 的双曲线 15 5

?

?

二、定义法:
2 2.已知 A?0,?2?, B 是圆 F : x ? ? y ? 2 ? ? 36 上一动点( F 为圆心),线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P ,求动 2

点 P 的轨迹方程

3.一动圆与圆 C1 : x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心的轨迹方程
2 2

三、直译法: 4.已知动点 M 与两个定点 O(0,0) 、 A(3,0) 距离之比为

1 ,动点 M 的轨迹方程 2

四、相关点法: 5.从圆 x ? y ? 25上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP' , P? 为垂足,且线段 PP' 上一点 M 满足关系式
2 2

PP? : MP? ? 5 : 4 ,求点 M 的轨迹方程

五、消参法: 6.过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程
2

28

2 2 2 2 2 2 x2 y2 ?1? ? ? 1 ?2? y ? x ? 1.?3? x ? y ? 1.?4??x ? 1?2 ? y 2 ? 4.?5? y ? x ? 1 ?6?x 2 ? 6 y 12 8 9 5 36 27 25 16

1.椭圆 C 焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

? ? ,求点 M 的轨迹方程

2.过双曲线 y ? 3x ? 3 的上支上一点 P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于点 A, B
2 2

(Ⅰ)求证: OA ? OB 为定值 (Ⅱ)若 OB ? AM ,求动点 M 的轨迹方程

3.设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点 a 2 b2

(Ⅰ)设椭圆 C 上的点 ? 3,

? ? ?

3? ? 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4, 写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 2 ? ?

(Ⅱ)设 k 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (Ⅲ)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 l 与椭圆相交于 M , N 两点,当直线 PM , PN 的斜率 都存在,并记为 k PM , K PN 试探究 k PM

? K PN 的值是否与点 P 及直线 l 有关,并证明你的结论

29

4.椭圆

x2 y2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )离心率为 ,以原点为圆心椭圆短半轴长为半径的圆与直线 y ? x ? 2 相切 2 a b 3

(Ⅰ)求 a 与 b (Ⅱ) 设该椭圆的左, 右焦点分别为 F1 和 F 2 , 直线 l1 过 F 2 且与 x 轴垂直, 动直线 l 2 与 y 轴垂直,l 2 交 l1 于点 P . 求线段 PF1 垂直平分线与 l 2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型

5.已知圆 C : x ? y ? 4
2 2

(Ⅰ)直线 l 过点 P?1,2? ,且与圆 C 交于 A, B 两点,若 AB ? 2 3 ,求 l 的方程 (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量 OQ ? OM ? ON , 求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

6.已知定点 A?? 2,0? ,动点 B 是圆 F : ( x ? 2) ? y ? 64 上一点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P
2 2

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 E 的方程 (Ⅱ)直线 y ? 3x ? 1与曲线E 交于 M , N 两点,试问在曲线 E 位于第二象限部分上是否存在一点 C , 使 OM ? ON与OC 共线 ?O 为坐标原点

? ? 若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

30

7.已知点 B 与点 A?? 1,1? 关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ? (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程

1 . 3

(Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x ? 3 交于点 M , N ,问:是否存在点 P 使得 ?PAB与 ?PMN 的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由

8.已知 F1 ?? 2,0?,F2 ?2,0? ,点 P 满足 PF 1 ? PF 2 ? 2 ,记点 P 的轨迹为 E . (Ⅰ)求轨迹 E 的方程 (Ⅱ)若直线 l 过点 F 2 且与轨迹 E 交于 P, Q 两点.设点 M ?m,0? ,问:是否存在实数 m ,使得直线绕点 F 2 无论怎样转动,都有 MP ? MQ ? 0 成立?若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.

9.已知点 P 到点 F ?3,0 ? 的距离的 4 倍与它到直线 x ? 2 的距离的 3 倍之和记为 d , 当 P 点运动时, d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M , N 两点,求线段 MN 长度的最大值

?1? x

2

16

?

b ? ? x2 ? ? y2 9? 2 2 2 2 2 2 ??? x1 ? , ? ? ? ? 1, M ?x, y ?, P? x, 7? 1 ? ? ? x ? ? y ? 7 . 2 y ? kx ? b , ? ? 0 ? k ? b ? 3 ? 0 ? ? ? 16 ? ? k ? 3 ? 7 16 ? ? ? ?? ?

x2 ?

?b k? 3

? OA ? OB ?

b2 y2 x2 ? 2b 2 ? ? ? ? 3 k ? k ? ? . 4 ? ? 1? y ? 0? ?5?3x ? 4 y ? 5 ? 0, x ? 1 ? ? 2 PM PN 16 4 a2 k2 ?3
2

2 2 y PB PM ? 5 33 ? x ?1 3 ? x 5 ? ?8?x 2 ? ? 1.m ? ?1. ?7??1? x ? 3 y ? 1, ?x ? ?1, y ? ?1?. ? ? ? ? x? ?? , ? ? 3 4 4 PN PA 3 ? x x ?1 3 3 9 ? ?

?C1 : y 2 ? 12x.?0 ? x ? 2?.PF ? 3 ? x 2 2 2 2 ?9?? ? x2 y2 1 . A 2,2 6 .M , N ? C 2 ? k ? 2 6 , 4k ? 3 x ? 24k x ? 36k ? 108 ? ? C : ? ? 1 . 2 ? x ? 6 . PF ? 6 ? x ? 2 36 27 2 ? 12k 2 100 100 ? 0. MN ? 12 ? ? ? AE . k ? 2 6 , M ? C1 , N ? C 2 , MF ? AF , NF ? EF ? MN ? AE ? . 2 11 11 3 ? 4k

?

?

?

?

?

?

31

2015 高考圆锥曲线专题复习:定点定值问题
1.已知直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于不同的 A, B 两点. (Ⅰ) l 过抛物线的焦点,求 OA ? OB 的值 (Ⅱ)若 OA ? OB ? ?4 ,求证:直线 l 必过一定点,并求出该定点

2.已知椭圆 C :

x2 2 ? y 2 ? 1 ,圆 M : x 2 ? y 2 ? 的切线 l 与椭圆相交于 A, B 两点,那么以 AB 为直径的圆是 2 3

否经过定点?如果是,求出定点的坐标,如果不是,请说明理由

3.已知动圆 C 与圆 C1 : ?x ? 1? ? y 2 ? 1 相外切, 与圆 C2 : ?x ? 1? ? y 2 ? 9 相内切, 设动圆圆心 C 的轨迹为 T ,
2 2

且轨迹 T 与 x 右半轴的交点为 A (Ⅰ)求轨迹 T 的方程 (Ⅱ)已知直线 l : y ? kx ? m 与 T 相交于 M , N 两点, ( M , N 不在 x 轴) ,若以 MN 为直径的圆过点 A , 求证:直线 l 过定点,并求该定点坐标

32

4.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点为 A, B ,右焦点为 F , 设过点 T ( t, m )的直线 TA, TB 与椭圆分别交于点 9 5

M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,其中 m ? 0 , y1 ? 0, y 2 ? 0
2 2 (Ⅰ)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹

(Ⅱ)设 x1 ? 2, x2 ?

1 ,求点 T 的坐标 3

(Ⅲ)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)

2 O 为坐标原点, 5.已知 A, B 是抛物线 x ? 2 py, ? p ? 0? 上的两个动点, 非零向量 OA, OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB

(Ⅰ)求证:直线 AB 经过一定点 (Ⅱ)当 AB 的中点到直线 y ? 2 x ? 0 的距离的最小值为
2 5 时,求 5

p 的值

6.椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1 离心率 e ? ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 2, 3 ,点 F 2 在线段 PF1 的中垂线上 2 2 a b

?

?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 M , N 两点,直线 F2 M , F2 N 的倾斜角分别为 ? , ? ,且 ? ? ? ? ? , 求证:直线 l 过定点,并求定点的坐标

33

7.在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0,p) 作直线与抛物线 x ? 2 py ? p ? 0? 相交于 A, B 两点.
2

(Ⅰ)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值 (Ⅱ)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程; 若不存在,说明理由. y

C A O N

B x

8.点 F ?1,0 ? 为椭圆 C :

x2 y2 12 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的右焦点,过点 A?a,0?, B?0, b? 的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 相切 2 a b 7

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)过点 F 的直线交椭圆 C 于 M , N 两点,求证:

1 1 ? 为定值 MF NF

9.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 4 ,过右焦点 F 的直线 l ' 与椭圆交于异于左顶点 A 的 P, Q 4 3

两点,直线 AP , AQ 交直线 l 分别于点 M,N (Ⅰ)当 AP ? AQ ?

9 时,求此时直线 l ' 的方程 2

(Ⅱ)试问 M,N 两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

34

10.已知椭圆 C :

x2 y2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点 F2 到直线 l1 : 3x ? 4 y ? 0 的距离为 . 2 a b 2 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)过椭圆右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭 圆 C 相交于 E、 F 两点, A 为椭圆的右顶点,直线

AE,AF 分别交直线 x ? 3 于点 M ,N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 PF2 的斜率为 k ? ,求证: k ? k ? 为定值.

11. 椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 离心率为 ,且过点 2,2 ,四边形 ABCD 的顶点都在椭圆上,且对角线 2 a b 2

?

?

AC 、BD 过原点 O, k AC ? k BD ? ?
(Ⅰ)求椭圆方程 (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围

b2 , a2

(Ⅲ)求证:四边形 ABCD 的面积为定值

?1? ? 3, ?2,0? ?2?k ? 0, ?0,0? ?3? x
c ?6?E? 1 ? , ? ? ?

2

4

?

y2 ?2 ? 9 10 ? ? 1.7m 2 ? 16km ? 4k 2 ? 0, ?2,0?, ? ,0 ? ?4?x ? , ? ?1, 0? ?5??0,2 p ?,2 ? 7, ?, 3 2 ? 3? ?7 ?

2kx1 x2 ? ?m ? k ??x1 ? x2 ? ? 2m ? 0 ? m ? 2k

3? x2 ?, EF2 ? F1 P ? 0 ? c ? 1 ? ? y 2 ? 1, 2k 2 ? 1 x 2 ? 4km x ? 2m 2 ? 2 ? 0, k FM ? k FN ? 0 ? ? 2 2 ? 2

?

?

?

?





















?7?2

2 p 2 , PQ2 ? 2HQ2 ? 4?O' Q 2 ? O' H 2 ? ? y1 ?4a ? 2 p? ? ?4ap ? 4a 2 ?

x2 y2 ?8?C : ? ? 1, 1 ? 1 ? 4 .?9?k 2 ? 3 . yM ? 6 y1 , y N ? 6 y2 ? yM y N ? ?9 4 3 MF NF 3 2 x1 ? 2 x2 ? 2

?10?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0, y ? k ?x ? 1?l : y ?

? y1 y ? ?x ? 2? ? M ? 3, 1 ? ? ?? x1 ? 2 ? x1 ? 2 ?

? 2 x1 x 2 ? 3? x1 ? x 2 ? 4 ? ? 3 p? ? 3, 2? x x ? 2? x ? x ? ? 4 ? ? ? k ' ? ? 4k . 1 2 1 2 ? ?

35

y2 1 ? 1.l AB : y ? kx ? b ? 2k 2 ? 1 x 2 ? 4km x ? 2m 2 ? 8 ? 0.k OA ? k OB ? ? ? m 2 ? 4k 2 ? 2 8 4 2 ?1 m ? ?4 2 2 ??8 2 ? ? OA ? OB ? 2 ? 2 ? ?? 2,0? ? ?0,2?.S ABCD ? 4 S AOB ? 4 ? ? 1 ? k x ? x ? 4 x x ? 1 2 1 2 ?2 ? 2k ? 1 1? k 2 ? ?

?11? x

2

?

?

?

?

?

2015 高考圆锥曲线专题复习:矩形菱形及其证明
1.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? 右焦点 F2 的直线交椭圆于 M , N 两点,F1 为其左焦点,已知 ?MF1 N 的周长为 a 2 b2
3 2

8 ,椭圆的离心率为
(Ⅰ)求椭圆方程

(Ⅱ)已知点 D?1,0 ? ,直线 l : y ? kx ? m, ?k ? 0?与椭圆交于 A, B 两点,以 DA 和 DB 为邻边的四边形是菱形, 求 k 的取值范围

2.已知菱形 ABCD 的顶点 A, C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为1
2 2

1) 时,求直线 AC 的方程 (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0,
(Ⅱ)当 ?ABC ? 60 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.
0

3.已知圆 M : ( x ? 5 ) 2 ? y 2 ? 36, 定点N ( 5,0),点P为圆M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且 满足 NP ? 2NQ, GQ ? NP ? 0 . (Ⅰ)求点 G 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ) 过点 ?2,0? 作直线 l , 与曲线 C 交于 A, B 两点,O 是坐标原点, 设 OS ? OA ? OB, 是否存在这样的直线 l , 使四边形 OASB的对角线相等(即 OS ? AB )?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由. 36

2 4. F 为椭圆 C : x ?

y2 ? 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 ? 2 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点,点 P 满 2

足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上 (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点是点 Q ,求证四点 A, P, B, Q 共圆

5.设 x, y ? R, i, j 为 x 、 y 轴正方向上的单位向量,向量 a ? xi ? ? y ? 2? j , b ? xi ? ? y ? 2? j ,且 a ? b ? 8 (Ⅰ)求点 M ?x, y ? 的轨迹 C 的方程 (Ⅱ)过点 ?0,3? 作直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样的直线 l ,使得四边形

OAPB是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

x2 y2 1 6.设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A ,离心率 e ? ,在 x 轴负半轴上有 2 a b
一点 B ,且 BF2 ? 2 BF 1 (Ⅰ)若过 A, B, F2 三点的圆恰好与直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,过右焦点 F 2 作斜率为 k 的直线 l ' 与椭圆 C 交于 M , N 两点,在 x 轴上是否存在点

P?m,0? ,使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 m 的取值范围

37

7.已知一个圆心在坐标原点,半径为 2 的圆,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP' , P ' 为垂足. (Ⅰ)求线段 PP' 中点 M 的轨迹 C 的方程

4 ? (Ⅱ) 过点 Q?? 2,0? 作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点, 设 N 是过点 ? 未找到引用源。 且以 a ? ?0,1? ? ? ,0 ? ,错误! ? 17 ?
为方向向量的直线上一动点,满足 ON ? OA ? OB ( O 为坐标原点) ,问是否存在这样的直线 l ,使得四边 形 OANB 为矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. (ⅰ) 若 AB ?

4 2 ,求直线 l 的倾斜角 5

(ⅱ)点 Q ? 0, y0 ? 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 .求 y 0

?? ? 0 ? m 2 ? 4 k 2 ? 1 x2 1 2 2 ?1? ? y 2 ? 1, 4k 2 ? 1 x 2 ? 8km x ? 4m 2 ? 4 ? 0, ? ? ? ? 4km x m ? 4k 2 ? 1 ? 5k ? 1 ? 0 ? k ? . 4 5 , 2 ??m? ?M ? 2 ? 3k ? ? 4k ? 1 4k ? 1 ?

?

?

?

?

?2?x ? y ? 2 ? 0,4
?4?4 x 2 ? 2

3. ?3?

x2 y2 3 ? ? 1 若 l 的斜率不存在 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0得k ? ? 9 4 2

? ? ? 2 ? 6 3 ?1? ? 2 ? 6 1? 3 ? 2 ? ? ?, B? ?, k AQ ? 6 ? 2 2 2 x ? 1 ? 0 ? P? , , ? ? 2 ,?1?, l : y ? ? 2 x ? 1, A? ? 4 2 ? 4 2 ? ? ? ? ? ? ?

k Ap ? 6 ? 2 2 k BP ? 2 2 ? 6 k BQ ? ? 6 ? 2 2 tan A ? ?4 2, tanB ? 4 2 , A与B, P与Q互补,

?5? x

5 y2 ? 48k 2 ? 36 5 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 y ? ? x ?3. ? 1, 3k 2 ? 4 x 2 ? 18kx ? 21 ? 0. y1 y2 ? ? k2 ? 2 4 16 12 3k ? 4 16
2

?

?

?

?6? x

2

4

?

? 4k 2 y2 ? 3k ? k2 ? 1? ? ? 1,y ? k ? x ? 1?. 4k 2 ? 3 x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0.G? , 2 ,m ? 2 ? m ? ? 0, ? 2 ? ? 3 4k ? 3 ? 4? ? 4k ? 3 4k ? 3 ?

?

?

?

?

38

?7 ? y

2 14 1 ? x 2 ? 1 y ? ? ( x ? 2). k ? ?1当 k ? 0 时 y0 ? ?2 2 或 y0 ? ? 5 4 2

2

2015 高考圆锥曲线专题复习:函数方程综合运算
1.直线 l 过点 E ?2,0 ? 交 C : x ?
2

y2 ? 1, 交于 M , N 两点,且 ME ? 3EN ,求 l 的方程. 3

2.设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点,直线 l 的 a 2 b2

倾斜角为 600 , AF ? 2 FB (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 (Ⅱ)如果 AB ?

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

3.直线 l 过点 P?0,m? 交 C : 2 x ? y ? 1 于 M , N 两点,且 MP ? 3PN ,求 m 的范围.
2 2

4.直线 l 过点 F ?0,2 ? 交 C :

x2 ? y 2 ? 1, 于 G , H 两点(点 G 在点 F , H 之间) ,且 FG ? ? FH ,求 ? 的取值范围 2

5.椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1, 直线 l 过点 D ?2,0 ? 与 C 交于点 E , F ,设 S ?ODE : S ?ODF ? ? ,求 ? 的取值范围 2

39

2) , N (0, ? 2) ,且点 P 到这两点的距离和等于 6 6.已知两点 M (0,
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程 (Ⅱ)若 A, B 是动点 P 的轨迹上的两点,且 M 分有向线段 AB 的比为 2 ,求线段 AB 所在直线的方程.

7.已知椭圆

x2 y2 a2 a ? b ? 0 ? ? 1 E ( ,0) 的直线与 ( )的两个焦点分别为 ,过点 F ( ? c , 0 ), F ( c , 0 )( c ? 0 ) 1 2 c a2 b2

椭圆相交于点 A , B 两点,且 F1 A ? 2F2 B (Ⅰ)求椭圆的离心率 (Ⅱ)求直线 AB 的斜率 (Ⅲ) C 与 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H ?m, n ? ( m ? 0 )在 ?AF1C 的外接圆上,求

n 的值 m

?1?x ? ty ? 2, ? y1 ? y2 ?
y1 y2
2

2

4 1 y 2 1 2 ? ? ? t 2 ? .?2? 1 ? ?2 ? y1 y2 ? 2? y1 ? y2 ? ? 0 ? e ? , a ? 3.?3? ? m2 ? 1 3 15 y2 3 4
2 32 2 ? 1 ? ?5? 3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 x ? ay ? 2, ?? ? 1? ? 8a 2 ? , k ? ? ? ,1? ? a2 ? 2 3 ?3 ? ? 1 ? 3? 2 ? 2 ? ?k ? 2

?4? x1 ? ? ? ?1 ? ? ?
x2

?

2 ? x1 ? x2 ? ?

x1 x2

?

?

40

? 20k ? x1 ? x2 ? 2 2 ? y2 x2 3 ?7 ?2c ? a ? c ? e ? 3 2 5k ? 9 x1 ?6? ? ? 1, y ? kx ? 2 ? ? ? ? , ? ? 2 ? x x ? 2 x ? x ? 0 ? k ? ? ? 1 2 1 2 c 3 9 5 3 ? x ? x ? ? 25 x2 1 2 2 ? 5k ? 9 ?

? y1 ? y2 ?2 ? 1 ? k ? ? 2 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 18k 2 cx ? 27k 2 c 2 ? 6c 2 ? 0 x1 ? 3c ? 2 x2 , m ? 5c , n ? 2 2c x2 y2 ? ? 1 , x ? ty ? 3 c . , 3 2 3c 2 2c 2 y1 y2 2 3

2015 高考圆锥曲线专题复习:几何综合证明
1.双曲线 C 右焦点为 F

?

? 3, 0 ,一条渐近线 m : x ? 2 y ? 0 ,过点 A (?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? ?1, k ?

?

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程 (Ⅱ)若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 k 的值 (Ⅲ)证明:当 k ?

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 2

2.已知椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M ?2,1? , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴 上的截距为 m?m ? 0? , l 交椭圆于 A, B 两个不同点 (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)求 m 的取值范围 (Ⅲ)求证直线 MA, MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形

3.已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 过点 A?1,?2?
2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程 41

(Ⅱ)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线 l ,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距 离等于

5 ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由 5

4.若曲线 C : y ? 4 x 的准线交 x 轴于点 N ,过 N 的直线交曲线 C 于 A,B 两点,又 AB 的中垂线交 x 轴于
2

点 E , ?ABE 能否为正三角形

5.椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆上任意一点到右焦点 F 的距离的最大值为 2 ? 1 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)已知点 C ( m, 0) 是线段 OF 上一个动点( O 为坐标原点) ,是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 l 与椭 圆交于 A, B 点,使 | AC |?| BC | ,并说明理由

6.已知圆 G : ( x ? 2) ? y ? r 是椭圆
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 的内接△ ABC 的内切圆, 其中 A 为椭圆的左顶点 16

(Ⅰ)求圆 G 的半径 r (Ⅱ)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G 相切.

y

M
A

B F

42

7.抛物线 C : y ? 4 x 焦点为 F ,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D
2

(Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上 (Ⅱ)设 FA ? FB ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 9

8.已知椭圆 C 过点 A?1, (Ⅰ)求椭圆 C 的方程

? 3? ? ,两个焦点为 ?? 1,0?, ?1,0? ? 2?

(Ⅱ) E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值

?1? x

2

2

? y 2 ? 1, k ? ?

2 x2 y2 2 ? ? 1, m ? ?? 2,0? ? ?0,2? ,由(Ⅱ) ? k ? 时, d ? 6 ? 不存在 ?2? 2 8 2 2

2 2 4 y1 ? 1 y 2 ?1 ?M ?2t 2 ? 1,2t ? ? ? 2 ? AB ? 1 ? t ? ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? 4 t ? 1 ? ? 0 ?3?2 x ? y ? 1 ? 0 ?4?? y ? 4 x ? ? ?? ? 2 x1 ? 2 x2 ? 1 ? x ? ty ? 1 ? ? EM ? 2 t 2 ? 1 ? E ?2t ? 1,0 ?

?

2 ? EM 3 4 3 ? 2 ? r? x2 m ? 1? 2 2 2 ? ? ?t ? ?k ?? ?5? ? y ? 1, k ? .? 0 ? m ? ? ?6?B 2 ? r , 1 ? ? AB 2 3 2 16 2 1 ? 2m ? 2? ?

? ?, ? ?
43

15r 2 ? 8r ? 12 ? 0 ? r ?

2 d ? r ? k ? ? 9 ? 41 .F ?x1 , k1 x1 ? 1?, E?x2 , k2 x2 ? 1?, x ? ? 32k ? kEF ? k1 ? k2 ? 3 3 16 16k 2 ? 1 1 ? 16k1k2 4
2

l EF : y ?

3 7 2 1? 4 3 1 ? x ? .d ? ?7 ? ? x ? ? ? y 2 ? . ?8? , (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 4 3 3 2 9? 9 2 ?

2015 高考真题复习:圆锥曲线
1.过点 C ?0,1? 的椭圆
3 x2 y 2 ,椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0) 、 A( ? a, 0) ,过点 C ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

的直线 l 与椭圆交于另一点 D ,并与 x 轴交于点 P ,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q . (Ⅰ)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长 (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值.

2.已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 右焦点为 2 2 ,0 , 斜率为1 的直线 l 与椭圆 G 交与 A, B 2 a b 3

?

?

两点,以 A, B 为底边作等腰三角形,顶点为 P?? 3,2? (Ⅰ)求椭圆 G 的方程 (Ⅱ)求 ?PAB 的面积.

3.已知直线 l : y ? x ? m (I)若以点 M ?2,0? 为圆心的圆与直线 l 切于点 P ,点 P 在 y 轴上,求该圆的方程 (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,直线 l ? 与抛物线 C : x ? 4 y 是否相切?
2

y

P o Q F 44 x

2 4.如图,曲线 G 的方程为 y ? 2 x? y ? 0? 以原点为圆心,以 t ?t ? 0? 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的

正半轴相交于点 A 与点 B , 直线 AB 与 x 轴相交于点 C (Ⅰ)求 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标的关系式 (Ⅱ)设 G 上点 D 的横坐标为 a ? 2 ,求证:直线 CD 的斜率为定值.

5.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A(0, b) 、 B(0, ?b) 和 Q(a, 0) 为椭圆三个顶点. a 2 b2

(Ⅰ)若点 M 满足 AM ?

1 ( AQ ? AB) ,求点 M 的坐标 2
b2 ,证明: E 为 CD 中点 a2

(Ⅱ)设 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆交于 C 、 D 两点,交 l2 : y ? k2 x 于点 E .若 k1 ? k2 ? ?

6.椭圆 G :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的两个焦点为 F1 , F2 ,短轴两端点 B1 , B2 ,已知 F1 , F2 , B1 , B2 四点共圆, a2 b2

且点 N ?0,3? 到椭圆上的点最远距离为 5 2 (Ⅰ)求此时椭圆 G 的方程 (Ⅱ)设斜率为 k ?k ? 0? 的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E , F , Q 为 EF 的中点,问 E , F 两点能 否关于过点 P? 0,

? ? ?

3? ? 、 Q 的直线对称,若能,求出 k 的取值范围,若不能,请说明理由 3 ? ?
45

2 x2 y2 7.已知椭圆 G : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左右焦点为 F1 , F2 ,离心率 e ? ,点 D ?0,1? 在椭圆 E 上 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程 (Ⅱ)设过点 F 2 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 E 于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G ?t ,0 ? , 求点 G 横坐标 t 的取值范围 (Ⅲ)试用 t 表示 ?GAB 的面积,并求 ?GAB 面积的最大值

2 8.抛物线 C1:x ? 2 py? p ? 0?的焦点为 F , 椭圆 C 2 :

3 x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率 e ? , C1 与 C 2 在 2 2 a b

第一象限的交点为 P ? 3 ,

? ?

1? ? 2?

(Ⅰ)求抛物线 C 1 及椭圆 C 2 的方程 (Ⅱ)已知直线 l : y ? kx ? t ?k ? 0, t ? 0? 与椭圆 C 2 交于不同两点 A, B ,点 M 满足 AM ? BM ? 0 ,直线 FM 的斜率为 k 1 ,试证明: k ? k1 ? ?

1 4

x2 2 9.知 A, B 分别为曲线 C : 2 ? y ? 1 ( y ? 0 a ? 0 )与 x 轴的左、右两个交点,直线 l 过点 B ,且与 x 轴 a
垂直, S 为 l 上异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T (Ⅰ)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 AB 的三等分点,试求出点 S 的坐标 (Ⅱ)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O, M , S 三点共线?若存在, 求出 a 的值,若不存在,说明理由

46

10.已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 D ,椭圆 C 的右顶点为 B , a 2 b2

点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS , BS 与直线 l : x ? (I)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值

10 分别交于 M , N 两点 3

(Ⅲ) 当线段 MN 的长度最小时, 在椭圆 C 上是否存在这样的点 T , 使得 ?TSB 的面积为 的个数,若不存在,说明理由 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 ?若存在, 确定点 T 5

11.定点 A?? 2,0? ,动点 B 是圆 F : ( x ? 2) ? y ? 64 ( F 为圆心)上一点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P
2 2

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程 (Ⅱ)是否存在过点 E ?0,?4? 的直线 l 交 P 点的轨迹于点 R , T ,且满足 OR ? OT ? 直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

16 ( O 为原点) ,若存在,求 7

12.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 .过 F1 的直线交椭圆于 B,D 两点,过 F2 的直线交椭圆于 3 2

A, C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P .
(Ⅰ)设 P 点的坐标为 ( x0,y0 ) ,证明:
2 x0 y2 ? 0 ?1 3 2

47

(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值.

13.设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 斜率为1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点, a 2 b2

且 AF2 , AB , BF2 成等差数列 (Ⅰ)求 E 的离心率 (Ⅱ)设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程

14.已知双曲线 C 的一个焦点是 F1 ?? 3,0? ,一条渐近线的方程是 5 x ? 2 y ? 0 . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程 (Ⅱ)若以 k ?k ? 0? 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M , N ,且线段 MN 的垂直平分线与 两坐标轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围. 2

48

?1? | CD |?

(

8 3 1 16 1 ?8k 1 ? 4k 2 ? 0)2 ? (? ? 1)2 ? y ? kx ? 1(k ? 0且k ? ) D ( 2 , ) Q(?4k , 2k ? 1) 7 7 7 2 4k ? 1 4 k 2 ? 1

4

?2? AB : x ? y ? 2 ? 0 , 1 | AB | ?d ? 9 .
2 2

?3 ? P 的坐标为 ?0, 2? ,当 m ? 1,即? ? 0 时相切

?4?c ? a ? 2 ? 2?a ? 2?, k ? 1
y a b? ?5?M ? ? ,? ?.E ?x0 , y0 ? ? k2 ? 0 .k1 ? ? ?2 2? x0 b 2 ? x0 b2 ? ? ? E为中点 a 2 ? k2 a 2 ? y0
f ?? 1? ? 50 ? b 2 ? 35 ? 3? f ? ? ? ? 50 ? b 2 ? 16 ? b? ? x2 y2 ? ? 1. y ? kx ? b 32 16

?b ? 3 ? 2 2 2 ?6?P 2b cos? , b sin ? ? d ? 2b ? 9 ? b sin ? ? 6 sin ? , ? ? ?b ? 3 ? ?

?

?

b ? 1 3 47 ? ? 2kb ? Q? 2 , 2 2k 2 ? 1 , ? ? 0 ? b 2 ? 32k 2 ? 16 ? 0 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 47 ? 0 ? k 2 ? ,k ? 0 ?, k PQ ? ? ? b ? ? k 3 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ?

?

?

?

??

?

?7 ? x
t?

?m ? m 2 ? ? 2 ? ? y 2 ? 1.x ? m y ? 1 ? m 2 ? 2 y 2 ? 2m y ? 1 ? 0 ? M ? 2 , 2 ? ?m? x ? 2 ?? y? 2 ?. y ? 0 ? 2 m ?2 m ?2? ?m ?2 m ?2? ?
2

?

?

1 1 m2 ? 1 2 2 m2 ? 1 3 6 ? 1 1? ? 1? 3 2 ? t ? 0 , . S ? ? 2 ? ? 2 ? t ?1 ? t ? ? .? 2 ? t ? ?. f ' ?t ? ? ??t ? 1? ?4t ? 1? ? ? 2 2 m ?2 2 2 m ? 2 m ? 2 8 m ? 1 4 ? ? ? ?

?8?k ? k1 ? ? 1 ?
4

6k 2 ? 4t

3 2

?9??TAB ? ? , ?

? 2 3? ? a ? a 3k 2 2ak ? ?, 1,2 3 .l : y ? k ?x ? a ? ? a 2 k 2 ? 1 x 2 ? 2a 3k 2 x ? a 4 k 2 ? a 2 ? 0.T ? 2 2 ?? 1 , , 2 2 ? ? ? ? ? 6 3 ? a k ?1 a k ?1? ? 3 ?

?

?

?

?

?

?

? ? 2a 3 k 2 2ak ? ? BT ? ? ? a 2k 2 ? 1 , a 2k 2 ? 1 ? ?.OS ? ?a,2ak ?.BT ? OS ? 0 ? a ? 2 ? ?

?10? S ( 2 ? 8k 2 ,
2

1 ? 4k

4k 16k 1 ), | MN |? ? ?10?t ? ? 3 , t ? ? 5 2 1 ? 4k 3 3k 2 2

x2 y 2 ?11? ? ? 1. y ? kx ? 4 ? 4k 2 ? 3 x 2 ? 32kx ? 16 ? 0 ? k ? ?1 16 12

?

?

?12? S ?

24?t ? 1? 96 ,t ? k 2 , S ? ?2t ? 3??3t ? 2? 25
2

判别式法求值域

?13?

a 2 ? 2b2 kPN ? ?1

x2 y2 ? ?1 18 9

?14? (??, ? 5 )
4

(?

5 5 5 ,0) (0, ) ( , ??) 2 2 4
49

2014-2006 山东高考数学真题:圆锥曲线
(14 理)已知抛物线 C : y ? 2 px, ? p ? 0? 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l 交 C
2

于另一点 B ,交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 FA ? FD ,当点 A 的横坐标为 3 时, ?ADF 为正三角形 (Ⅰ)求 C 方程 (Ⅱ)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E (1)证明直线 AE 过定点,求定点坐标 (2) ?ABE 的面积是否存在最小值,若存在,求出最小值,不存在,说明理由.

(14 文)已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 方程

x2 y2 3 4 10 ? 2 ? 1 的离心率为 ,直线 y ? x 被椭圆 C 截得线段长为 2 a b 2 5

(Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点, ( A, B 不是椭圆 C 的顶点) ,点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB , 线段 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点 (1)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1 , k 2 ,证明存在常数 ? 使得 k1 ? ?k 2 ,并求 ? 的值 (2)求 ?OMN 面积最大值

50

x2 y2 3 (13 理)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 的左,右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截 a b 2
得的线段长为 1 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F1 PF2 的角平分线 PM 交 C 的 长轴于点 M ?m,0? ,求 m 的取值范围 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点. 设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 K1 , K 2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值 kk1 kk2

(13 文)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,短轴长为 2 ,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)A, B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为 设 OP ? tOE ,求实数 t 的值

2 2

6 的任意两点, 射线 OE 交椭圆 C 与点 P , E 为线段 AB 的中点, 4

(12 理)已知 F 是抛物线 C : x ? 2 py 的焦点, M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三
2

点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程

3 4

(Ⅱ)是否存在点 M ,使直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由 (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 交点 D, E ,求当

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B , l 与圆 Q 有两个不同的 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值 2

51

(12 文) 椭圆 M :

3 x2 y 2 ,直线 x ? ?a 和 y ? ? b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程 (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T . 求
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值 | ST |

(11 理)已知直线 l 与椭圆 C :
2 2 2 2

x2 y2 6 ? ? 1 交于 P ? x ? y1 ? . Q ? x1 ? y ? 两不同点,且 ?OPQ 的面积 S ? 3 2 2

(Ⅰ)证明 x1 ? x2 和 y1 ? y2 均为定值 (Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M ,求 OM ? PQ 的最大值

(Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D, E , G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 若不存在,请说明理由

6 2

若存在,判断 ?DEG 的形状;

x2 ? y 2 ? 1 . 如图所示,斜率为 k (k ? 0) 且不过原点的直线 l (11 文)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 3
交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x ? ?3 于点 D ( ?3, m) . (Ⅰ)求 m ? k 的最小值
2 2

(Ⅱ)若 OG ? OD ? OE (1)求证:直线 l 过定点 (2)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ?ABG 的外接圆方程

2

52

(10 理)如图,已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1 , F2 2 a b 2

为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) ,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于项点的任一 点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程 (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,证明: k1 ? k 2 ? 1 (Ⅲ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?若存在,求 ? 的值

(10 文)椭圆

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1 过点 (1, ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 为直线 l : x ? y ? 2 ) ,离心率为 2 a b 2 2

上且不在 x 轴上的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点分别为 A, B 和 C , D , O 为原点 (Ⅰ)求椭圆的标准方程 (Ⅱ)设直线 PF1 、 PF2 的斜率分别为 k1 、 k 2 证明: (1)

1 3 ? ?2 k1 k 2

(2)问直线 l 上是否存在点 P ,使得直线 OA, OB, OC, OD 的斜率 kOA , kOB , k OC , k OD 满足

k OA ? k OB ? k OC ? kOD ? 0 ? 若存在,求出所有满足条件的点 P 的坐标

53

x2 y2 ? ? 1 过 M 2, 2 , N 6 ,1 两点, O 为坐标原点, (09 理)椭圆 E : a 2 b2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程 (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A, B , 且 OA ? OB ? 若存在,写出该圆的方程,并求 AB 的取值范围,若不存在说明理由

?

? ? ?

(09 文)已知向量 a ? (mx, y ? 1) , m ? R 向量 b ? ( x, y ?1) , a ? b ,动点 M ( x, y ) 的轨迹为 E (Ⅰ)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状 (Ⅱ)已知 m ?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A, B , 4

且 OA ? OB ( O 为坐标原点),并求出该圆的方程 (Ⅲ)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C : x ? y ? R ?1 ? R ? 2? 相切于 A1 ,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1 , 4

当 R 为何值时, A1 B1 取得最大值?并求最大值

(08 理) 设抛物线 x ? 2 py( p ? 0) ,M 为直线 y ? ?2 p 上任意一点, 过 M 引抛物线的切线, 切点分别为 A ,B
2

(Ⅰ)求证: A,M ,B 三点的横坐标成等差数列

? 2 p) 时, AB ? 4 10 .求此时抛物线的方程 (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为 (2,
( Ⅲ ) 是 否 存 在 点 M , 使 得 点 C 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 D 在 抛 物 线 x ? 2 py( p ? 0) 上 , 点 C 满 足
2

OC ? OA ? OB ( O 为坐标原点) .若存在,求出所有适合题意的 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
y B A O x

?2 p M

54

(08 文)已知曲线 C1: ?

x a

y 2 5 ? 1(a ? b ? 0) 所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,曲线 C1 的内切圆半径为 . b 3

记 C 2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. (Ⅰ)求椭圆 C 2 的标准方程 (Ⅱ)设 AB 是过椭圆 C 2 中心的任意弦, l 是线段 AB 的垂直平分线. M 是 l 上异于椭圆中心的点. (1)若 MO ? ? OA ( O 为坐标原点) ,当点 A 在椭圆 C 2 上运动时,求点 M 的轨迹方程 (2)若 M 是 l 与椭圆 C 2 的交点,求 △ AMB 的面积的最小值.

(07)已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值为 3 ,最小值为1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程 (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A, B 两点( A, B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的 右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

(06)双曲线 C 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y = 3 x 为 C 的一条渐近线. 8 4

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程 (Ⅱ)过点 P ?0,4 ? 的直线 l ,交双曲线 C 于 A, B 两点,交 x 轴于 Q 点( Q 点与 C 顶点不重合).当

8 PQ ? ?1QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 时,求 Q 点的坐标. 3

55

?14理?B? ? ? 3,
? b??

y y ? p ?? 3? ? 3 ? ? ? ? p ? 18?? p ? 2? ? 0 ? p ? 2. A?x0 , y0 ? ? D?x0 ? 2,0?, k ? ? 0 ? l ': y ? ? 0 x ? b, ? ? 0 ? ? 2 2 ? 2 ??

4y 4y 4y 2 ? 4 4? 1 ?, k AE ? 2 0 , y ? y0 ? 2 0 ?x ? x0 ? ? y ? 2 0 ?x ? 1? ? F ?1,0? AE ? x0 ? ? 2. , E? , ? 2 ? ? y0 ? y0 y0 ? y0 ? 4 x0 y0 ? 4 y0 ? 4

? ? ? ? 16?x0 ? 2?2 ? 4?x0 ? 2? ? ? 1 ? 1 ? ? S ? 1 ? 4? x0 ? 1 ?? ?, l AE : y0 x ? ?1 ? x0 ? y ? y0 ? 0 ? d ? 4? x0 ? ? B? x0 ? ? 2 ? ? ? ? 16 ? 4y 2 , ? ? y0 2 ? x0 x0 ? x0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ??

?14文? x
??

2

4

? y 2 ? 1. A? x0 , y0 ?, B?? x0 ,? y0 ?, l AD : y ? kx ? m ? 4k 2 ? 1 x 2 ? 8km x? 4m 2 ? 4 ? 0k DB ?

?

?

?

?

y1 ? y D x1 ? xD

y y y 1 1 1 1 ? 0 ? k1 , l BD : y ? y0 ? 0 ? x ? x0 ? ? ?3 x0 ,0 ?, k 2 ? k AM ? ? 0 ? k1 ? ? k 2 ? ? ? ? .S ? xM ? y N 4k 4 x0 4 x0 2 x0 2 2 2
2 2

9 9 x ? 4 y0 9 ? x0 ? 2 y0 ? ? 0 ? 16 16 2 8
(13 理)

x x2 MF m ? 1 ? ? 3 3? ? y 2 ? 1. 2 ? ? ? ,7 ? 4 3 ? ? m ? ? ? , ?. p?x0 , y0 ? ? x0 x ? 4 y0 y ? 4 ? 0. ? k ? ? 0 4 MF1 n ? 7 ? 4 3 4 y0 ? 2 2? ?

k1 ?

y0 y0 1? 1 1 ? , k2 ? ? ? ? ? ? ? ?8 k? x0 ? 3 x0 ? 3 ? k1 k2 ?
2

?13文? x

b 1 k 2 ? 1 ? 2 2 ? 2k 2 ? 1 ? b 2 6 ? y 2 ? 1, y ? kx ? b ? 2k 2 ? 1 x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 2 ? 0, S ? ? ? ? 2 2 k 2 ?1 2k 2 ? 1 4 xp 2k 2 ? 1 3 2k 2 ? 1 ?k ? 3k x ? 2k 2 3 m 2 ? 2k 2 ? 1 ? b 2 ? / ? xE ? / ,y?? ? xp ? ?? ? ? 2, . 4 4 2k xE 3 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

?

?

?

?

?

?

(12 理) x ? 2 y, M ?1, ?.
2

? 1? ? 2?

(12 文) x1 ? x2 ? ?

6kt 2t 2 2 2 , y1 ? y2 ? 2 , m ? k 取得最小值 2. 由 OG ? OD OE ,得 t ? k 2 3k ? 1 3k ? 1 1 5 y ? k ?x ? 1? ? ?? 1,0? , ?ABG : ( x ? )2 ? y 2 ? 2 4 5 2 2 (11 理) 3k ? 2 ? 2m , ,假设存在 D , E , G 三点的两两连线中必有一条过原点 2
? ? ? 3k 3k 2 ? 1 , ? ? , ( x ? 1 )2 ? y 2 ? 5 ? 2 4 3k 2 ? 1 ? 1

(11 文)2. ( ?1, 0) , G? ?

(10 理)

?=

3 2 8

2?, (10 文) ?0, ? ,?

?5 3? ?4 4?

(09 理) r ?
2

2 2 3
2

?4 ? ? 3 6 ,2 3 ? ? ?

(09 文) mx ? y ? 1 R ?

2 ? (1, 2)

1
56

(08 理)

x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x0 2

? 2 p) 2 x0 ? x1 ? x2 , x 2 ? 2 y 或 x 2 ? 4 y , M (0,

x2 y 2 x2 y2 40 2 ? ? ? (? ? 0) ? ? 1, (08 文) 4 5 5 4 9
(07) 7m 2 ? 16m k ? 4k 2 ? 0 ? ? m ?

? ?

2 ? 2? ? ?2 ? k ??m ? 2k ? ? 0 ? y ? k ? x ? ? ? Q? , 0? 7 ? 7? ? ?7 ?

(06) y ? kx ? b. 3 ? k 2 x 2 ? 8kx ? 19 ? 0.?1 ? ?2 ?

?

?

?4 ?4 8 ? ? ? .k 2 ? 4 ? Q?? 2, 0? kx1 ? 4 kx2 ? 4 3

?c 3 ? 2 ? ?a 2 ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 . x ? y 2 ? 1 (2013 理科) (1)由已知的 ? 2 4 ? 2b ? 1 ? ? a
(2)设 PF1 ? t ,则 t ? (2 ? 3,2 ? 3) , 在三角形 F1 MP 中,由正弦定理得

sin ?PMF1 sin ?MPF1 ? t m? 3
同理,在三角形 F2 MP 中,由正弦定理得

sin ?PMF2 sin ?MPF2 ? 4?t 3?m
而且 ?MPF 1 ? ?MPF 2 , ?PMF 1 ? ?PMF 2 ? ? ,所以

t m? 3

?

4?t 3?m
3 3 , ) 2 2

?m?

1 (2 3t ? 4 3 ) 4

所以 m ? ( ?

(2011 理科)解析: (Ⅰ)当直线 l 的斜率不存在时, P, Q 两点关于 x 轴对称,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由 P ? x1 , y1 ? 在椭圆上,则
2 2 2

x12 y12 6 6 ? ? 1 ,而 S?OPQ ? x1 y1 ? , y1 ? 1 ,则 x1 ? 3 2 2 2
2

于是 x1 ? x2 ? 3 , y1 ? y2 ? 2 . 当直线 l 的斜率存在,设直线 l 为 y ? kx ? m ,代入

x2 y 2 ? ? 1 可得 3 2

2 x2 ? 3(kx ? m)2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6km ? 3m2 ? 6 ? 0 , ? ? 0 ,即 3k 2 ? 2 ? m2

57

6km 3m2 ? 6 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 2 ? 3k 2

d?

m 1? k 2

, S?POQ ?

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 6 ? d ? PQ ? m ? 2 2 2 2 ? 3k 2

2 2 则 3k ? 2 ? 2m ,满足 ? ? 0

x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? (?
y12 ? y2 2 ?

6km 2 3(m2 ? 2) ) ? 2 ? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

2 2 2 (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 2 ) ? 2 ,综上可知 x12 ? x22 ? 3 , y12 ? y22 ? 2 . 3 3 3

(Ⅱ) )当直线 l 的斜率不存在时,由(Ⅰ)知 OM ? x1 ? PQ ?

6 ? 2 ? 6; 2

当直线 l 的斜率存在时,由(Ⅰ)知

x1 ? x2 3k y ? y2 x ?x 3k 2 1 ?? ? k( 1 2 ) ? m ? ? ?m? , , 1 2 2m 2 2 2m m

om ? (

2

x1 ? x2 2 y ? y2 2 9k 2 1 1 1 ) ?( 1 ) ? ? 2 ? (3 ? 2 ) 2 2 2 4m m 2 m

PQ ? (1 ? k 2 )
OM
2 2

2

24(3k 2 ? 2 ? m2 ) 2(2m2 ? 1) 1 ? ? 2(2 ? 2 ) 2 2 2 (2 ? 3k ) m m

1 1 1 1 25 )(2 ? 2 ) ≤ ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时等号成立,综上可知 2 m m m m 4 5 OM ? PQ 的最大值为 。 2

PQ ? (3 ?

(Ⅲ)假设椭圆上存在三点 D, E , G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 由(Ⅰ)知 xD2 ? xE 2 ? 3, xE 2 ? xG 2 ? 3, xG 2 ? xD2 ? 3 ,

6 , 2

yD2 ? yE 2 ? 2, yE 2 ? yG2 ? 2, yG2 ? yD2 ? 2 .
2 2 2 解得 xD ? xE ? xG ?

3 2 2 2 , y ? yE ? yG ? 1 , 2 D

因此 xD , xE , xG 只能从 ?

6 中选取, yD , yE , yG 只能从 ?1中选取, 2

因 此 D, E , G 只 能 从 ( ?

6 ,? 1)中 选 取 三 个 不 同 点 , 而 这 三 点 的 两 两 连 线 必 有 一 个 过 原 点 , 这 与 2

58

S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 相矛盾, 2 6 2

故椭圆上不存在三点 D, E , G ,使得 S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

(2010 理科)

59

x2 y2 (2009 理科)解:(1)因为椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a b

2 ?4 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ,设该圆

? y ? kx ? m ? 的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? x 2 y 2 得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 ? ? 1 ? 4 ?8

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
则△= 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2



使

O ? A

2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 3m 2 ? 8 2 2 2 ? ? 0 , 所以 3m ? 8k ? 8 ? 0 , 所以 k ? ?0 O B , 需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 8
2

又 8k ? m ? 4 ? 0 ,所以 ?
2

? m2 ? 2 2 6 2 6 8 ,所以 m2 ? ,即 m ? 或m ? ? ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在 2 3 3 3 3 m ? 8 ?
m
2

m2 m2 8 2 6 ? ? ,r ? 原点的圆的一条切线 , 所以圆 的半径为 r ? ,r ? , 所求的圆为 2 2 2 3m ? 8 3 1? k 3 1? k 1? 8
x2 ? y2 ? 8 2 6 2 6 , 此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 或m?? , 而当切线的斜率不存在时切线为 3 3 3

x??

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 OA ? OB ,综上, 存在 与椭圆 8 4 3 3 3 3 3
8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . 3

2 2 圆心在原点的圆 x ? y ?

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
60

所以 ( x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) , ) ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
8(8k 2 ? m 2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? ? [1 ? 4 ], 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

2 因为 4k ?

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

所以

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 4 6 ,? ) 或 (? ,? ) ,所以此时 | AB |? , 3 3 3 3 3

③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 (

综上, |AB |的取值范围为

4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

(2008 理科) (Ⅰ)证明:由题意设 A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ), x1<x2 , M ( x0 , ?2 p). 2p 2p

由 x ? 2 py 得 y ?
2

x x x x2 ,则 y ? ? , 所以 kMA ? 1 , kMB ? 2 . p p p 2p x1 x ( x ? x0 ), 直线 MB 的方程为 y ? 2 p ? 2 ( x ? x0 ). p p
2 x2 x ? 2 p ? 2 ( x2 ? x0 ). 2p p

因此直线 MA 的方程为 y ? 2 p ?

所以

x12 x ? 2 p ? 1 ( x1 ? x0 ), ① 2p p



由①、②得

2 x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x0 , 因此 2

x0 ?

2 x1 ? x2 ,即 2 x0 ? x1 ? x2 . 2

所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x0=2 时,将其代入①、②并整 理得: 61

2 x12 ? 4 x1 ? 4 p2 ? 0, x2 ? 4x2 ? 4 p2 ? 0,

所以 x1、x2 是方程 x2 ? 4x ? 4 p2 ? 0 的两根,因此 x1 ? x2 ? 4, x1 x2 ? ?4 p2 ,
2 x2 x2 ? 1 2 2 p 2 p x1 ? x2 x0 ? ? ? , 所以 k AB ? . p x2 ? x1 2p p

又 k AB

由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ?
又 AB ? 4 10 , 所以 p=1 或 p=2,

4 16 ? 16 p 2 . p2

因此所求抛物线方程为 x ? 2 y 或 x ? 4 y.
2 2

(Ⅲ)解:设 D(x3,y3),由题意得 C(x1+ x2, y1+ y2), 则 CD 的中点坐标为 Q (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ), 2 2

设直线 AB 的方程为 y ? y1 ?

x0 ( x ? x1 ), p
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 也在直线 AB 上, 2 2

由点 Q 在直线 AB 上,并注意到点 ( 代入得 y3 ?

x0 x3 . p
2

若 D(x3,y3)在抛物线上,则 x3 ? 2 py3 ? 2 x0 x3 , 因此 x3=0 或 x3=2x0. 即 D(0,0)或 D(2 x0 ,
2 2 x0 ). p

(1)当 x0=0 时,则 x1 ? x2 ? 2 x0 ? 0 ,此时,点 M(0,-2p)适合题意.
2 x12 ? x2 2 x 2 ? x2 2p ? ? 1 , 2 x0 4 px0

(2)当 x0 ? 0 ,对于 D(0,0),此时 C (2 x0 ,

2 x12 ? x2 ), kCD 2p

又 k AB ?

x0 , AB⊥CD, p
2 2 x0 x12 ? x2 x12 ? x2 ? ? ? ?1, p 4 px0 4 p2

所以 k AB kCD
2 2

即 x1 ? x2 ? ?4 p , 矛盾.
2

62

对于 D (2 x0 , 所以

2 2 x 2 x0 x 2 ? x2 ), 因为 C (2 x0 , 1 ), 此时直线 CD 平行于 y 轴,又 k AB ? 0 ? 0, p p 2p

直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题 设矛盾,

所以 x0 ? 0 时,不存在符合题意的 M 点. 综上所述,仅存在一点 M(0,-2p)适合题意. (2007)解:(I)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3

?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 . x1 ? x2 ? ?
8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

3(m2 ? 4k 2 ) y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ? . 3 ? 4k 2
2 2

以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,

?

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk y1 y ? ? ? 4 ? 0, ? 2 ? ?1, y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 x1 ? 2 x2 ? 2

7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得
m1 ? ?2k , m2 ? ? 2k 2 2 ,且满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( ,0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( ,0). 7 2 2 x y x2 y 2 ? ?1 解: (Ⅰ)设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 由椭圆 a b 8 4
当m ? ? 求得两焦点为 (?2, 0), (2, 0) ,? 对于双曲线 C : c ? 2 ,又 y ? 3x 为双曲线 C 的一条渐近线

63

?

b ? 3 a

解得 a 2 ? 1, b2 ? 3 ,? 双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ?1 3

(Ⅱ)解法一:由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零。 设 l 的方程: y ? kx ? 4, A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 Q(?

4 , 0) k

4 4 PQ ? ?1QA ? (? , ?4) ? ?1 ( x1 ? , y1 ) k k

4 4 ? x1 ? ? ? 4 ? 4 ? k ?1 k ?? ? ?1 ( x1 ? ) ? ?? k k ?? ? ? y ?? 4 ? ?4 ? ?1 y1 1 ? ?1 ?
A( x1 , y1) 在双曲线 C 上,?
? 16 ? 32?1 ? 16?12 ?
2 2

16 1 ? ?1 2 16 ( ) ? ?1 ? 0 k 2 ?1 ?1

16 2 16 k ? k 2 ? 2 ? 0. ? (16 ? k 2 )?12 ? 32?1 ? 16 ? k 2 ? 0. 3 3 16 2 k ? 0. 3
2

同理有: (16 ? k )?2 ? 32?2 ? 16 ?
2

若 16 ? k ? 0, 则直线 l 过顶点,不合题意.?16 ? k ? 0,

? ?1 , ?2 是二次方程 (16 ? k 2 ) x 2 ? 32 x ? 16 ?
? ?1 ? ?2 ?

16 2 k ? 0. 的两根. 3

32 8 ? ? ? k 2 ? 4 ,此时 ? ? 0,? k ? ?2 .? 所求 Q 的坐标为 (?2, 0) . k ? 16 3
2

解法二:由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程, y ? kx ? 4, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 Q ( ?

4 , 0) . PQ ? ?1 QA ,? Q 分 PA 的比为 ?1 . k

4 ? 4 ?1 x1 ? ?? k ? 1? ? ? x1 ? ? k ? (1 ? ?1 ) ? ? 1 1 由定比分点坐标公式得 ? ?? 4 ?0 ? 4 ? ?1 y1 ? y1 ? ? ? ? ?1 1 ? ?1 ? ?
解法三:由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程: y ? kx ? 4, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 Q ( ?

4 , 0) . k
2

PQ ? ?1QA ? ?2 QB ,
??4 ? ?1 y1 ? ?2 y2 ,
又 ?1 ? ?2 ? ?

? (?

4 4 ,? 4 ? ) ?1 x( y,1 ? ) ? 1? k k

x? (2

4 y ,.2 ) k

? ?1 ? ?

4 4 , ?2 ? ? , y1 y2

8 1 1 2 ? 即 3( y1 ? y2 ) ? 2 y1 y2 ,? ? 3 y1 y2 3
2

将 y ? kx ? 4 代入 x ?

y2 ? 1 得 (3 ? k 2 ) y2 ? 24 y ? 48 ? 3k 2 ? 0 3
64

3 ? k 2 ? 0 ,否则 l 与渐近线平行。

? y1 ? y2 ?

24 48 ? 3k 2 24 48 ? 3k 2 , y y ? ? 3 ? ? 2 ? 。 1 2 3? k2 3? k2 3? k2 3? k2

?k ? ? 2 ? Q(?2, 0)

解法四:由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零,设 l 的方程: y ? kx ? 4 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

则 Q(?

4 , 0) k

4 4 4 k ?? 4 , ? (? , ?4) ? ?1 ( x1 ? , y1 ) 。? ?1 ? P Q? ?1 Q A 4 k k kx1 ? 4 x1 ? k ?

同理 即

?1 ? ?

4 kx2 ? 4

?1 ? ?2 ? ?

4 4 8 ? ?? . kx1 ? 4 kx2 ? 4 3
(*)

2k 2 x1x2 ? 5k ( x1 ? x2 ) ? 8 ? 0 。
? y ? kx ? 4 ? 消去 y 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 8kx ?19 ? 0 . ? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ?
2



当 3 ? k ? 0 时,则直线 l 与双曲线得渐近线平行,不合题意, 3 ? k ? 0 。
2

? 由韦达定理有: ?

?

8k 3? k2 ? ? x x ? ? 19 1 2 ? 3? k2 ? x1 ? x2 ?

代入(*)式得

k 2 ? 4, k ? ?2 ? 所求 Q 点的坐标为 (?2, 0) 。

(2013 文科)解:(1)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? =1 (a>b>0), a2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? x2 2 ?c 2 , 由题意知 ? ? 解得 a= 2 ,b=1.因此椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 2 ?a ?2b ? 2, ?
(2)当 A,B 两点关于 x 轴对称时, 设直线 AB 的方程为 x=m,由题意 ? 2 <m<0 或 0<m< 2 . 将 x=m 代入椭圆方程 得|y|=

x2 2 +y =1, 2

2 ? m2 6 2 ? m2 3 1 2 2 ? .所以 S△AOB=|m| .解得 m = 或 m = .① 2 4 2 2 2 1 1 又 OP = tOE = t OA ? OB = t (2m,0)=(mt,0), 2 2 ? mt ?2 2 3 4 2 2 因为 P 为椭圆 C 上一点,所以 =1.②由①②得 t =4 或 t = .又因为 t>0,所以 t=2 或 t= . 2 3 3

?

?

当 A,B 两点关于 x 轴不对称时,设直线 AB 的方程为 y=kx+h.

x2 2 2 2 2 +y =1,得(1+2k )x +4khx+2h -2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 4 kh 2h 2 ? 2 2 2 由判别式 Δ >0 可得 1+2k >h ,此时 x1+x2= ? , x x = , 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
将其代入椭圆的方程

y1+y2=k(x1+x2)+2h=

1 ? 2k 2 ? h2 2h 2 2 2 1 ? k ? x ? x ? ? 4 x x ,所以 | AB | = = . 2 2 1 ? k 1 2 1 2 1? 2 ? k 2 1 ? 2k 2
65

因为点 O 到直线 AB 的距离 d= = 2

|h| 1? k
2

,所以 S△AOB=

1 1 1 ? 2k 2 ? h 2 |AB|d= ? 2 2 1 ? k 2 2 2 1 ? 2k 2

|h| 1? k 2

1 ? 2k 2 ? h 2 |h|. 1 ? 2k 2 6 1 ? 2k 2 ? h 2 6 2 2 2 4 又 S△AOB= ,所以 2 .③令 n=1+2k ,代入③整理得 3n -16h n+16h =0, | h |? 2 4 1 ? 2k 4 4 4 2 2 2 2 解得 n=4h 或 n= h 2 ,即 1+2k =4h 或 1+2k = h 2 .④ 3 3 1 ht ? 1 ? 2kht , 又 OP = tOE = t OA ? OB = t (x1+x2,y1+y2)= ? ? , 2 2 ? 2 2 ? 1 ? 2k 1 ? 2k ?

?

?

因为 P 为椭圆 C 上一点,
2 2 ?1 ? h2 2kh ? ? h ? ? t 2 ? 1 .⑤ ? ? 1 所以 t ? ? ? ,即 ? ? 2 2 ? 2 ? 1 ? 2 k 2 1 ? 2 k 1 ? 2 k ? ? ? ? ? ? ? ? 2

2 3 4 ,又知 t>0,故 t=2 或 t= . 3 3 2 3 经检验,适合题意.综上所得 t=2 或 t= . 3
将④代入⑤得 t =4 或 t =
2 2

(2012 文科)(I) e ?

c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ……①矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 ……② a 2 a2 4

由①②解得: a ? 2, b ? 1 ,∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, 8 4m2 ? 4 (II) ? , ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? 5 5 ? y ? x ? m,

4m2 ? 4 4 2 ? 8 ? 由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 . | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 5 ? ?
当 l 过 A 点时, m ? 1,当 l 过 C 点时, m ? ?1 . ①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2,2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,

2

| PQ | 4 5 ? m2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t

| PQ | 1 3 2 4 5 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. t 4 5 | ST | 3 3
②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. 3 5 | ST |

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

2 5 2 | PQ | | PQ | 取得最大值 取得最大值 5 .综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 5. 5 3 5 | ST | | ST |

(2011 文科) (1)解: 设直线 l 的方程为 y ? kx ? t (k ? 0)

? y ? kx ? t ? 2 2 2 由题意, t ? 0 由方程组 ? x 2 得 (3k ? 1) x ? 6ktx ? 3t ? 3 ? 0 2 ? y ?1 ? ?3
66

2 2 由题意得 ? ? 0 , 所以 3k ? 1 ? t ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

由韦达定理得 x1 ? x2 ? ?

6kt 2t , 所以 y1 ? y2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3kt t , yE ? 2 由于 E 为线段 AB 的中点,因此 xE ? ? 2 3k ? 1 3k ? 1
1 yE 1 x ?? , 所以 OE 所在的直线方程为 y ? ? 3k xE 3k

此时 kOE ?

又由题设知 D ( ?3, m) , 令 x ? ?3 ,得 m ?

1 , 即 mk ? 1 k

2 2 所以 m ? k ? 2mk ? 2 ,当且仅当 m ? k ? 1 时,上式等号成立.

2 2 此时,由 ? ? 0 得 0 ? t ? 2 ,因此 当 m ? k ? 1 且 0 ? t ? 2 时, m ? k 取得最小值 2.

(2) (Ⅰ)由(1)知 OD 所在的直线方程为 y ? ? 将其代入椭圆 C 的方程,并由 k ? 0 ,解得 G ( ?

1 x 3k

3k 3k ? 1
2

,

1 3k 2 ? 1

)

又 E (?

3kt 3k 2 ? 1
3k

,

1 ), D( ?3, ) ,由距离公式及 t ? 0 得 k 3k 2 ? 1
)2 ? ( 1 3k 2 ? 1 )2 ? 9k 2 ? 1 3k 2 ? 1

t

OG ? ( ?

2

3k 2 ? 1

1 9k 2 ? 1 OD ? ( ?3)2 ? ( ) 2 ? k k OE ? ( ?
2

3kt 3k 2 ? 1

)2 ? (

t 3k 2 ? 1

)2 ?

t 9k 2 ? 1 3k 2 ? 1

由 OG ? OD OE ,得 t ? k ,因此 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 所以 直线 l 恒过定点 ( ?1, 0) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 G ( ?

3k 3k ? 1
2

,

1 3k 2 ? 1

),

若 B, G 关于 x 轴对称,则 G ( ?

3k 3k ? 1
2

,?

1 3k ? 1
2

) , 代入 y ? k ( x ? 1) 整理得 3k 2 ? 1 ? k 3k 2 ? 1

即 6k ? 7k ? 1 ? 0 , 解得 k 2 ?
4 2

1 2 (舍去)或 k ? 1 ,所以 k ? 1 6

此时 B ( ? , ? ), G ( ? , ) 关于 x 轴对称,又由(1)得 x1 ? 0, y1 ? 1 ,所以 A(0,1) 由于 ?ABG 的外接圆的圆心在 x 轴上,可设 ?ABG 的外接圆的圆心为 ( d , 0)

3 2

1 2

3 1 2 2

2 2 因此 d ? 1 ? ( d ? ) ?

3 2

1 5 1 2 ,解得 d ? , 故 ?ABG 的外接圆的半径为 r ? d ? 1 ? 4 2 2

67

所以 ?ABG 的外接圆的方程为 ( x ? )2 ? y 2 ?

1 2

5 4

(2010 文)

68

(2009 文)解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , 所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ? 1 ? 0 , 即 mx ? y ? 1 .
2 2

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线.

? y ? kx ? t x2 1 ? 2 ? y ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,解方程组 ? x 2 (2).当 m ? 时, 轨迹 E 的方程为 2 4 4 ? ? y ?1 ?4
得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 ,即 (1 ? 4k ) x ? 8ktx ? 4t ? 4 ? 0 ,
2 2

2

2

2

要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 ,

即 4 k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4 k ? 1 ,
2 2
2 2

8kt ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 2 , ? ? t ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
要使 OA ? OB ,
2 2

需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 ,

即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1,

即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立.
2 2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线, 69

4 (1 ? k 2 ) t 4 t 4 2 所以圆的半径为 r ? ,r ? ?5 ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k
2

当切线的斜率不存在时 , 切线为 x ? ?

2 2 2 2 2 x2 5 ,与 5 ) 或 (? 5 ,? 5 ) 也满足 ? y 2 ? 1 交于点 ( 5 ,? 5 5 5 5 5 4

OA ? OB.
2 2 综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?

4 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB . 5

(3)当 m ?

x2 1 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 C: x2 ? y 2 ? R2 (1<R<2) 时,轨迹 E 的方程为 4 4

相切于 A1, 由(2)知 R ?

t 1? k
2

,

即 t ? R (1 ? k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

? y ? kx ? t ? 2 2 由(2)知 ? x 2 得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 有唯一解 则△= 64k t ?16(1 ? 4k )(t ?1) ? 16(4k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? x1 ? x2 ? ? ? 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 1 ? 4k 2 2 x ? ? x ? x 由? 中 , 所以 , , 1 2 1 2 2 2 1 ? 4 k 3 R 4 t ? 4 ? xx ? 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 ? 1 ?
2
2

1 2 4 ? R2 4 2 2 2 x1 ? ,所以 | OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 R 4 3R
2 2

在直角三角形 OA1B1 中 , | A1 B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ?

4 4 4 ? R 2 ? 5 ? ( 2 ? R 2 ) 因为 2 ? R 2 ? 4 当且仅当 2 R R R

R ? 2 ? (1, 2)时取等号,所以 | A1B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即
当R?

2 ? (1, 2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1.

? 2ab ? 4 5, ? 2 2 (2008 文)解: (Ⅰ)由题意得 ? ab 2 5 又 a ? b ? 0 ,解得 a ? 5 , b ? 4 . ? . ? 2 2 3 ? a ?b
70

x2 y2 ? ? 1. 因此所求椭圆的标准方程为 5 4
(Ⅱ) (1)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为 y ? kx(k ? 0) ,

? x2 y 2 20 20k 2 ? 1, 2 ? ? 2 x ? y ? 得 , , A( xA,yA ) .解方程组 ? 5 4 A A 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 ? y ? kx, ?
所以 OA ? xA ? y A ?
2 2 2

20 20k 2 20(1 ? k 2 ) ? ? . 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

设 M ( x,y ) ,由题意知 MO ? ? OA (? ? 0) , 所以 MO ? ? 2 OA ,即 x ? y ? ?
2 2

2

2

2

20(1 ? k 2 ) , 4 ? 5k 2

因为 l 是 AB 的垂直平分线, 所以直线 l 的方程为 y ? ? 即k ? ?

1 x, k

x , y

? x2 ? 20 ?1 ? 2 ? 2 2 y ? ? 2 2 2 2 20( x ? y ) 因此 x ? y ? ? , ?? x2 4 y 2 ? 5x2 4?5 2 y
x2 y 2 ? ? ?2 . 又 x ? y ? 0 ,所以 5x ? 4 y ? 20? ,故 4 5
2 2 2 2 2

又当 k ? 0 或不存在时,上式仍然成立. 综上所述, M 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? ? 2 (? ? 0) . 4 5
20 20k 2 2 y ? , , A 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

2 (2)当 k 存在且 k ? 0 时,由(1)得 x A ?

? x2 y 2 ? ? 1, ? 20 20k 2 ?5 2 2 4 由? 解得 xM ? , yM ? , 2 5 ? 4k 2 5 ? 4k ? y ? ? 1 x, ? k ?
所以 OA ? xA ? y A ?
2 2
2 解法一:由于 S△ AMB ?

2

20(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 80(1 ? k 2 ) 2 2 2 OM ? AB ? 4 OA ? , , . 5 ? 4k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2
1 2 AB OM 4
2

71

400(1 ? k 2 ) 2 1 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 400(1 ? k 2 ) 2 1600(1 ? k 2 )2 ? 40 ? ≥ ? ? ? ? ? ?? ? , 2 4 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2 (4 ? 5k 2 )(5 ? 4k 2 ) 81(1 ? k 2 )2 ? 9 ? ? 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4 k 2 ? ? ? 2 ? ? 40 2 2 当且仅当 4 ? 5k ? 5 ? 4k 时等号成立,即 k ? ?1 时等号成立,此时 △ AMB 面积的最小值是 S△ AMB ? . 9 1 40 1 40 当 k ? 0 , S△ AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? .当 k 不存在时, S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? . 2 9 2 9 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 . 9

2

72


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