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2014福州格致中学高考数学选择题的解题策略指导


2014 福州格致中学高考数学选择题的解题策略指导
近几年来高考数学试题中选择题稳定在 12 道题目,分值 60 分,占总分的 40%。高考选 择题注重多个知识点的小型综合,其中渗逶着各种数学思想和方法,体现以考查“三基”为 重点的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选择题 上获取高分,对高考数学成绩影响重大。单从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至 于用什么“策略”“手段”都是次要的,就像有人所称的解答选择题策略就是“不择手段, , 一步登天” 。下面就解答选择题的基本策略谈一下自己的看法。 首先,解答选择题一定要准确,这是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分,一 步失误,全题无分。所以对于每一道选择题我们都应该仔细审题、深入分析、正确推演、谨 防疏漏;初选后认真检验,确保选项的绝对准确性。 其次,就是迅速,这是赢得时间获取高分的必要条件。高考中很多考生由于对某些知 识不熟悉和心理等因素的影响,导致“超时失分” 。对于选择题的答题时间,应该控制在 不超过 50 分钟左右,速度越快越好,高考要求每道选择题在 1~3 分钟内解完。 选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运 用、 考虑问题的严谨、 解题速度的快捷等方面, 由于选择题不需写出运算、 推理等解答过程, 在试卷上配有选择题时, 可以增加试卷容量, 扩大考查知识的覆盖面; 阅卷简捷, 评分客观, 在一定程度上提高了试卷的效度与信度; 侧重于考查学生是否能迅速选出正确答案, 解题手 段不拘常规,有利于考查学生的选择、判断能力;选择支中往往包括学生常犯的概念错误或 运算、推理错误,所有具有较大的“迷惑性” 。一般地,解答选择题的策略是:① 熟练掌握 各种基本题型的一般解法。② 结合高考单项选择题的结构(由“四选一”的指令、题干和 选择项所构成)和不要求书写解题过程的特点,灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题 的常用解法与技巧。③ 挖掘题目“个性” ,寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用,迅 速地作出正确的选择。 因此在备考前,我们应该掌握解答数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大 类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法;但高考的题量较大,如果所有选择题都用 直接法解答,不但时间不允许,甚至有些题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些特殊 的解答选择题的方法,下面就在近几年高考中常用的几种解答选择题的方法予以分析: 二、方法技巧 1、直接法: 直接法是指从题设条件出发,运用有关概念、性质、公理、定理、法则和公式等知识, 通过严格的推理和运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座” 作出相应的选项,直接法经常用于处理涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目. 例 1. (1997 全国,1)设集合 M={x|0≤x<2} ,集合 N={x|x2-2x-3<0} ,集合 M∩N等于( ) A.{x|0≤x<1 } B.{x|0≤x<2 }

C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2} 答案:B 解析:方法一: (直接法)N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3} ,所以 M∩N= {x|0≤x<2} ,故选 B.

方法二: (特例法)由(

3 2 3 ) -2· ( )-3<0,知 1.5∈N,又 1.5∈M,因此 1.5∈M 2 2

∩N,从而排除 A、C;由交集定义与 M 的表达式,可排除 D,得 B. 评述:本题考查对交集的理解和掌握,所设定的集合实质是不等式的解集,兼考处理不等式 解集的基本技能. 例 2.(湖南卷文 8)某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动 的项目,则重点项目 A 和一般项目 B 至少有一个被选中的不同选法种数是( A.15 B.45 C.60 D.75 答案:C
1 1 1 2 2 1 【解析】用直接法: C3C5 ? C3C5 ? C3 C5 ? 15 ? 30 ? 15 ? 60, 2 2 2 2 或用间接法: C4 C6 ? C3 C5 ? 90 ? 30 ? 60, 故选C.

)

直接法是解答选择题最常用的基本方法, 低档选择题可用此法迅速求解.直接法适用的范 围很广,只要运算正确必能得出正确的答案.提高直接法解选择题的能力,准确地把握中档 题目的“个性” ,用简便方法巧解选择题,是建立在扎实掌握“三基”的基础上,否则一味 求快则会快中出错. 2、特例法: 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设已知条件,经过适当的运算,从而得出特殊结 论,再利用该结论对各个选项进行检验,从而作出正确的选项。常用的特例有特殊数值、特 殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。 例 3.(山东卷文 7)不等式

x?5 ≥ 2 的解集是( ( x ? 1) 2
C. ? , ? ?1, 1? 3?



A. ? ?3, ? 答案:D

? ?

1? 2?

B. ? ? ,? 3

? 1 ? ? 2 ?

?1 ? ?2 ?

D. ? ? , ? ?1, 1? 3?

? 1 ? ? 2 ?

解析:本小题主要考查分式不等式的解法。易知 x ? 1 排除 B;由 x ? 0 符合可排除 C; 由 x ? 3 排除 A, 故选 D。也可用分式不等式的解法,将 2 移到左边直接求解。 例 4.(山东卷文 12)已知函数 f ( x) ? log a (2 x ? b ? 1)(a ? 0,a ? 1) 的图象如图所示,则

a,b 满足的关系是(
A. 0 ? a
?1

) B. 0 ? b ? a
?1

y

? b ?1

?1

O

x

C. 0 ? b?1 ? a ? ?1

D. 0 ? a ?1 ? b?1 ? 1

?1

答案:A 解析:本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。 由图易得 a ? 1, ? 0 ? a
?1

? 1; 取特殊点 x ? 0 ? ?1 ? y ? log a b ? 0,

? ? ?l o ag 1

1 ? ? ? l ob ? lao g ?1 0 0 ,a?1 ? b ? 1 .选 A. g a a

例 5. ( 陕 西 卷 文 11 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x? y) ? f ( x)? f ( y)? 2 x y ( x,y ? R ) f )( 2? ,则 f (?2) 等于( , 1 A.2 答案:A B.3 C.6 ) D.9

解:令 x ? y ? 0 ? f (0) ? 0 ,令 x ? y ? 1 ? f (2) ? 2 f (1) ? 2 ? 6 ; 令 x ? 2, y ? ?2 得 0 ? f (2 ? 2) ? f (2) ? f (?2) ? 8 ? f (?2) ? 8 ? f (2) ? 8 ? 6 ? 2 当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好) 进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律, 是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占 30%左 右. 3、筛选法: 从题设已知条件出发,运用定理、定理、性质、公式进行推理和运算,根据“四选一” 的指令,逐步剔除干扰项,从而得出正确的选项。 例 6.(天津卷文 7)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相 m2 n2


同,离心率为

1 ,则此椭圆的方程为( 2

x2 y 2 ? ?1 A. 12 16
答案:B

x2 y 2 ? ?1 B. 16 12

x2 y 2 ? ?1 C. 48 64

x2 y 2 ? ?1 D. 64 48

1 排除 D,选 B. 2 ? ? ? ? ? ? ? 例 7. (四川延考文 10)已知两个单位向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a ? ? b 与 ? a ? b 互相垂直 3
解析:抛物线的焦点为 (2, 0) ,椭圆焦点在 x 轴上,排除 A、C,由 e ? 的充要条件是( A. ? ? ? ) B. ? ? ?

3 3 或? ? 2 2

1 1 或? ? 2 2

C. ? ? ?1 或 ? ? 1 答案:C

D. ? 为任意实数

解: (a ? ? b) ? (? a ? b) ? (a ? ? b) ? (? a ? b) ? ? a ? ? b ? (? ? 1)a ? b ? (? ? 1)a ? b ? 0
2 2

?

?

? ?

?

?

? ?

?2

?2

? ?

? ?

? ? ? ? ? a ? b ? 0 ? ? 2 ? 1 ? 0 ? ? ? ?1 。另外 a 与 b 是夹角为 的单位向量,画图知 ? ? 1 时 3

? ? ? ? a ? b 与 a ? b 构成菱形,排除 AB,而 D 选项明显不对,故选 C。
例 8. (北京卷理 8 文 8)如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 BD1 上.过点

P 作垂直于平面 BB1 D1 D 的直线,与正方体表面相交于 M,N .设 BP ? x , MN ? y ,
则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( D1 A1 D M A B B1 P N C1 )

y

y

y

y

C

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

答案: B 【试题分析】: 显然,只有当 P 移动到中心 O 时,MN 有唯一的最大值,淘汰选项 A、 C;P 点移动时,x 与 y 的关系应该是线性的,淘汰选项 D。 例 9. (福建卷理 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)的图 象可能是( )

答案:D 试题分析:从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同,可以排除 B 答案,再者导函数的 函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出 y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应 该斜率慢慢变小,排除 AC,最后就只有答案 D 了,可以验证 y=g(x). 例 10.(浙江卷理 10)如图,AB 是平面 a 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动, 使得△ABP 的面积为定值,则动点 P 的轨迹是 (A)圆 (B)椭圆 (C)一条直线 (D)两条平行直线 答案:B 解析: 法一:可以采取排除法,直线是不可能的,在无穷远处,点到直线的距离为无穷大,故面 积也为无穷大,从而排除 C 与 D,又题目在斜线段下标注重点符号,从而改成垂直来处理, 轨迹则为圆,故剩下椭圆为答案! 法二:本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。 考虑到三角形面积为定值,底边一定,从而 P 到直线 AB 的距离为定值,若忽略平面的限制, 则 P 轨迹类似为一以 AB 为轴心的圆柱面,加上后者平面的交集,轨迹为椭圆! 筛选法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时, 先根据某些 条件在选择支中找出明显与之矛盾的, 予以否定, 再根据另一些条件在缩小的选择支的范围

那找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选 择题的常用方法。 4、代入法: 将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条 件,去验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案. 例 11.函数 y=sin(

? -2x)+sin2x 的最小正周期是( 3



(A)

? 2

(B)

?

(C) 2 ?

(D) 4 ?

答案:B 解: (代入法)f(x+

? ? ? ? )=sin[ -2(x+ )]+sin[2(x+ )]=-f(x),而 2 3 2 2

f(x+π )=sin[

? -2(x+π )]+sin[2(x+π )]=f(x).所以应选 B; 3
3 1 ? cos2x- sin2x+sin2x=sin(2x+ ),T=π ,选 B. 2 2 3

另解: (直接法)y=

例 12.函数 y=sin(2x+ (A)x=- 答案:A

? 2

5? )的图象的一条对称轴的方程是( ) 2 ? ? 5? (B)x=- (C)x= (D)x= 4 8 4

解: (代入法)把选择支逐次代入,当 x=-

? ? 时,y=-1,可见 x=- 是对称轴,又 2 2

因为统一前提规定“只有一项是符合要求的” ,故选 A. 另解: (直接法) ∵函数 y=sin(2x+ 即 x=

? 5? 5? )的图象的对称轴方程为 2x+ =kπ+ , 2 2 2

? k? -π,当 k=1 时,x=- ,选 A. 2 2

代入法适应于题设复杂,结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序,则能较大提高 解题速度。 5、图解法: 据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形, 借助几何图形的直观性作出正确的判断. 习惯上也叫数形结合法. 例 13.(辽宁卷理 11 文 12)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点, 则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 答案:D 解析: 本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题, 考查学

生的空间想象能力。在 EF 上任意取一点 M,直线 A1 D1 与 M 确定一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不同的位置就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N, 而直线 MN 与这 3 条异面直线都有交点的.如右图: 例 14.在圆 x 2 +y 2 =4 上与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点的坐标是( )

(A) (

8 6 , ) 5 5 8 6 , ) 5 5

(B)( ,-

8 5

6 ) 5

(C)(- 答案:A

(D)(-

6 8 ,- ) 5 5

解: (图解法)在同一直角坐标系中作出圆 x +y =4 和直线 4x+3y-12=0 后,由图可 知距离最小的点在第一象限内,所以选 A. 直接法先求得过原点的垂线,再与已知直线相交而得.

2

2

?2 ? x ? 1 x ? 0 例 15.设函数 f ( x) ? ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是( ? 2 x?0 ?x ?
(A) ? 1,1) ( (B) ? 1 , ? ? ) ( (C) ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? ) ( (D) ? ? , ? 1 ) ? (1, ? ? ) ( 答案:D 解: (图解法)在同一直角坐标系中,作出函数
y



y ? f ( x) 的图象和直线 y ? 1,它们相交于(-1,1)
和(1,1)两点,由 f ( x0 ) ? 1 ,得 x0 ? ?1 或 x0 ? 1 .
1

O x 严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴, 1 -1 而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时 非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉, 否则错误的图象反而会导致错误的选择. 6、割补法 “能割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转 化为规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而缩短解题长度.

例 16.一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个项点在同一球面上,则此球的表面积为( (A)3 ? (B)4 ? (C)3 3? ) (D)6 ?
B

A D C

答案:A 解:如图,将正四面体 ABCD 补形成正方体,则正四面体、正方体的中 心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为 2 ,所以正方体棱长为 1,

从而外接球半径 R=

3 .故 S 球=3 ? . 2

我们在初中学习平面几何时,经常用到“割补法” ,在高中课本中的立体几何推导锥体 的体积公式时又一次用到了“割补法” ,这些蕴涵在课本上的方法是各类考试的重点。因此, 当我们遇到不规则的几何图形或几何体时,自然要想到“割补法”.,特别是在立体几何中 求解几何体的体积和表面积时经常用到,要学会灵活处理。 7、极限法: 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解决某些问题,可以避开抽 象、复杂的运算,降低解题难度,优化解题过程。 例 17.对任意θ ∈(0,

? )都有( 2



(A)sin(sinθ )<cosθ <cos(cosθ ) (B) sin(sinθ )>cosθ >cos(cosθ ) (C)sin(cosθ )<cos(sinθ )<cosθ (D) sin(cosθ )<cosθ <cos(sinθ ) 答案:D 解:当θ ? 0 时,sin(sinθ ) ? 0,cosθ ? 1,cos(cosθ ) ? cos1,故排除 A,B. 当θ ?

? 时,cos(sinθ ) ? cos1,cosθ ? 0,故排除 C,因此选 D. 2


?x ? 0 ? 例18.不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是( ?3 ? x ? 2 ? x ?
(A)(0,2) 答案:C (B) (0,2.5)

(C) (0, 6 )

(D) (0,3)

解: 不等式的 “极限” 即方程, 则只需验证x=2, 2.5, 6 和3哪个为方程

3? x 2? x ? 3? x 2? x

的根,逐一代入,选C. 极限法也是用来解选择题的一种常用有效方法.它根据题干及选择支的特征,考虑极端 情形,有助于缩小选择面,迅速找到答案。 8、估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估 算而获得.这样往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层次. 例 19.(北京卷理 2)若 a ? 20.5 , b ? log π 3 , c ? log 2 sin

A. a ? b ? c B. b ? a ? c 答案: A 【试题分析】:利用估值法知 a 大于 1,b 在 0 与 1 之间,c 小于 0.

2π ,则( ) 5 C. c ? a ? b D. b ? c ? a

例 20.(北京卷文 2)若 a ? log 3 π,b ? log 7 6,c ? log 2 0.8 ,则(



A. a ? b ? c
答案 A

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

【解析】利用中间值 0 和 1 来比较: a ? log 3 π>1,0 ? b ? log 7 6 ? 1,c ? log 2 0.8 ? 0 估算法,省去了很多推导过程和比较复杂的运算,考场上可以节省宝贵的时间,从而 提高我们的解题速度,其应用十分的广泛,它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种 重要的运算方法。 文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)


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