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高二数学教案:8.04双曲线的简单几何性质(4)


【课

题】双曲线的简单几何性质(4)

【教学目标】
1、要求掌握双曲线系方程与共轭双曲线的概念及简单的应用; 2、理解并掌握双曲线的渐近线方程的简单性质及应用。

【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】
一、 复习引入

1、复习双曲线的性质:范围,对称性,顶点,实轴,虚轴,离心率等; 2、复习双曲的第二定义;

二、

讲解新课
b kb x ? ? x(k ? 0) ,那么此双曲线方程就一 a ka

1、共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为 y ? ?

定是:

x2 y2 x2 y2 ? ??。 或写成 ? ? ? 1 ( k ? 0 ) a2 b2 (ka) 2 (kb) 2

2、共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴, 虚轴为实轴, 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲 线。 区别:三量 a,b,c 中 a,b 不同(互换)c 相同。 共用一对渐近线;双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。 确定双曲线的共轭双曲线的方法:将 1 变为-1。

三、

例题讲解
y2 x2 ? ? 1 有公共渐近线,且经过点 P(? 2 ,?5) 的双曲线方程 100 4

【例1】 (1)求与双曲线

(2)已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 解:(1)设所求双曲线方程为 故所求的双曲线方程为 x 2 ?

2 x ,实轴长为 12,求它的方程. 3

1 y2 x2 ? ? ? (? ? 0) ,把 (? 2 ,?5) 代入方程,得 ? ? ? , 4 100 4

y2 ?1 25

(2)设所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) 9 4

①若焦点在 x 轴上,则(6,0)在双曲线上,可得 ? ? 4 ,∴方程为

x2 y2 ? ?1 36 16

⑵若焦点在 y 轴上,则(0,6)在双曲线上,可得 ? ? ?9 ,∴方程为

y2 x2 ? ?1. 36 81

【例2】 已知双曲线的共轭双曲线的离心率为 2,求原双曲线的离心率。

x2 y 2 y 2 x2 解:设原双曲线为 2 ? 2 ? 1 ,则它的共轭双曲线的方程为: 2 ? 2 ? 1 , a b b a

a 2 ? b2 c 所以 e ' ? ? ?2 b b
所以 c ? 2b, a ? 3b 故所求的双曲线的离心率为: e ?

c 2 3 ? a 3

【例3】 经过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F 的直线 l 与一条渐近线 l 1 垂直于 A,交另 8 16

一条渐近线 l 2 于 B,求证:线段 AB 被双曲线的左准线平分。 解:? F (2 6, 0),l ? l1 ? l:y ? ? 代入渐近线方程
2 (x ? 2 6 ) , 2

x2 y2 (注意渐近线方程的写法) ? ?0; 8 16

得 3x 2 ? 4 6 x ? 24 ? 0 .设 AB 中点的坐标为(x0,y0), 则 x0=
1 2 2 6 (xA+xB)=- .?左准线方程为 x=- 6, ?AB 被左准线平分。 3 2 3
x2 a
2

【例4】 已知双曲线

?

y2 b2

? 1 的离心率 e ?

2 ,一条准线方程为 x ? 2 ,直线 l 与
2

双曲线右支及双曲线的渐近线交于 A、B、C、D 四点,四个点的顺序如图所示。 (1)求该双曲线的方程; (2)求证:|AB|=|CD|; (3)如果|AB|=|BC|=|CD|,求证:△OBC 的面积为定值。 解: (1)由已知 ∴ a ? 1, c ?
c a2 2 ? 2, ? a c 2

2
2

∴所求双曲线的方程为 x -y2=1。 (2)设 l:x=my+b, (m≠±1)

由? 由?

?y ? x b b 得 A( , ). x ? my ? b 1 ? m 1 ? m ? ? y ? ?x b b 得 D( ,? ). 1? m 1? m ? x ? my ? b

b bm ∴AD 中点坐标为 ( , ). 2 1 ? m 1 ? m2
? ?x 2 ? y 2 ? 1 2 2 由? 得(m -1)y2+2mby+b -1=0 ? ? x ? my ? b

∴ y1 ? y 2 ?

2mb 1? m2

b bm ∴BC 中点坐标为 ( , ). 2 1 ? m 1 ? m2

∴AD 中点与 BC 中点为同一点,又 A、B、C、D 四点共线, ∴|AB|=|CD| (3)设 A ? a, a ? , B ?b, ?b ? ,a>0,b>0 ∵|AB|=|BC|=|CD| ∴ xc ? 即 C(

a ? 2b 1 a ? 2b 1 ? (a ? 2b), yc ? ? (a ? 2b) 1? 2 3 1? 2 3

a ? 2b a ? 2b , ). 3 3 ( a ? 2b 2 a ? 2b 2 ) ?( ). ? 1 3 3

∴点 C 在双曲线上 ∴ ab ?
9 8 1 3

又 S ?OBC ? S ?OAD ? ?

1 1 1 1 3 | OA | ? | OD |? 2a ? 2b ? ab ? 3 2 6 3 8

∴△OBC 的面积为定值。 【类似题】已知直线 l 和双曲线交于 A、B 两点,和双曲线的渐近线交于 C、D 两点。 求证:|AC|=|BD| 证明:若直线 l 平行于坐标轴,则根据图形的对称性,|AC|=|BD|显然成立. 一般情况下,设 l 的方程为 y=kx+m(k2≠ 为 b x -a y =0.
? ? y ? kx ? m 由? 2 2 得 2 2 2 2 ? ?b x ? a y ? a b
2
2

b2 a
2

),双曲线方程为 b2x -a2y2=a2b2,渐近线方程
2

2 2

(b -a2k2)x -2a2kmx-a2m -a2b2=0
2 2 2

∴ x1+x2=

2a 2 km b ? a 2k 2 2a 2 km b2 ? a 2k 2
2

∴ AB 中点 M 的横坐标 xM=
? ? y ? kx ? m 由? 2 2 得 2 2 ? ?b x ? a y ? 0

(b -a2k2)x -2a2kmx-a2m2=0
2 2

∴ x3+x4=

2a 2 km b ? a 2k 2 a 2 km b ? a 2k 2
2 2

∴ CD 中点 M′的横坐标 xM′= ∴ xM=xM′ ∵ M 和 M′在同一条直线上 ∴ M 和 M′重合 ∴ |AC|=|BD|


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