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专项二:导数在研究函数中的应用(单调性)


导数

2016 届

专项二:导数在研究函数中的应用 单调性
〖考纲解读〗 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的 单调区间(对多项式函数不超过三次). 〖知识梳理〗 用导数研究函数的单调性 (1)用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增(减) ,只需证明在函数的定义域内 f ' ( x) ? ( ? )0 (2)用导数求函数的单调区间 求函数的定义域 D →求导 f ' ( x) →解不等式 f ' ( x) > ? ? ? 0 得解集 P →求 D ? P ,得 函数的 单调递增(减)区间。 一般地,函数 f ( x) 在某个区间可导 , f ' ( x) >0 一般地,函数 f ( x) 在某个区间可导 , f ' ( x) <0 (3)单调性的应用(已知函数单调性) 一 般 地 , 函 数 f ( x) 在 某 个 区 间 可 导 , f ( x) 在 这 个 区 间 是 增 ( 减 ) 函 数
( )0 ? f ( x )? ?

? f ( x) 在这个区间是增函数 ? f ( x) 在这个区间是减函数

【注】 ①求函数的单调区间, 必须优先考虑函数的定义域, 然后解不等式 f ' ( x) > (<)0( 不要带等号) ,最后求二者的交集,把它写成区间。 ②已知函数的增(减)区间,应得到 f ( x) ? (?)0 ,必须要带 上等号。 ③求函数的单调增(减)区间,要解不等 式 f ( x) ? (?)0 ,此处不能带上等号。 ④单调区间一定要写成区间, 不能写成集合或不等式;单调区间一般都写成开区 间,不要写成闭区间;如果一种区间有多个,中间不能用“ ? ”连接。 〖分析考向〗 考向一:求函数的单调区间

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求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数 f ( x) 的定义域. (2)求 f ?( x ) ,令 f ?( x) ? 0 ,求出它们在定义域内的一切实数根. (3)把函数 f ( x) 的间断点(即 f ( x) 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由 小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f ( x) 的定义区间分成若干个小区 间. (4)确定 f ?( x ) 在各个开区间内的符号,根据 f ?( x ) 的符号判定函数 f ( x) 在每个相 应小开区间内的增减性. 【例 1】已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 4x3 ? 2ax ? a ,求 f ( x) 的单调区间

【例 2】设函数 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? ln x)( k 为常数,e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底 2 x x

数).当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

2

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1 【例 3】已知函数 f ( x) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ;求 f ( x) 的解析式 2

及单调区间;

【例 4】已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax . 讨论 f ( x) 的单调性; 3

3

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【练习 1】已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数), ex

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;

【练习 2】设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 2 ,求 f ( x) 的单调区间

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考向二:已知单调性求参数范围
f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系: f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之

不一定.如函数 f ( x) ? x3 在 (??, ??) 上单调递增,但 f ?( x) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 是
f ( x) 为增函数的充分不必要条件.

【例】设 f ( x) ? 值范围。

ex ,其中 a 为正实数;若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取 1 ? ax 2

【练习 1】 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ,若 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

a 【练习 2】已知函数 f ( x) ? x 2 ? ( x ? 0 ,常数 a ? R) .若函数 f ( x) 在 x ?[2, ??) x

上是单调递增的,求 a 的取值范围.

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【巩固练习】
1.函数 y ? x2 ? bx ? c ( x ? (??,1) )是单调函数时, b 的取值范围为( A. b ? ?2 B. b ? ?2 ) C . b ? ?2 D. b ? ?2 )

2.函数 f ( x) ? x ln x ,则( A.在 (0, ?) 上递增

1 1 B.在 (0, ?) 上递减 C.在 ( 0, ) 上递增 D.在 ( 0, ) 上递减 e e

3.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ?



(D) ?1, ?? ? )

4.若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 1 在 (0, 2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围为( A. a ? 3 B. a ? 3 C. a ? 3 D. 0<a< 3

5 .函数 f ( x) ? x3 ? ex ? ax 在区间 [0,?? ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. (0,1] C. [1, ??) D. (??,1]
x

A. [0,1)

f ( x) 6.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时,有 xf ?( x) ? ? 0恒 2

成立,则不等式 x 2 f ( x) ? 0 的解集是 (



A. (?2, 0) ? (2, ??) B. (?2, 0) ? (0, 2) C. (??, ?2) ? (2, ??) D. (??, ?2) ? (0, 2) 7.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 ( A. ? ??,2? B. ? 0,3? C. ?1, 4 ? ) D. ? 2, ??? ) D. (0, 2)

8.函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 1 的单调递减区间是( A. (2, ??) 9 .已知 y ? B. (??, 2)

C. (??, 0)

1 3 x ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是 3

( ) A. b ? ?1或b ? 2

B. ? 1 ? b ? 2

C. ? 1 ? b ? 2

D. b ? ?1或b ? 2

10 .若函数 f ( x) ? x3 ? tx2 ? 3x 在区间 [1, 4] 上单调递减,则实数 t 的取值范围是 ( ) 51 A. ( ??, ] 8
51 , ?? ) 8
6

B. (??,3]

C. [

D. [3, ??)

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11.函数 f ( x) ? x 2 ? 2 ln x 的单调减区间是( A. (0,1) B. (1, ??) C. (??, ?1) ? (0,1)

) D. (?1,0) ? (0,1)

12.设 p : f (x) ? e x ? ln x ?2 x 2 ? mx ?1 在 (0, ? ?) 内单调递增, q : m ? ?5 ,则 p 是

q 的(

) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

13.若函数 y ? x2 ? (2a ?1) x ? 1 在区间 (??, 2] 上是减函数,则实数 a 的取值范围 是( )
2

A. [ - 3 ,+∞)

B. (-∞,- 3 ]
2

C. [

3 2

,+∞)

D. (-∞, 3 ]
2

14 .若函数 f ? x? ? x2 ? ex ? ax在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围 是 .
ln x 的单调递增区间是 x

15.函数 f ? x ? ?



16. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范 围是 。

17 .设 f ( x) ? 4x3 ? mx2 ? (m ? 3) x ? n ( m ,n ? R ) 是 R 上的单调增函数,则 m 的值 为 .
1 a 18.已知函数 f ( x) ? x3 ? ( x ? 0, a ? R) ,若 f ( x) 在 [2, ??) 是增函数,则实数 a 3 x 的范围是 .

1 1 2] 上是增函数, 19. 已知函数 f ( x)= x 2 ? 2ax ? ln x , 若 f ( x) 在区间 [ , 则实数 a 3 2
的取值范围 .

20.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0, 2) ,且在点 M (?1, f (?1)) 处 的切线方程 6 x ? y ? 7 ? 0 。 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2) 求函数 g ( x) ? 围。
3 2 x ? 9 x ? a ? 2 与 y ? f ( x) 的图像有三个交点, 求 a 的取值范 2

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21.已知函数 f ( x) ? ln x ?

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ? R. x

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 g ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围;

22.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2 x ,讨论 f ( x) 的单调性. 3 2

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23.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) . (1)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ?
1? a ,求函数 h( x) 的单调区间; x

24.已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? x ln x(a ? 0) . (1)若函数满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx2 ? 2 x 恒成立,求实数 b 的取 值范围; (2)若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围;

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25. f ( x) ? (ax2 ? x ?1)e x (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间 (2)若 a ? ?1 , f ( x) 的图象与 g ( x) ? 求实数 m 的范围.
1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点, 3 2

26.已知 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3bx ? c 在 x ? 2 处有极值,其图象在 x ? 1 处的切线 与直线 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 平行. (1)求函数的单调区间; (2)若 x ? [1,3] 时, f ( x) ? 1 ? 4c 2 恒成立,求实数 c 的取值范围。

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27.已知函数 g ? x ? ?

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x

(1)求函数 g ? x ? 的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;

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专项二:导数在研究函数中的应用 单调性(师)
〖考纲解读〗 了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的 单调区间(对多项式函数不超过三次). 〖知识梳理〗 用导数研究函数的单调性 (1)用导数证明函数的单调性 证明函数单调递增(减) ,只需证明在函数的定义域内 f ' ( x) ? ( ? )0 (2)用导数求函数的单调区间 求函数的定义域 D →求导 f ' ( x) →解不等式 f ' ( x) > ? ? ? 0 得解集 P →求 D ? P ,得 函数的 单调递增(减)区间。 一般地,函数 f ( x) 在某个区间可导 , f ' ( x) >0 一般地,函数 f ( x) 在某个区间可导 , f ' ( x) <0 (3)单调性的应用(已知函数单调性) 一 般 地 , 函 数 f ( x) 在 某 个 区 间 可 导 , f ( x) 在 这 个 区 间 是 增 ( 减 ) 函 数
( )0 ? f ( x )? ?

? f ( x) 在这个区间是增函数 ? f ( x) 在这个区间是减函数

【注】 ①求函数的单调区间, 必须优先考虑函数的定义域, 然后解不等式 f ' ( x) > (<)0( 不要带等号) ,最后求二者的交集,把它写成区间。 ②已知函数的增(减)区间,应得到 f ( x) ? (?)0 ,必须要带 上等号。 ③求函数的单调增(减)区间,要解不等 式 f ( x) ? (?)0 ,此处不能带上等号。 ④单调区间一定要写成区间, 不能写成集合或不等式;单调区间一般都写成开区 间,不要写成闭区间;如果一种区间有多个,中间不能用“ ? ”连接。 〖分析考向〗 考向一:求函数的单调区间

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求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数 f ( x) 的定义域. (2)求 f ?( x ) ,令 f ?( x) ? 0 ,求出它们在定义域内的一切实数根. (3)把函数 f ( x) 的间断点(即 f ( x) 的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由 小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f ( x) 的定义区间分成若干个小区 间. (4)确定 f ?( x ) 在各个开区间内的符号,根据 f ?( x ) 的符号判定函数 f ( x) 在每个相 应小开区间内的增减性. 【例 1】已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 4x3 ? 2ax ? a ,求 f ( x) 的单调区间

【例 2】设函数 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? ln x)( k 为常数,e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底 2 x x

数).当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

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1 【例 3】已知函数 f ( x) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ;求 f ( x) 的解析式 2

及单调区间;

【例 4】已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax . 讨论 f ( x) 的单调性; 3

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【练习 1】已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数), ex

曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间;

【练习 2】设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 2 ,求 f ( x) 的单调区间

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考向二:已知单调性求参数范围
f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系: f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之

不一定.如函数 f ( x) ? x3 在 (??, ??) 上单调递增,但 f ?( x) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 是
f ( x) 为增函数的充分不必要条件.

【例】设 f ( x) ? 值范围。

ex ,其中 a 为正实数;若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取 1 ? ax 2

【练习 1】 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ,若 f ( x) 在 [1, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围;

a 【练习 2】已知函数 f ( x) ? x 2 ? ( x ? 0 ,常数 a ? R) .若函数 f ( x) 在 x ?[2, ??) x

上是单调递增的,求 a 的取值范围.

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【巩固练习】
1.函数 y ? x2 ? bx ? c ( x ? (??,1) )是单调函数时, b 的取值范围为( A. b ? ?2 【答案】A B. b ? ?2 C . b ? ?2 D. b ? ?2
b ? 1 ,即 b ? ?2 ,故 2



【解析】二次函数以对称轴为界,一边增,一边减,所以 ? 选择 A. 考点:二次函数的图形与性质. 2.函数 f ( x) ? x ln x ,则( A.在 (0, ?) 上递增 【答案】D 【解析】 )

1 1 B.在 (0, ?) 上递减 C.在 ( 0, ) 上递增 D.在 ( 0, ) 上递减 e e

试题分析:因为函数 f ( x) ? x ln x ,所以 f ?( x) ? lnx+1, f ?( x ) >0,解得 x>

1 ,则 e

1 1 函数的单调递增区间为 ( , ??) , 又 f ?( x ) <0,解得 0<x< ,则函数的单调递减区间 e e 1 为(0, ).故选 D. e 考点:导数与函数的单调性.

3.若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ?



(D) ?1, ?? ?

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【答案】D
1 1 【解析】 f ' ( x) ? k ? ,由已知得 f ' ( x) ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 恒成立,故 k ? ,因为 x x 1 x ? 1 ,所以 0 ? ? 1 ,故 k 的取值范围是 ?1, ?? ? . x 【考点】利用导数判断函数的单调性.

4.若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 1 在 (0, 2) 上单调递减,则实数 a 的取值范围为( A. a ? 3 【答案】A B. a ? 3 C. a ? 3 D. 0<a< 3



【解析】 f ' ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? x ?3x ? 2a ? ,因为函数 f ? x ? 在 (0, 2) 上单调递减,则 在 (0, 2) 上 f ' ? x ? ? 0 即 3x ? 2a ? 0 恒成立,等价于 a ?
3? 2 ? 3 。故 A 正确。 2 考点:用导数研究函数的性质。 a? 3x 在 (0, 2) 上恒成立,所以 2

5 .函数 f ( x) ? x3 ? ex ? ax 在区间 [0,?? ) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. (0,1] C. [1, ??) D. (??,1]

A. [0,1) 【答案】D

【解析】因为 f ?( x) ? 3x2 ? e x ? a ,要使函数 f ( x) ? x3 ? e x ? ax 在区间 [0, ?? ) 上 单调递增,则须 f ?( x) ? 0 即 3x 2 ? e x ? a ? 0 也就是 a ? 3x 2 ? e x 在 [0, ??) 恒成立, 所以 a ? [3x2 ? ex ]max ,设 y ? 3x 2 ? e x(x ? 0) ,则 y? ? 6 x ? e x ? 0 在 [0, ??) 恒成立, 所以 y ? 3 x2 ? ex 在 [0, ??) 单调递增,从而 a ? [3x2 ? e x ]min ? 3 ? 02 ? e0 ? 1 ,故选 D. 考点:函数的单调性与导数.
f ( x) 6.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时,有 xf ?( x) ? ? 0恒 2 x

成立,则不等式 x 2 f ( x) ? 0 的解集是 (



A. (?2, 0) ? (2, ??) B. (?2, 0) ? (0, 2) C. (??, ?2) ? (2, ??) D. (??, ?2) ? (0, 2) 【答案】D
f ( x) 恒 成 立 得 , 【 解 析 】 不 等 式的 解集 就 是 f ?x ? ? 0 的 解 集 , 由 xf ?( x) ? ?0 2 x

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? f ?x ? ? f ?x ? ? 为 单 调 递 减 函 数 , f (2) ? 0 , 当 x ? 0 时 , ? ? ?0 , 函 数 x ? x ?

0 ? x ? 2 , f ?x ? ? 0 , x ? 2 时, f ?x ? ? 0 ,根据奇函数,知,当 x ? 0 时, x ? ?2 时,

f ?x ? ? 0 ,故选 D.
考点:1.函数的性质解不等式;2.利用导数求函数的单调性;3.函数的图像. 7.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 ( A. ? ??,2? 【答案】D 【解析】 f ??x? ? e x ? ?x ? 3?e x ? ?x ? 2?e x ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D. 考点:利用导数求函数的单调区间 8.函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 1 的单调递减区间是( A. (2, ??) 【答案】D 【解析】 f ??x? ? 3x 2 ? 6 x ? 3x?x ? 2? ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 ,故选 D. 考点:利用导数求函数的单调区间 1 9 .已知 y ? x 3 ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是 3 ( ) A. b ? ?1或b ? 2 B. ? 1 ? b ? 2 C. ? 1 ? b ? 2 D. b ? ?1或b ? 2 【答案】B 1 【解析】先求出函数为递增时 b 的范围,∵已知 y ? x 3 ? bx 2 ? (b ? 2) x ? 3 ∴ 3 y′=x2+2bx+b+2,∵f(x)是 R 上的单调增函数,∴x2+2bx+b+2≥0 恒成立,∴ △≤0,即 b2 b 2≤0,则 b 的取值是 1≤b≤2,故选 B. 考点:函数的单调性与导数的关系. 10 .若函数 f ( x) ? x3 ? tx2 ? 3x 在区间 [1, 4] 上单调递减,则实数 t 的取值范围是 ( ) 51 A. ( ??, ] 8 【答案】C
51 , ?? ) 8

) D. ? 2, ???

B. ? 0,3?

C. ?1, 4 ?

) D. (0, 2)

B. (??, 2)

C. (??, 0)

B. (??,3]

C. [

D. [3, ??)

【解析】 ∵ f ' ( x) ? 3x2 ? 2tx ? 3, 由于 f ( x) 在区间 [1, 4] 上单调递减, 则有 f ' ( x) ? 0 在 [1, 4] 上恒成立,即 3x 2 ? 2tx ? 3 ? 0 ,也即 t ?
3 1 ( x ? ) 在 [1, 4] 上恒成立,因为 2 x

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3 1 3 1 51 ( x ? ) 在 [1, 4] 上单调递增,所以 t ? (4 ? ) ? ,故选 C. 2 x 2 4 8 考点:导数的运算、利用导数判断函数的单调性. y?

11.函数 f ( x) ? x 2 ? 2 ln x 的单调减区间是( A. (0,1) 【答案】A 【解析】 f , ( x) = 2 x B. (1, ??) C. (??, ?1) ? (0,1)

) D. (?1,0) ? (0,1)

2 2( x +1)( x - 1) = , ( x > 0) ,令 f , ( x) < 0 ,解得 0 < x < 1 ,所 x x

以函数的单调减区间是 (0,1) ,故选 A. 考点:应用导数来确定函数的单调区间. 12.设 p : f (x) ? e x ? ln x ?2 x 2 ? mx ?1 在 (0, ? ?) 内单调递增, q : m ? ?5 ,则 p 是

q 的(

) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.必要不充分条件 C.充分必要条件 【答案】A 【 解 析 】
f ?( x) ? e x ?

p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在 内 单 调 递 增 , 则

1 1 ? ?) 上 恒 成 立 , 令 ? 4 x ? m ? 0 , 即 m ? ?e x ? ? 4 x 在 (0, x x 1 1 g ( x) ? ?e x ? ? 4 x ? ?(e x ? 4 x ? ) ,由于 x ? 0 ,则 e x ? 1 , x x

4x ?

1 1 1 ? 2 4 x ? ? 4 ,则 e x ? 4 x ? ? 5 ,则 g ( x) ? ?5 ,设 g ( x) 的最大值为 N, x x x

则必有 N ? ?5 ,则 m 的取值范围是 m ? N ,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 考点:1.导数与函数的单调性;2.均值不等式;3.估算法;4.充要条件与集 合的包含关系; 13.若函数 y ? x2 ? (2a ?1) x ? 1 在区间 (??, 2] 上是减函数,则实数 a 的取值范围 是( )
2

A. [ - 3 ,+∞) 【答案】B

B. (-∞,- 3 ]
2

C. [

3 2

,+∞)
3 ,故选 B 2

D. (-∞, 3 ]
2

2a - 1 ? 2 ,从而解得 a ? 2 考点:有关二次函数单调性.

【解析】由题意可知 -

14 .若函数 f ? x? ? x2 ? ex ? ax在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围

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【答案】 (??, 2ln 2) 【解析】∵函数 f(x)=x2﹣ex﹣ax,∴f′(x)=2x﹣ex﹣a, ∵函数 f(x)=x2﹣ex﹣ax 在 R 上存在单调递增区间,∴f′(x)=2x﹣ex﹣a>0, 即 a<2x﹣ex 有解, 令 g′(x)=2﹣ex,g′(x)=2﹣ex=0,x=ln2,g′(x)=2﹣ex>0,x<ln2,g′ (x)=2﹣ex<0,x>ln2 ∴当 x=ln2 时,g(x)max=2ln2﹣2,∴a<2ln2﹣2 即可. 考点:利用导数研究函数的单调性. ln x 15.函数 f ? x ? ? 的单调递增区间是 . x 【答案】 ? 0, e? (写出开区间算对) 【 解 析 】 因 为 , f ? x? ?
f ? x? ? ln x 1 ? ln x ? 0, 得0<x<e , 故 , 函 数 , 所 以 , 由f ' ? x ? ? x x2

ln x 的单调递增区间是(0,e). x 考点:利用导数研究函数的单调性 点评:简单题,在指定区间,导函数值非负,函数为增函数,导函数值非正,函 数为减函数。

16. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范 围是 【答案】 ?- 3,3 。

?

【解析】 f ' ( x) ? ?3x2 ? 2ax ?1 ? 0 在 (??,??) 恒成立,

? ? 4a2 ?12 ? 0 ? ? 3 ? a ? 3
17 .设 f ( x) ? 4x3 ? mx2 ? (m ? 3) x ? n ( m ,n ? R ) 是 R 上的单调增函数,则 m 的值 为 . 【答案】6 【解析】 f '( x) ? 12x2 ? 2mx ? m ? 3 ,因为 f ( x) 是 R 上的单调增函数,所以 f '( x) ? 0 在
R 上恒成立,则 (2m)2 ? 4 ? 12(m ? 3) ? 0 即 (m ? 6)2 ? 0 ,所以 m ? 6 ;

考点:1.导数在研究函数中的应用; 1 a 18.已知函数 f ( x) ? x3 ? ( x ? 0, a ? R) ,若 f ( x) 在 [2, ??) 是增函数,则实数 a 3 x 的范围是 . 【答案】 ? ??,16?

21

导数

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【解析】由已知可得 f ? ? x ? ? x 2 ?

a ? 0 在 ?2, ??? 上恒成立,即 a? x 4 在 ?2, ??? 上 2 x

恒成立,而函数 y ? x4 在 ?2, ??? 上为单调递增,所以 a? 24 ? 16 . 考点:函数单调性在求最值的应用. 【原创理由】考查函数的单调性与导数之间的关系,不等式恒成立问题,考查转 化与化归思想.

1 1 2] 上是增函数, 19. 已知函数 f ( x)= x 2 ? 2ax ? ln x , 若 f ( x) 在区间 [ , 则实数 a 3 2
的取值范围 4 【答案】 [ , ??) . 3 .

1 1 1 1 【解析】∵ f ?( x) ? x ? 2a ? ? 0 在 [ , 2] 恒成立,即 2a ? ? x ? 在 [ , 2] 恒成立,∵ x 3 x 3 8 4 1 8 (? x ? ) max ? ,∴ 2a ? ,即 a ? . 3 3 x 3
考点:1.导数的运用;2.恒成立问题. 20.已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0, 2) ,且在点 M (?1, f (?1)) 处 的切线方程 6 x ? y ? 7 ? 0 。 (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2) 求函数 g ( x) ? 围。 【答案】 (1) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 ; (2) 2 ? a ?
5 2 3 2 x ? 9 x ? a ? 2 与 y ? f ( x) 的图像有三个交点, 求 a 的取值范 2

【解析】 ( 1 )将点 P ? 0,2? 代入函数解析式可得 d 的值,将 x ? ?1 代入直线
6 x ? y ? 7 ? 0可得 f ? ?1? ? 1的值,再由切线方程可知切线的斜率为 6,由导数的

几何意义可知即 f ' ? ?1? ? 6 , 解由 f ? ?1? ? 1和 f ' ? ?1? ? 6 组成的方程组可得 b, c 的 值。 (2)可将问题转化为 g ? x ? ? f ? x ? 有三个不等的实根问题,将 g ? x ? ? f ? x ? 整 理变形可得 x 3 ?
9 2 9 x ? 6 x ? a ,令 h( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ,则 h( x) 的图像与 y ? a 图 2 2

像有三个交点。然后对函数 h ? x ? 求导,令导数等于 0 求其根。讨论导数的符号, 导数正得增区间,导数负得减区间,根据函数的单调性得函数的极值,数形结合
22

导数

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分析可得出 a 的取值范围。 (1)由 f ( x) 的图象经过点 P ? 0,2? ,知 d ? 2 。 所以 f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 ,则 f ?( x) ? 3x2 ? 2bx ? c. 由 在 M (? 1 ,f ? ( 1处 ) ) 的 切 线 方 程 是 6 x ? y ? 7 ? 0, 知 ?6 ? f (?1) ? 7 ? 0 , 即

?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? ?3, 即? 解得 b ? c ? ?3 。 f (? 1 ) ? 1 f ,? ? ( ?1 )。所以 6 ? ??1 ? b ? c ? 2 ? 1, ?b ? c ? 0,
故所求的解析式是 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2 。 (2)因为函数 g ( x) 与 f ( x) 的图像有三个交点 所以 x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 ? 即 x3 ?
3 2 x ? 9 x ? a ? 2 有三个根 2

9 2 x ? 6 x ? a 有三个根 2 9 令 h( x) ? x 3 ? x 2 ? 6 x ,则 h( x) 的图像与 y ? a 图像有三个交点。 2

接下来求 h( x) 的极大值与极小值(表略) 。
h( x) 的极大值为

5 2

h( x) 的极小值为 2

5 2 考点:1 导数的几何意义;2 用导数研究函数的图像及性质。 a 21.已知函数 f ( x) ? ln x ? , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ? R. x

因此 2 ? a ?

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 g ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 【答案】 (1) f ( x) 在 (0,?a ) 上单调递减,在 (?a,??) 上单调递增;(2) a ? 【解析】 (1) 先对 f ( x) 求导, 由于 f ' ( x) ?
5 ; 2

x?a 的正负与参数 a 有关, 故要对 a 分 x2

类讨论来研究单调性 ; ( 2)先由 g ( x) 在其定义域内为增函数转化为在不等式
g ' ( x) ? 0 中求参数范围的问题,利用分离参数法和基本不等式的知识求出参数 a

的取值范围; 试题解析:解: (1) f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且 f ' ( x) ?
x?a , x2

1分

23

导数

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①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增;

2分

②当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ;由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ; 故 f ( x) 在 (0,?a ) 上单调递减,在 (?a,??) 上单调递增. (2) g ( x) ? ax ?
a ? 5 ln x , g ( x) 的定义域为 (0,??) x

4分

a 5 ax 2 ? 5 x ? a g ' ( x) ? a ? 2 ? ? x x x2

5分

因为 g ( x) 在其定义域内为增函数,所以 ?x ? (0,??) , g ' ( x) ? 0

? ax 2 ? 5 x ? a ? 0 ? a ( x 2 ? 1) ? 5 x ? a ?


5x ? 5x ? ?a?? 2 ? x ?1 ? x ? 1? max
2

5 5x 5 5 8分 ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取等号,所以 a ? 2 x ?1 x ? 1 2 x 考点:1、利用导数研究单调性和最值,2、参数的取值范围问题,3、基本不等 式. 1 1 22.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 2 x ,讨论 f ( x) 的单调性. 3 2
2

【答案】 - 2 2 ? a ? 2 2 时,在 R 内单调递增; a ? 2 2 或 a ? 2 2 时,函数的增

a - a2 - 8 a - a2 - 8 a ? a2 - 8 a ? a2 - 8 区间为 和 ,减区间为 [ ] (- ?, ) ( , ? ?) , 2 2 2 2
【解析】 试题分析: f ' ( x) ? x2 - ax ? 2 ,?????????????????2 分 ①当 ? ? a 2 - 8 ? 0 即 - 2 2 ? a ? 2 2 时 f ( x) ? ②当 ? ? a 2 - 8 ? 0 即 a ? 2 2 或 a ? 2 2 时 解 f ' ( x) ? 0 得 x1 ?
1 3 1 2 x ? ax ? 2 x 在 R 内单调递增, 3 2

a - a2 - 8 a ? a2 - 8 , x2 ? ???????8 分 2 2

a - a2 - 8 a ? a2 - 8 (- ?, ) ( , ? ?) 函数的增区间为 和 ???????10 分 2 2 a - a2 - 8 a ? a2 - 8 , 减区间为 [ ]??????????????12 分 2 2
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导数

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考点:函数导数判定单调性 点评:函数单调性与其导数的关系:若在某一区间上 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 f ? x ? 是 增函数;若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 f ? x ? 是减函数。本题要对 a 分情况讨论,从而确 定是否有极值点,才能确定单调区间 23.已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) . (1)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ?
1? a ,求函数 h( x) 的单调区间; x

【答案】 ( 1) x ? y ? 2 ? 0 ; (2 )当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0, a ? 1) 上单调递减,在
(a ? 1,??) 上单调递增,当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0,??) 上单调递增;

【解析】 试题分析: (1)利用导数的几何意义求曲线在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程,注意这 个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率 k ? f ??1? ; (2)函数 y ? f ?x ? 在某 个区间内可导,则若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内单调递增,若 f ??x ? ? 0 ,则

f ?x ? 在这个区间内单调递减; (3)对于恒成立的问题,常用到两个结论: ( 1)

a ? f ?x ? 恒成立 ? a ? f ?x ?max , (2) a ? f ?x ? 恒成立 ? a ? f ?x ?min ,利用导数方
法 证 明 不 等 式 f ?x ? ? g ?x ? 在 区 间 D 上 恒 成 立 的 基 本 方 法 是 构 造 函 数

h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ? ,然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数 h?x ? ? 0 ,
其中一个重要的技巧就是找到函数 h?x ? 在什么地方可以等于零, 这往往就是解决 问题的一个突破口,观察式子的特点,找到特点证明不等式. 试题解析: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x , f (1) ? 1 ,切点 (1,1) , 分
? f ' ( x) ? 1 ? 2 ,? k ? f ' (1) ? 1 ? 2 ? ?1 , x

1

3分 4分

? 曲线 f ( x) 在点 ?1,1? 处的切线方程为: y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 .

(2) h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,定义域为 (0,??) , x

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导数

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h ' ( x) ? 1 ?

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[x ? (1 ? a)] ? 2 ? ? x x x2 x2

5分

①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 h ' ( x) ? 0 ,? x ? 0,? x ? 1 ? a 令 h ' ( x) ? 0 ,? x ? 0,? 0 ? x ? 1 ? a ②当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, h ' ( x) ? 0 恒成立, 6分 7分

综上:当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0, a ? 1) 上单调递减,在 (a ? 1,??) 上单调递增. 当 a ? ?1 时, h( x) 在 (0,??) 上单调递增. 8分

考点:1、利用导数求切线方程;2、利用导数求单调区间;3、恒成立的问题. 24.已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? x ln x(a ? 0) . (1)若函数满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx2 ? 2 x 恒成立,求实数 b 的取 值范围; (2)若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; 【答案】 (1) b ? 0 ; (2) a ? 【解析】 试题分析: (1)由 f (1) ? 2 代入函数解得 a 的值,既得函数 f ( x) 的解析式,再由
1 ln x 恒成立,利用导数求新函数 f ( x) ? bx2 ? 2x 恒成立,分离变量得 b ? 1 ? ? x x 1 ln x g ( x) ? 1 ? ? 的单调性,从而得 g ( x) 的最小值,既得实数 b 的取值范围; (2) x x
1 ; 2e

先求导函数 f ?( x) ? 2ax ? ln x, ( x ? 0) ,若函数 f ( x) 在定义域上是单调函数,则
ln x ln x ,求函数 h( x) ? 的最大 x x ln x ln x 值,可得 a 的取值范围;当 f ?( x) ? 0 时, 2a ? ,由于函数 h( x) ? 无最小 x x

f ?( x) ? 0或f ?( x) ? 0 恒成立,当 f ?( x) ? 0 时, 2a ?

值,则 f ?( x) ? 0 不恒成立,可得解; 试题解析: (1)∵ f (1) ? 2 ,∴a=1. f(x)=x2+x-xlnx. 由 x2+x-xlnx≥bx2+2x ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?
1 ln x ? ?b, x x

1 ln x ? ,可得 g ( x) 在 ?0,1? 上递减, x x
26

导数

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在 ?1,??? 上递增,所以 g ( x) min ? g (1) ? 0 ,即 b ? 0 (2) f ?( x) ? 2ax ? ln x, ( x ? 0)
令f ?( x) ? 0, 得2a ?
? 当a ? ln x 1 ln x 当x ? e时 h( x) max ? 设h ( x ) ? , , x e x

1 时,函数 f ( x) 在 (0,??) 单调递增. 2e 1 1 若0 ? a ? g ( x) ? 2ax ? ln x, ( x ? 0), g ' ( x) ? 2a ? , 2e x

g ' ( x) ? 0, x ?
?x ?

1 1 1 x ? (0, ), g / ( x) ? 0, x ? ( ,?? ), g / ( x) ? 0 2a , 2a 2a

1 时取得极小值即最小值 2a 1 1 1 而当0 ? a ? 时 g ( ) ? 1 ? ln ? 0, 2e 2a 2a

f / ( x) ? 0必有根, f ( x ) 必有极值,在定义域上不单调.
?a ? 1 2e 考点:1、利用导数判断函数的单调性及最值;2、恒成立问题;3、不等式、函 数及导函数的综合应用.

25. f ( x) ? (ax2 ? x ?1)e x (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间 (2)若 a ? ?1 , f ( x) 的图象与 g ( x) ? 求实数 m 的范围.
1 ? 2a ? 1 ? 【答案】 (1)当 a ? ? ,函数 f ?x ? 的单调递增区间 ? ? ,0 ? ,单调递减区间 2 a ? ? 1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点, 3 2

2a ? 1 ? ? ? ? ?, ? ?, a ? ? 2a ? 1 ? ?0,??? ;当 ? 1 ? a ? 0 ,函数 f ?x ? 的单调递增区间 ? ? 0,? ? ,单调递减区间
2

?

a

?

? 2a ? 1 ? ,?? ? , ?? a ? ?
3 1 ?? ?,0? ,当 a ? ? 1 ,函数 f ?x ? 在 R 上减函数; (2) ? ? ? m ? ?1
2

e

6

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导数

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【解析】 (1)函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可导,则若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区 间内单调递增, 若 f ??x ? ? 0 , 则 f ?x ? 在这个区间内单调递减; (3) 若可导函数 f ?x ? 在指定的区间 D 上单调递增 (减) , 求参数问题, 可转化为 f ??x ? ? 0 ?或f ??x ? ? 0? 恒 成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到; (2) 作出函数的大致图象,关键看极大值和极小值,通过单调性判断交点个数,但应 注意严谨性,根据图象判断交点的个数. 试题解析:解(1) f ?( x) ? x(ax ? 2a ? 1)e x
1 2a ? 1 ? ?0 时 , 2 a 2a ? 1 2a ? 1 f ?( x) ? 0 ? x ? ? 或x ? 0, f ?( x) ? 0 ? ? ? x?0 a a 1 2a ? 1 ? ?a?0 ? ?0 当 时 , 2 a 2a ? 1 2a ? 1 f ?( x) ? 0 ? x ? ? 或x ? 0, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ? a a 1 当 a ? ? 时 f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立 2



a??





由(1)知 a ? ?1 时, f ( x) 在 (??,?1) 和 (0,??) 上单调递减,在 (?1,0) 上单调递增
3 且 f (?1) ? ? , f (0) ? ?1 e

g?( x) ? x 2 ? x ? x( x ? 1) , g ?( x) ? 0 ? x ? ?1或x ? 0, g ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0
所以 g ( x) 在 (??,?1) 和 (0,??) 上单调递减,在 (?1,0) 上单调递增

? g (?1) ? f (?1) 3 1 若要有 3 个交点则 ? ? ? ? ? m ? ?1 . e 6 ? g (0) ? f (0)
考点:1、利用导数求函数的单调区间;2、图象交点的个数. 26.已知 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3bx ? c 在 x ? 2 处有极值,其图象在 x ? 1 处的切线 与直线 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 平行. (1)求函数的单调区间; (2)若 x ? [1,3] 时, f ( x) ? 1 ? 4c 2 恒成立,求实数 c 的取值范围。 【答案】 (1)当 x ? (0,2) 时,函数单调递减;当 x ? (??,0), (2,??) 时,函数单调 递增。

28

导数

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5 (2){ c | c ? ? 或c ? 1 }。 4
【解析】 (1)由题意: f ?( x) ? 3x 2 ? 6ax ? 3b
? a ? ?1 ? f ?(1) ? 3 ? 6a ? 3b ? ?3 由已知 ? 所以 ? ?b ? 0 ? f ?(2) ? 12 ? 12a ? 3b ? 0

直线 6 x ? 2 y ? 5 ? 0 的斜率为 ? 3 ; -----------------3 分

所以由 f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 0 得心 x ? 0 或 x ? 2 ; 所以当 x ? (0,2) 时,函数单调递减; 当 x ? (??,0), (2,??) 时,函数单调递增。-----------------6 分 (2)由(1)知,函数在 x ? (1,2) 时单调递减,在 x ? (2,3) 时单调递增; 所以函数在区间 [1,3] 有最小值 f (2) ? c ? 4 要使 x ?[1,3], f ( x) ? 1 ? 4c 2 恒成立

5 只需 1 ? 4c 2 ? c ? 4 恒成立,所以 c ? ? 或c ? 1 。 4 5 故 c 的取值范围是{ c | c ? ? 或c ? 1 } -----------------12 分 4 考点:本题主要考查导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性及极值,简单 不等式解法。
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,像“ f ( x) ? 1 ? 4c 2 恒成立”这 类问题,往往要转化成求函数的最值问题,然后解不等式。 x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . 27.已知函数 g ? x ? ? ln x (1)求函数 g ? x ? 的单调区间; (2)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值; 【答案】 (1)单调减区间是 (0,1), (1, e) ,增区间是 (e, ??) ; (2) 1 ;
4

【 解 析 】 解 : 由 已 知 函 数 g ( x), f ( x) 的 定 义 域 均 为 (0,1) ? (1, ??) , 且
f ( x) ? x ? ax . ln x

1分
ln x ? x ? 1 x ? ln x ? 1 , 2 (ln x) (ln x) 2

(1)函数 g ?( x) ?

当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 .

29

导数

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所以函数 g ( x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) ,增区间是 (e, ??) .
(ln x)

4分

(2)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,故 f ?( x) ? ln x ?21 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. 所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x)max ? 0 . 又 f ?( x) ? ln x ?21 ? a ? ? 1
(ln x)
2 ln x
? 1 ?a, ? ln x ? ? ln1x ? a ? ? ? ln1x ? 1 2? 4
2
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a .
4

所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 .
4 4 4

7分

考点:本题考查利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值问题 点评:此题考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的最值问题, 以及转化的数学思想

30


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