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2017年上海市虹口区高三一模数学试卷


上海市虹口区 2017 年高三一模数学试卷
2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知集合 A ? {1, 2, 4,6,8} , B ? {x | x ? 2k , k ? A} ,则 A ? B ? 2. 已知

z ? 2 ? i ,则复数 z 的虚部为 1? i

3. 设函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,且 f (a) ? 1 ,则 sin 2a ?

? a1 x ? b1 y ? c1 ?1 ?1 1 ? 的增广矩阵是 ? ? ,则此方程组的解是 ? a2 x ? b2 y ? c2 ?1 1 3 ? S 5. 数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, Sn 是它前 n 项和,则 lim n ? n ?? a 2 n
4. 已知二元一次方程 ? 6. 已知角 A 是 ?ABC 的内角,则“ cos A ?

1 3 ”是“ sin A ? ”的 2 2

条件(填“充

分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充要条件” 、 “既非充分又非必要”之一) 7. 若双曲线 x ?
2

y2 ? 1的一个焦点到其渐近线距离为 2 2 ,则该双曲线焦距等于 b2

8. 若正项等比数列 {an } 满足: a3 ? a5 ? 4 ,则 a4 的最大值为 9. 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60°的平 面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于

? x6 x ?1 10. 设函数 f ( x) ? ? ,则当 x ? ?1 时,则 ??2 x ? 1 x ? ?1 f [ f ( x)] 表达式的展开式中含 x 2 项的系数是
11. 点 M (20, 40) ,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F ,若对于抛物线上的任意点 P ,

| PM | ? | PF | 的最小值为 41,则 p 的值等于
12. 当实数 x 、 y 满足 x ? y ? 1时, | x ? 2 y ? a | ? | 3 ? x ? 2 y | 的取值与 x 、 y 均无关,
2 2

则实数 a 的取值范围是

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 在空间, ? 表示平面, m 、 n 表示二条直线,则下列命题中错误的是( A. 若 m ∥ ? , m 、 n 不平行,则 n 与 ? 不平行 B. 若 m ∥ ? , m 、 n 不垂直,则 n 与 ? 不垂直 C. 若 m ? ? , m 、 n 不平行,则 n 与 ? 不垂直 D. 若 m ? ? , m 、 n 不垂直,则 n 与 ? 不平行 )

14. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 范围是( )

?
3

) 在区间 [0, a ](其中 a ? 0 )上单调递增,则实数 a 的取值
B. 0 ? a ?

A. 0 ? a ?

?
2

?
12

C. a ? k? ?

?

12

,k?N

*

D. 2k? ? a ? 2k? ?

?
12

,k ?N

15. 如图,在圆 C 中,点 A 、 B 在圆上,则 AB ? AC 的值( A. 只与圆 C 的半径有关 B. 既与圆 C 的半径有关,又与弦 AB 的长度有关 C. 只与弦 AB 的长度有关 D. 是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值

??? ? ??? ?



16. 定义 f ( x) ? {x}(其中 { x} 表示不小于 x 的最小整数) 为 “取上整函数” , 例如 {2.1} ? 3 ,

{4} ? 4 ,以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是(
① f (2 x) ? 2 f ( x) ;② 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? x2 ? 1 ;



③ 任意 x1 、 x2 ? R , f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;④ f ( x) ? f ( x ? ) ? f (2 x) ; A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④

1 2

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 在正三棱锥 P ? ABC 中,已知底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为 4; (1)求证: PA ? BC ; (2)求此三棱锥的全面积和体积;

18. 如图, 我海蓝船在 D 岛海域例行维权巡航, 某时刻航行至 A 处, 此时测得其北偏东 30° 方向与它相距 20 海里的 B 处有一外国船只,且 D 岛位于海蓝船正东 18 海里处; (1)求此时该外国船只与 D 岛的距离; (2)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行,为了将该船拦截在 离 D 岛 12 海里的 E 处( E 在 B 的正南方向) ,不让其进入 D 岛 12 海里内的海域,试确定 海蓝船的航向,并求其速度的最小值(角度精确到 0.1°,速度精确到 0.1 海里/小时) ;

19. 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ?4 x ? c 的值域为 [0, ??) ; (1)判断此函数的奇偶性,并说明理由;

2 a (3)求出 f ( x ) 在 [1, ??) 上的最小值 g (a ) ,并求 g (a ) 的值域;

(2)判断此函数在 [ , ??) 的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;

x2 y 2 20. 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )过点 M (2,0) ,且右焦点为 F (1, 0) ,过 F 的直线 l 与 a b 椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,设点 P(4,3) ,记 PA 、 PB 的斜率分别为 k1 和 k2 ;
(1)求椭圆 C 的方程; (2)如果直线 l 的斜率等于 ?1 ,求出 k1 ? k2 的值; (3)探讨 k1 ? k2 是否为定值?如果是,求出该定 值,如果不是,求出 k1 ? k2 的取值范围;

21. 已知函数 f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1| ,无穷数列 {an } 的首项 a1 ? a ; (1)若 an ? f (n) ( n ? N ) ,写出数列 {an } 的通项公式;
*

(2)若 an ? f (an?1 ) ( n ? N 且 n ? 2 ) ,要使数列 {an } 是等差数列,求首项 a 取值范围;
*

(3)如果 an ? f (an?1 ) ( n ? N 且 n ? 2 ) ,求出数列 {an } 的前 n 项和 Sn ;
*

参考答案
一. 填空题 1. {2, 4,8} 6. 充分非必要 11. 22 或 42 2. 1 7. 6 12. [ 5, ??) 3. 0 8. 2 4. ?

?x ? 2 ?y ?1
9. 4 3

5.

1 4
10. 60

二. 选择题 13. A 三. 解答题 17.(1)略; (2) S ? 9 7 ? 9 3 , V ? 6 3 ; 18.(1) 2 91 ; (2)东偏北 41.8 , v ? 6.4 海里/小时; 19.(1)非奇非偶函数; (2)单调递增; (3)当 0 ? a ? 2 , g (a) ? 0 ;当 a ? 2 , g ( a ) ? a ? 20.(1)
?

14. B

15. C

16. C

4 ? 4 ;值域 [0, ??) ; a

1 x2 y 2 ? ? 1; (2) ; (3) 2 ; 2 4 3

21.(1) an ? n ? 3 ; (2) a ?{?3} ? [?1, ??) ;

3(n ? 1)(n ? 2) ; 2 3(n ? 1)(n ? 2) 当 ?2 ? a ? ?1 , S n ? a ? (n ? 1)(3a ? 5) ? ; 2 3n(n ? 1) 当 a ? ?1 , S n ? na ? ; 2
(3)当 a ? ?2 , S n ? a ? (n ? 1)(? a ? 3) ?


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