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5.1.1奥数过渡性材料不等式拓展


拓展:思维的延伸 1、中考招生等级划分:近年中考,我市物理、化学和政治采用划分等级制,每个学科划分 A 、 B 、 C 、 D 四个等级, 不计较学科排序,可划分出 AAA , AAB , AAC ,…. DDD . 那么究竟有多少种不同等级呢? 解法 1:直排法; 解法 2:分类法; 解法 3:排除法; 解法 4:隔板法; 延伸:设有 m 个学科,每个学科有 n 个等级,共有多少种不同的拍法.
?

2、已知 a 、 b 、 m ? R ,且 a ? b ,求证: 证法 1:分析法; 证法 3:求差法; 证法 5:反证法; 证法 7:函数法; 证法 9:定比分点法; 证法 11:几何模型法; 证法 13:相似三角形法; 证法 15:综合分析法; 证法 17:椭圆离心率法; 证法 19:函数图像法; 证法 21:面积法;

a? m b? m

?

a b

.

证法 2:综合法; 证法 4:求商法; 证法 6:放缩法 1、2、3; 证法 8:增量发; 证法 10:斜率法 1、2; 证法 12:正弦定理法; 证法 14:换元法 1、2; 证法 16:定义与值域法; 证法 18:双曲线离心率法; 证法 20:直线位置关系法; 证法 22:定积分法;

3、变式(1),若 a 、 b 、 m ? R ,且 a ? b ,求证:

?

a? m

b? m b a? m b ? ? . 变式(2),若 a 、 b 、 m ? R ,且 a ? b ,求证: b? m a a?m a ? ? 变式(3),若 a 、 b 、 m ? R ,且 a ? b , a ? m ,求证: . b?m b a?n a?m ? ? 变式(4),若 a 、 b 、 m 、 n ? R ,且 a ? b , n ? m ,求证: . b?n b?m a a?m m ? ? ? 1. 变式(4.1),若 a 、 b 、 m ? R ,且 a ? b ,求证: ? b b?m m a?n a?m ? ? 变式(5),若 a 、 b 、 m 、 n ? R ,且 a ? b , n ? m ,求证: . b?n b?m

?

a

.

变式(6),若 a 1、 b1、 a 2 、 b 2 ? R ,且

?

a1 b1

?

a2 b2
?

,求证:

a1 b1

?

a1 ? a 2 b1 ? b 2 ? ... ?

?

a2 b2

.“不通分,比较

2 3



5 7



7 10

的大小.”

... ? 变式(6.1),若 a 1、 b1、 a 2 、 b 2 、 、 a n 、 b n 、 R ,且

a1 b1 a1 b1

?

a2 b2

an bn

,求证:

a1 b1

?

a 1 ? a 2 ? ... ? a n b1 ? b 2 ? ... ? a n

?

an bn

.

... ? 变式(6.2),若 a 1、 b1、 a 2 、 b 2 、 、 a n 、 b n 、 R ,且

?

?

a2 b2

? ... ?

an bn



则有:

a1 b1

?

a1 ? a 2 b1 ? b 2

?

a1 ? a 2 ? a 3 b1 ? b 2 ? b 3

? .... ?

a 1 ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n b1 ? b 2 ? b 3 ? ... ? a n

?

a 2 ? a 3 ? ... ? a n b 2 ? b 3 ? ... ? a n

? ... ?

an bn

.

应用 1:依次写出 分析:
1 2 1 2 5 9 4 7 3 5 ? 1, 1 2

1 2 ?

与 1 之间所有分母不大于 10 的分数.
2 3 ? 1, 1 2 2 3 7 10 ? 1? 2 2?3 5 7 3 4 ? 2 ?1 3?1 7 9 ? 1 ,即 1 2 4 5 5 6 6 7 ? 3 5 7 8 ? 2 3 8 9 ? 3 4 ? 1.

继续仿此下去,可得:
? ? ? ? 5 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.

应用 2:(1989 年.广东)若 0 ? m ? b ? a ,则不等式成立的是( A、 cos C、 cos
b?m a?m b?m a?m ? cos ? cos b a b a ? cos ? cos b?m a?m b?m a?m

)
? cos b?m

a?m a?m b?m b ? cos ? cos D、 cos a?m a?m a a b?m

B、 cos

b

? cos

b?m

应用 3:建筑学规定,名用住宅的窗户面积必须小于地面面积。但采光的标准,窗户面积与地板面积的比值必须不小于 10 % ,并且这个比值越大,住宅的采光效果越好。问同事增加相等的窗户面积和地面面积,住宅的采光条件变好还是 变坏了?

应用 4:(1998 年.全国)求证: ? 1 ?
?

?

1 ?? 1 ?? 1? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ... ? 1 ? ? ? 3 ?? 5 ?? 7? ? 2n ? 1 ?

2n ? 1 2

( n ? N , n ? 2 ).

应用 5:求证:

A?a? B ?b A?a? B ?b?c?r

?

B ?b?C ?c B ?b?C ?c?a?r

?

A?a?C ?c A?a?C ?c?b?r

,其中所有的字母都是正数.

作业: 1、 求证:
a?b 1? a ? b
1 2 ?

?

a 1? a

?

b 1? b



2、 求证:

3 5 99 1 ? ? ... ? ? ; 4 6 100 10 c a?b ? a b?c ? b c?a ? 2;

3、 已知 a 、 b 、 c 为一个三角形的三条边,求证:


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