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2014年高考复习反函数 函数单调性


反函数
●知识梳理 1.反函数定义:若函数 y=f(x) (x∈A)的值域为 C,由这个函数中 x、y 的 关系,用 y 把 x 表示出来,得到 x= ? (y).如果对于 y 在 C 中的任何一个值,通 过 x= ? (y) 在 A 中都有唯一的值和它对应,那么,x= ? (y)就表示 y 是自 ,x 变量,x 是自变量 y 的函数.这样的函数 x= ? (y) (y∈C)叫做函数 y=f(x) (x ∈A)的反函数,记作 x=f-1(y). - 在函数 x=f 1(y)中,y 表示自变量,x 表示函数.习惯上,我们一般用 x 表 示自变量,y 表示函数,因此我们常常对调函数 x=f-1(y)中的字母 x、y,把它 改写成 y=f-1(x). 2.互为反函数的两个函数 y=f(x)与 y=f-1(x)在同一直角坐标系中的图象 关于直线 y=x 对称. 3.求反函数的步骤: (1)解关于 x 的方程 y=f(x) ,得到 x=f-1(y). (2)把第一步得到的式子中的 x、y 对换位置,得到 y=f-1(x). (3)求出并说明反函数的定义域〔即函数 y=f(x)的值域〕.
4.判断是否存在反函数:[函数必需是满足严格单调性,才存在反函数]

●典例剖析 【例 1】 设函数 f(x)是函数 g(x)= 递增区间为 A.[0,+∞) C.[0,2)
1 的反函数,则 f(4-x2)的单调 x 2

B.(-∞,0] D.(-2,0]

深化拓展
1.若 y=f(x)是[a,b]上的单调函数,则 y=f(x)一定有反函数,且反函 数的单调性与 y=f(x)一致. 2.若 y=f(x) ,x∈[a,b] (a<b)是偶函数,则 y=f(x)有反函数吗? 【例 2】 求函数 f(x)= ?
? x 2 ? 1 ( x ? 1), ?? x ? 1 ( x ? ?1)

的反函数.

由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点,因此复习本节时,针对反函 数的定义,教师应渗透如下知识: (1)函数的反函数,本身也是一个函数,由反函数的定义,原来函数也是 反函数的反函数. (2)反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域. 拓展题例 【例 1】 (上海,10)若函数 y=f(x)的图象可由 y=lg(x+1)的图象绕坐

标原点 O 逆时针旋转 A.10-x-1

π 得到,则 f(x)等于 2

B.10x-1

C.1-10-x

D.1-10x

【例 2】 若函数 y= 求 a 的值. 【例 3】 函数 y=

1 ? ax 1 (x≠- ,x∈R)的图象关于直线 y=x 对称, 1 ? ax a

2x (x∈(-1,+∞) )的图象与其反函数图象的交点坐 1? x

标为___________________. 夯实基础 1.(全国Ⅱ)函数 y= x ? 1 +1(x≥1)的反函数是 A.y=x2-2x+2(x<1) C.y=x2-2x(x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1) D.y=x2-2x(x≥1)

2.(文) (全国Ⅲ,文 3)记函数 y=1+3-x 的反函数为 y=g(x) ,则 g(10) 等于 A.2 B.-2 C.3 D.-1 (文) (全国Ⅳ,理 2)函数 y=e2x(x∈R)的反函数为 A.y=2lnx(x>0) B.y=ln(2x) (x>0) C.y= lnx(x>0)
1 2

D.y= ln(2x) (x>0)

1 2

3.(北京,5)函数 y=x2-2ax-3 在区间[1,2]上存在反函数的充要条件 是 A.a∈(-∞,1] C.a∈[1,2] B.a∈[2,+∞) D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)

4.(福建,7)已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x) ,则函数 y=f-1(1-x) 的图象是
y 2 y 2

O -1

x

O

x

A
y 2

B
y 2

O

x

O -1

x

C

D

5.若点(2, )既在函数 y=2ax+b 的图象上,又在它的反函数的图象上,则 a=___________,b=___________. 6.(全国Ⅲ,15)已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=3x-1, 设 f(x)的反函数是 y=g(x) ,则 g(-8)=______________. 7. 若函数 f(x)的图象经过点(0, -1), 求函数 f(x+4)的反函数的图象必经过点 ( 培养能力 8.已知函数 f(x)=
x?5 的图象关于直线 y=x 对称,求实数 m. 2x ? m

1 4



9.已知函数 f(x)=a+bx-1(b>0,b≠1)的图象经过点(1,3) ,函数 f-1 (x+a) (a>0)的图象经过点(4,2) ,试求函数 f-1(x)的表达式.

函数单调性
知识点归纳:
函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对 定义的深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性定义入手,在 判断和证明函数的性质的问题中得以巩固, 在求复合函数的单调区间、 函数的最值及应用问 题的过程中得以深化. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数 y=f(x)在给定区间上的单调性,反映 了函数在区间上函数值的变化趋势, 是函数在区间上的整体性质, 但不一定是函数在定义域 上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 1.函数单调性的定义: 2. 证明函数单调性的一般方法: ①定义法:设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ;作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (一般结果要分解为若干个因式 的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) ;判断正负号。 ②用导数证明: 若 f (x) 在某个区间 A 内有导数,则 f ( x) ? 0, x ? A) (


( ? f (x) 在 A 内为增函数; f ’ x) ? 0,(x ? A) ? f (x) 在 A 内为减函数。
3. 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法。

4.复合函数 y ? f ?g (x)? 在公共定义域上的单调性: ①若 f(x)与 g(x)的单调性相同,则 f ?g (x)? 为增函数; ②若 f(x)与 g(x)的单调性相反,则 f ?g (x)? 为减函数。 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。 5.一些有用的结论: ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是减函数; 增函数 f (x) ? 减函数 g (x) 是增函数; 减函数 f (x) ? 增函数 g (x) 是减函数。 ④ 函 数 y ? ax ?

? ? b? ? b b , ?? ? 上 单 调 递 增 ; 在 (a ? 0, b ? 0) 在 ? ??, ? ?或? ? ? a? ? a x ? ?

? b ? ? b? , 0 ? 或 ? 0, ? 上是单调递减。 ?? ? ? a? ? a ? ?

例 1 若 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)

例 2(1)求函数 y ? log 0.7 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调区间; (2)已知 f ( x) ? 8 ? 2 x ? x 2 , 若 g ( x) ? f (2 ? x 2 ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单 调性. 例 3.(1)若 f ( x) 为奇函数,且在 (??,0) 上是减函数,又 f (?2) ? 0 ,则
x ? f ( x) ? 0 的解集为___________.

例 4. .(2009· 福建高考)下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时 ,
都有 f(x1)>f(x2)”的是 A.f(x)= ( B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) ( ) )

1 x

C.f( x)=ex

例 5.(2010· 黄冈模拟)已知函数 f(x)= log 1 (2x2+x),则 f (x)的单调递增区间为
3

1 A.(-∞,- ) 4

1 B.(- ,+∞) 4

C.(0,+∞)

1 D.(-∞,- ) 2

例 6. 已知 f (x)是定义在(-∞, +∞)上的偶函数, 且在(-∞, 0]上是增函数, a=f (log47), 设 b=f (log 1 3),c=f (0.20.6),则 a,b,c 的大小关系是
2

( D.a<b<c

)

A.c<b<a

B.b<c<a

C.c>a>b

课堂练习: 1、已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) (A) (0, 1) (B) (1,2) (C) (0,2) (D) [2,??)

2、 f (x) 为 (??,??) 上的减函数, a ? R ,则( ) (A) f (a) ? f (2a) (B) f (a ) ? f (a) (C) f (a ? 1) ? f (a) (D) f (a ? a) ? f (a)
2 2 2

3、已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,它在 [0,??) 上递减,那么一定有
3 A. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4 3 C. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4 3 B. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4 3 D. f (? ) ? f (a 2 ? a ? 1) 4

( )

4、 (上海卷)若函数 f(x)=a x ? b ? 2 在[0,+∞]上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是 5、已知偶函数 f (x) 在 [0,] 内单调递减,若 a ? f (?1) ,b ? f (log 1 2
2

.

1 ) ,c ? f (lg 0.5) , 4

则 a 、 b 、 c 之间的大小关系是_____________


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