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数学必修3几何概型2课时


泸县二中高 2014 届理科数学集体备课教案







§ 3.3.1 几何概型(1 课时)
教学目标: ?知识与技能目标: (1)正确理解几何概型的概念; (2)掌握几何概型的概率公式: P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

(3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型; ?过程与方法目标: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学知识来解决问题,体会数 学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. ?情态与价值目标:本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯. 教学分析: 重点:几何概型的概念、公式及应用; 难点:把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题. 教学设计: 一.创设情境 在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还 必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是 8:00 至 9:00 之间的任何一个时 刻;往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多 个. 【问题】教材 P135 的转盘游戏中的概率问题. 二.新课讲授——几何概型 1.几何概率模型定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型; 2.几何概型的概率公式 P(A)=

构成事件A的区域长度(面积或体 积) ; 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

3.几何概型的特点 1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个; 2)每个基本事件出现的可能性相等. 思考:几何概型中, P( A) ? 0 ? A 是不可能事件”与“ P( A) ?1 ? A 是必然事件”是否成立? “ 如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为 0,则它出现的概率为 0,但它 不是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为 1,但它不是必 然事件.

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泸县二中高 2014 届理科数学集体备课教案 4.几何概型和古典概型的区别与联系







联系:两种概率模型的思路是相同的,同属于“比例解法” ,并且都是在随机事件“等可能”的前提下; 区别:古典概型中试验的基本事件的个数是有限的,而几何概型中试验的基本事件的个数是无限的, 在具体问题的求解中要严格区别. 5.计算几何概型的概率的步骤 1)判断是否是几何概率,尤其是判断等可能性; 2)计算基本事件空间与事件 A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积) ; 3)代入公式计算. 三.例题讲解 例 1:判下列试验中事件 A 发生的概度是古典概型,还是几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; (2)如课本 P135 图 3.3-1 中的(2)所示,图中有一个转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜,求甲获胜的概率. 分析:本题考查的几何概型与古典概型的特点,古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在 试验中出现无限多个结果,且与事件的区域长度有关。 解: (1)抛掷两颗骰子,出现的可能结果有 6×6=36 种,且它们都是等可能的,因此属于古典概型; (2)游戏中指针指向 B 区域时有无限多个结果,而且不难发现“指针落在阴影部分” ,概率可以用阴 影部分的面积与总面积的比来衡量,即与区域长度有关,因此属于几何概型. 例 2: (教材 P136 例 1)某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时(电台每隔 1 小时 报时一次) ,求他等待的时间不多于 10 分钟的概率. (答案:

1 ) 6

注: (1)在本例中,打开收音机的时刻 X 是随机的,可以是 0~60 之间的任何一刻,并且是等可能的, 我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为[0,60]上的均匀随机数. (2)计算几何概型的概率的步骤. 练习: (1)已知地铁列车每 10min 一班,在车站停 1min,求乘客到达站台立即乘上车的概率. (2)两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于 2m 的概率. (答案: (1)P(A)=

1 2 1 ; (2)记“灯与两端距离都大于 2m”为事件 A,则 P(A)= = . ) 11 6 3

例 3: (教材 P137 例 2 方法一)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到 你家,你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00~8:00 之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A) 的概率是多少?(答案:

7 ) 8

注:第一课时只处理方法一:利用几何概型的公式.

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练习: (1) (聚焦课堂 P51 例 3)甲、乙两人约定 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候 另一人一刻钟,过时即可离去,请计算两人能会面的概率. (2) (教材 P142 习题 3.3B 组 1 题)甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定它们在一昼夜的 时间段中随机地到达,试求这两艘船至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率. (答案: (1)

7 7 ; (2) ) 16 16

例 4: (聚焦课堂 P52 例 4 的变式迁移)在 500mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2mL 水样放到 显微镜下观察,求发现草履虫的概率. (答案:0.004)

练习: (聚焦课堂 P52 例 4)已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 中的棱长为 1,在正方体内随机取点 M,求使 四棱锥 M—ABCD 的体积小于

1 1 的概率. (答案: ) 6 2

例 5: (聚焦课堂 P51 例 2)在等腰 Rt?ABC 中,过直角顶点 C 在 ?ACB 内部任作一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,求 AM < AC 的概率. (答案:

3 ) 4

变式: (教材解析 P118 例 3)在等腰 Rt?ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM < AC 的概率. (答案:

2 ) 2

练习: (聚焦课堂 P51 例 2 变式迁移)在直角坐标系内,射线 OT 落在 60 ? 角的终边上,任作一条射线 OA,求射线 OA 落在 ?xOT 内的概率. (答案: 四.课堂小结 1.几何概型的定义; 2.几何概型的概率计算公式; 3.几何概型的特点; 4.几何概型与古典概型的联系与区别; 5.几何概型的求解步骤. 五.课时作业 )注:①不是几何概型

1 ) 6

1.下列概率模型中,几何概型的个数为( C

①从区间 [?10,10] 内任取出一个数,求取到 1 的概率; ②从区间 [?10,10] 内任取出一个数,求取到绝对值不大于 1 的数的概率; ③从区间 [?10,10] 内任取出一个数,求取到大于 1 而小于 2 的数的概率; ④向一个边长为 4cm 的正方形 ABCD 内投一点 P ,求点 P 离中心不超过 1cm 的概率. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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2.某公共汽车站每隔 5min 有一辆汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意的,则一个乘客候车时间不超 过 3min 的概率为( C ) A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

3.在棱长为 3 的正方体内任取一点,则这个点到各面的距离大于 1 的概率为( C )

3 4 S 4.在面积为 S 的 ?ABC 的边 AB 上任取一点 P ,则 ?PBC 的面积大于 的概率是( C ) 4 1 1 3 2 A. B. C. D. 4 2 4 3 ?x 1 5.在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x , cos 的值介于 0 到 之间的概率为( A ) 2 2 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 2 3 ?
A. B. C. D. 6.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一 点,则此点取自阴影部分的概率是( A ) A. 1 ? C.

1 3

1 9

1 27

2

?

B. D.

2

1 1 ? 2 ? 1

?

?


7.在区间[ ? 1 ,2]上随机取一个数 x,则 | x | ≤1 的概率是

2 3

8.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 概率为 . (?

1 , 2

1 ,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的 4

13 16

3 1 ? ) 4 16

9.分别计算下列三个小题的概率:

p 1 ? ? 0 有实根的概率. 4 2 2 2 ②在 [?1,1] 上任取两个实数 a , b ,求二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有两个非负实根的概率. ③在区间 [0,1] 上任取三个实数 x, y, z ,事件 A ? {( x, y, z) | x2 ? y 2 ? z 2 ? 1} .
2 ①设 p 在 [0,5] 上随机地取值,求方程 x ? px ?

(1)构造出此随机事件 A 对应的几何图形; (2)利用此图形求事件 A 的概率. 答案:①

3 5

;②

1 4

;③

? . 6

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§ 3.3.2 均匀随机数的产生(1 课时)
教学目标: ?知识与技能目标: (1)了解均匀随机数的概念; (2)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; (3)会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. ?过程与方法目标: (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学知识来解决问题,体会数 学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力; (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯. ?情态与价值目标:本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯. 教学分析: 重点:体会随机模拟中的统计思想:用样本估计总体. 难点:利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中. 教学设计: 一.复习回顾 1.几何概型的定义; 2.几何概型的概率计算公式; 3.几何概型的特点; 4.几何概型与古典概型的联系与区别; 5.几何概型的求解步骤. 二.新课讲授——均匀随机数及其应用 1.均匀随机数的产生 (1)均匀随机数的定义:如果试验的结果是区间[a,b]内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是 等可能的,则称这些实数为均匀随机数. (2)均匀随机数的特征 1)随机数实在一定范围内产生的; 2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等. (3)[0,1]上均匀随机数的产生 1)利用计算器产生(参见教材 P137) ; 2)利用计算机(电子表格 Excel)产生(参见教材 P139) . (4)[a,b]上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数 X,然后通过线性变换(平移和伸缩)得到 ( x ? a ? (b ? a) X )就是[a,b]上的均匀随机数. 2.用模拟的方法近似计算某事件的概率 (1)试验模拟的方法:制作两个转盘模型,进行模拟试验,并统计试验结果; (2)计算机模拟的方法:用 Excel 软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟,注意操作步骤. 注:体会随机模拟中的统计思想:用样本估计总体.

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泸县二中高 2014 届理科数学集体备课教案 3.用模拟的方法估计圆周率的值 (1)抽象成几何概型; (2)利用几何概型求概率的公式,得到 豆子落到圆内的概率 ?







圆的面积 正方形的面积

(3)通过模拟的方法,得到豆子落到圆内的频率.分别用两种办法——试验模拟和计算机模拟 (4)估计圆周率的值. 4.用模拟的方法近似计算不规则图形的面积 根据几何概型计算概率的公式,概率等于面积之比,如果概率用频率近似,在不规则图形外套上一个 规则图形,则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘以频率.频率可以通过模拟的方法得到,从而 得到了不规则图形面积的近似值. 三.例题讲解 例 1: (教材 P137 例 2 的方法二)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送 到你家, 你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00~8:00 之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸 (称为事件 A) 的概率是多少? 注:第二课时处理方法二:用随机模拟法——(1)试验模拟的方法; (2)计算机模拟的方法. 例 2: (聚焦课堂 P53 例 1)取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,利用随机模拟法求剪得 两段的长都不小于 1m 的概率有多大? 分析:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每一个实数被取 到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3]上的均匀随机数,其中取得 的[1, 2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1, 2]内, 也就是剪得两段长都不小于 1m. 这样取得的[1, 2]内的随机数个数与[0,3]内个数之比就是事件 A 发生的概率. 解法 1: (1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]区间上的均匀随机数,a1=RAND; (2)经过伸缩变换,a=a1*3; (3)统计出[1,2]内随机数的个数 N1 和[0,3] 内随机数的个数 N; (4)计算频率 f n ( A) ?

N1 ,即为概率 P(A)的近似值. N N1 ,即为概率 N

解法 2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里 3 和 0 重合) .转动圆盘记下 指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N,则 f n ( A) ? P(A)的近似值. 小结: 用随机数模拟的关键是把实际问题中事件 A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围. 解 法 2 用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法 1 用计算 机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验, 可以对试验结果的随机性和相对稳定性有更深刻的认识.

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例 3:在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,求这个正方形的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率. 分析:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M,求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率. 解: (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1=RAND; (2)经过伸缩变换,a=a1*12 得到[0,12]内的均匀随机数; (3)统计试验总次数 N 和[6,9]内随机数个数 N1 (4)计算频率

N1 . N N1 . N

记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间}, 则 P(A)的近似值为 f n ( A) ?

例 4: (教材 P139 例 3)用随机模拟的方法估计圆周率的值. (解答:略) 例 5: (教材 P140 例 4)利用随机模拟方法计算 y ? 1 和 y ? x 2 所围成部分的面积. 分析:在坐标系中画出矩形( x ? 1,x ? ?1,y ? 1,y ? 0 )所围成的部分) ,用随机模拟的方法可以得 到它的面积的近似值. 解: (1)利用计算器或计算机产生两组 0~1 区间的均匀随机数,a1=RAND,b=RAND; (2)进行平移和伸缩变换, a ? 2(a1 ? 0.5) ; (3)数出落在所求部分内的样本点数 N1,用几何概型公式计算其面积. 例如做 1000 次试验,即 N=1000,模拟得到 N1=698,所以 S ?

2 N1 ? 1.396 . N

四.课堂小结: 1、几何概型是区别于古典概型的又一概率模型,使用几何概型的概率计算公式时,一定要注意其适用条件:每 个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例; 2、均匀随机数在日常生活中,有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从 而来模拟随机试验,其具体方法是:建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量(如概率值、常数)有 关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量. 五.课时作业 1.将[0,1]内的均匀随机数转化为[ ? 2 ,6]内的均匀随机数,需实施的变换为( C ) A.a=a1*8 B.a=a1*8+2 C.a=a1*8 ? 2 D.a=a1*6 2.边长为 2 的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机丢一粒豆子,它落在阴影区域的概 率为

2 ,则阴影区域的面积为( B ) 3 4 8 A. B. 3 3

C.

2 3

D.无法计算 上的均匀随机数. [?6, ?3]

3. b1 是 [0,1] 上的均匀随机数, b ? (b1 ? 2)*3 ,则 b 是区间

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4.设函数 y ? f ( x) 在区间 [0,1] 上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有 0 ? f ( x) ? 1 ,可以用模拟方法 近似计算由曲线 y ? f ( x) 及直线 x ? 0, x ? 1, y ? 0 所围成部分的面积 S .先产生两组(每组 N 个)区间

[0,1] 上的均匀随机数 x1 , x2 ,? xN 和 y1 , y2 ,? yN ,由此得到 N 个点 ( xi , yi )(i ? 1, 2,?, N ) .再数出其中满
足 yi ? f ( xi )(i ? 1, 2,?, N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为 .

N1 N

5.利用随机模拟方法计算图中阴影部分( y ? x3 和 x ? 2 以及 x 轴所围 成的部分)的面积. 解析:利用面积比与概率、频率的关系进行. (1)利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 区间的均匀随机数,

a1 ? RAND, b1 ? RAND ; (2)进行伸缩变换, a ? a1 *2, b ? b1 *8 ; 3 (3)数出落在阴影内(满足 b ? a )的样本点数 N1 ,
用几何概型公式计算阴影部分的面积. 例 如 : 做 1000 次 试 验 , 即 N ? 1000 , 模 拟 得 到 N1 ? 250 . 由

S阴影 N1 , 得 ? S距形 N

S阴影 ?

N1 250 ?S距形 ? ?16 ? 4 . N 1000

6.从甲地到乙地有一班车在 9:30 到 10:00 到达,若某人从甲地坐该班车到乙地转乘 9:45 到 10:15 出发的汽 车到丙地去,问他能赶上开往丙地的车的概率是多少?(用随机模拟法求解) 解:设事件 A: “他能赶上开往丙地的车” . (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND; (2)进行平移和伸缩变换,x=x1*0.5+9.5,y=y1*0.5+9.75; (3)统计出试验总次数 N 和满足条件 x≤y 的点(x,y)的个数 N1; (4)计算频率 f n ( A) ?

N1 ,即为概率 P(A)的近似值. N

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