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【数学】2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布(二) 课件2(人教B版必修3)


第二章 统 计
2.2.1 用样本的频率分布 估计总体的分布(二)

总体密度曲线 1.频率分布折线图
把频率分布直方图各个长方形上边的中 点用线段连接起来,就得到频率分布折线 图。

为了方便看图,一般习惯于把频率分布 折线图画成与横轴相连,所以横轴上的左 右两端点没有实际的意义。例如,前面的 钢管内径的频率分布折线图,如图所示。

频率分布直方图:

频率分布折线图
频率 组距 8

6

4

2

25.235 25.265 25.295 25.325 25.355 25.385 25.415 25.445 25.475 25.505 25.535 25.565

2.总体密度曲线 如果样本容量越大,所分组数越多,上 述图中表示的频率分布就越接近于总体在 各个小组内所取值的个数与总数比值的大 小。
设想如果样本容量不断增大,分组的组 距不断缩小,则频率分布直方图实际上越 来越接近于总体的分布,它可以用一条光 滑曲线y=f(x)来描绘,这条光滑曲线就叫做 总体密度曲线。

总体密度曲线精确地反映了一个总体 在各个区域内取值的规律。 产品尺寸落在(a,b)内的百分率就是图 中带斜线部分的面积。 对前面钢管内径的例子来说,总体密 度曲线呈中间高两边低的“钟”形分布, 总体的数据大致呈对称分布,并且大部 分数据都集中在靠近中间的区间内 。

例1:对于样本频率分布折线图与总体密 度曲线的关系,下列说法中正确的是( D ) (A)频率分布折线图与总体密度曲线无 关 (B)频率分布折线图就是总体密度曲线 (C)样本容量很大的频率分布折线图就 是总体密度曲线 (D)如果样本容量无限增大,分组的组 距无限减小,那么频率分布折线图就会无 限接近于总体密度曲线

解析:总体密度曲线通常是用样本频率分 布估计出来的;因为如果样本容量无限增 大,分组的组距无限缩小,那么频率分布 折线图就会无限接近于一条光滑曲线,这 条曲线就是总体密度曲线,故选D.

进一步理解:

(1)总体密度曲线与总体分布相互唯一 确定,如果总体分布已知,就可以得到总 体密度曲线的函数表达式,从而用函数的 理论去研究它。但我们所面临的情况是总 体分布未知,因此,我们只能通过样本频 率分布折线图近似表示总体密度曲线,当 然还可以用其他方法估计总体密度曲线, 但不能够通过样本数据准确地画出总体密 度曲线。

(2)总体密度曲线的实际意义在于: 总体密度曲线与x轴,直线x=a,x=b围

成的面积等于x在[a,b]取值时的概率.

3.茎叶图 茎叶图也是用来表示数据的一种图, 茎是中间的一列数,叶是从茎上生长出来 的数. 例2.甲、乙两篮球运动员在上赛季每场 比赛的得分如下,试比较这两位运动员的 得分水平. 甲: 12,15,24,25,31,31,36,36, 37,39,44,49,50. 乙: 8,13,14,16,23,26,28,33, 38,39,51

解:画出两人得分的茎叶图

茎叶图的中间部分像一颗植物的茎,两
边部分像这颗植物上长出来的叶子。

用中间的数字表示两位运动员得分的十 位数,两边的数字分布表示两个人各场得
分的个位数,例如 3| 389 就表示了33,38,

39这3个数据。

从这个茎叶图可以看出甲运动员的得
分大致对称平均得分及中位数、众数都 是30多分;乙运动员的得分除一个51外, 也大致对称,平均得分及中位数、众数 都是20多分,因此甲运动员发挥比较稳 定,总体得分情况比乙好.

画茎叶图的步骤 S1 将每个数据分为茎(高位)和叶 (低位)两部分; S2 将最小茎和最大茎之间的数按大小 次序排成一列,写在左(右)侧;

S3 将各个数据的叶按大小次序写在其
茎右(左)侧。

几种表示样本分布的方法比较: (1)频率分布表在数量表示上比较确切, 但不够直观、形象,分析数据分布的总体 态势不太方便; (2)频率分布直方图能够很容易地表示 大量数据,非常直观地表明分布的形状, 使我们能够看到频率分布表中看不清楚 的数据模式,但是从频率分布直方图本 身不能得出原始的数据内容,也就是说, 把数据表示成直方图后,原有的具体数 据信息就被抹掉了。

(3)频率分布折线图的优点是它反映了 数据的变化趋势,如果样本容量不断增 大,分组的组距不断缩小,那么折线图 就趋向于总体密度曲线。
(4)用茎叶图刻画数据有两个优点:一 是所有的信息都可以从这个茎叶图中得 到;二是茎叶图便于记录和表示,能够 展示数据的分布情况,但当样本数据较 多或数据位数较多时,茎叶图就显得不 太方便了。

例3.在某电脑杂志的一篇文章中,每个 句子的字数如下: 10,28,31,17,23,27,18,15,26, 24,20,19,36,27,14,25,22,11, 24,27,17. 在某报纸的一篇文章中,每个句子的 字数如下: 27,39,33,24,28,19,32,41,33, 27,35,12,36,41,27,13,22,23, 18,46,32,22。

(1)将这两组数据用茎叶图表示;
(2)将这两组数据进行比较分析,得到 什么结论? (1)将 这两组数 据用茎叶 图表示;

(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在 10,30之间,中位数为22.5,而报纸上每 个句子的字数集中在20,40之间,中位数 为27.5,还可以看出电脑杂志上每个句子 的平均字数比报纸上每个句子的平均字数 要少,说明电脑杂志作为科普读物需要简 洁明了、通俗易懂。

例4. 有人说:“茎叶图表示三位数以上的 数据时不够方便”, 果真如此吗?请看下例:

现在能否用茎叶图来表示上述数据呢?

解:从上述数据可以看到它们的百位数字 都是3,所不同的仅仅是十位和个位,而 两位数据是可以作茎的,那么只需在茎的 位置写上百位和十位,叶的位置上写上个 位即可。

例5. 某运动员得分的茎叶图如下,试判 断他的得分的中位数,众数及稳定程度.

解:从这个图可以直观的看出该运动员得 分的中位数是36、众数是31与36, 且得分大都在20和40之间,分布较对称, 集中程度高,说明其发挥比较稳定.


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