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2016-2017学年高中数学苏教版选修1-1章末综合测评3 Word版含解析


章末综合测评(三)

导数及其应用

(时间 120 分钟,满分 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在题中 横线上.) 1. 质点运动规律 s = t2 + 3 ,则在时间 (3,3 + Δt) 中,质点的平均速度等于 ________. 【解析】 【答案】 ?3+Δt?2+3-?32+3? 平均速度为 V = =6+Δt. 3+Δt-3 6+Δt f?x0+h?-f?x0+3h? 趋于常数________. h

2.若 f′(x0)=-3,则当 h→0 时, 【解析】

f?x0+h?-f?x0+3h? f?x0+h?-f?x0-3h? = 4 × . h 4h f?x0+h?-f?x0-3h? 趋于-3,故当 h→0 时, 4h

∵f′(x0)=-3,∴当 h→0 时, f?x0+h?-f?x0-3h? 趋于-12. h 【答案】 12

3.(2015· 天津高考)已知函数 f(x)=axln x, x∈(0, +∞), 其中 a 为实数, f′(x) 为 f(x)的导函数.若 f′(1)=3,则 a 的值为________. 【解析】 1? ? f′(x)=a?ln x+x· =a(1+ln x). x? ? ?

由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)=3,所以 a=3. 【答案】 3

4.已知曲线 f(x)=x2+2x-2 在点 M 处的切线与 x 轴平行,则点 M 的坐标是 ________. 【解析】 ∵f′(x)=2x+2,由 f′(x)=0 得 x=-1,又 f(-1)=1-2-2=

-3,∴点 M 的坐标为(-1,-3). 【答案】 (-1,-3)

5.函数 y=xex 在其极值点处的切线方程为__________. 【解析】 由题知 y′=ex+xex,令 y′=0,解得 x=-1,代入函数解析式

1? ? 可得极值点的坐标为?-1,- e?,又极值点处的切线为平行于 x 轴的直线,故方 ? ? 1 程为 y=-e . 【答案】 1 y=-e

1 1 ?1? 6.下列结论①(sin x)′=-cos x;②?x?′=x2;③(log3x)′=3ln x;④(x2)′ ? ? x-1 1 ? x? =x;⑤?-ex?′= ex ,其中正确的有________(填序号). ? ? 【解析】 1 ?1? 由于(sin x)′=cos x,故①错误;由于?x?′=-x2,故②错误; ? ?

1 ? x? 由于(log3x)′=xln 3,故③错误;由于 x2=2x,故④错误;由于?-ex?′= ? ? ex-xex x-1 - x 2 = ex ,所以⑤正确. ?e ? 【答案】 ⑤

7.函数 y=xsin x+cos x 在(π,3π)内的单调增区间是________. 【解析】 ∵y=xsin x+cos x,∴y′=xcos x,令 y′=xcos x>0,且 x∈(π, 3π),∴cos x>0, ?3π 5π? 且 x∈(π,3π),∴x∈? 2 , 2 ?, ? ? ?3π 5π? ∴函数 y=xsin x+cos x 在(π,3π)内的单调增区间是? 2 , 2 ?. ? ? 【答案】 ?3π 5π? ?2,2? ? ?

1 8.(2016· 徐 州 高 二 检 测 ) 函 数 f(x) = 2 ex(sin x + cos x) 在 区 间 上 的值 域 为 ________. 【解析】 1 1 f′(x)=2ex(sin x+cos x)+2ex(cos x-sin x)=excos x,

π? π ? 当 0≤x≤2时,f′(x)≥0,∴f(x)故?0,2?上单调递增. ? ? π ?π? 1 π ∴f(x)的最大值在 x=2处取得,f?2?=2e2, ? ? 1 ?1 1 π? f(x)的最小值在 x=0 处取得,f(0)=2.∴函数值域为?2,2e2?. ? ?

【答案】

?1 1 π? ?2,2e2? ? ?

1 9.若 f(x)=-2x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是 ________. 【解析】 由题意可知 f′(x)=-x+ b <0,在 x∈(-1,+∞)上恒成立, x+2

即 b<x(x+2)在 x∈(-1,+∞)上恒成立,由于 y=x(x+2)在(-1,+∞)上 是增函数且 y(-1)=-1,所以 b≤-1. 【答案】 (-∞,-1]

10.如图 1,是 y=f(x)的导函数的图象,现有四种说法: ①f(x)在(-2,-1)上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(-1,2)上是增函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 以上说法正确的序号是________(填序号).

图1 【解析】 由函数的图象可知:f′(-2)<0,f′(-1)=0,f(x)在(-2,-

1)上是减函数,①不正确;x=-1 时 f′(1)=0,函数在(-3,-1)递减,在(- 1,2)单调递增, 所以 x=-1 是 f(x)的极小值点, 所以②正确; f(x)在(-1,2)上 f′(x) >0,所以函数在(-1,2)上是增函数,所以③正确;函数在(-1,2)单调递增,在 (2,4)单调递减,所以 x=2 是 f(x)的极大值点,所以④不正确. 【答案】 ②,③

11.已知 f(x)=x3-3x2+2x+a,若 f(x)在 R 上的极值点分别为 m,n,则 m+ n 的值为________. 【解析】 ∵f(x)=x3-3x2+2x+a,∴f′(x)=3x2-6x+2,∵f(x)在 R 上的

极值点分别为 m,n,则 m,n 为 f′(x)=0 的两个根,根据韦达定理可得,m+n

-6 =- 3 =2,∴m+n 的值为 2. 【答案】 2

1 12.若 a>2,则函数 f(x)=3x3-ax2+1 在区间(0,2)上恰好有________个零点. 【解析】 ∵f′(x)=x2-2ax=x(x-2a),由 f′(x)=0,得 x=0 或 x=2a,

又 a>2,∴2a>4.当 x∈(0,2)时,f′(x)<0,此时 f(x)单调递减,又 f(0)=1,f(2) 8 11 =3-4a+1= 3 -4a,由 a>2 知 f(2)<0,∴函数 f(x)在(0,2)上只有 1 个零点. 【答案】 1

13.(2016· 郴 州 高 二 检 测 ) 对 于 R 上 可 导 的 任 意 函 数 f(x) , 若 满 足 (x - 1)f′(x)≥0,则 f(0)+f(2)与 2f(1)的大小关系为________. 【解析】 是增函数; 当 x<1 时,f′(x)≤0,f(x)在(-∞,1)上是减函数,故当 x=1 时,f(x)取得 极小值也为最小值,即有 f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),∴f(0)+f(2)≥2f(1). 【答案】 f(0)+f(2)≥2f(1) 依题意,当 x≥1 时,f′(x)≥0,函数 f(x)在(1,+∞)上

1 1 14.已知函数 f(x)=3x3+2x2-2x+m 的图象不经过第四象限,则实数 m 的取 值范围是________. 【解析】 f′(x)=x2+x-2.令 f′(x)=0,解得 x=-2 或 1,则 f(x)在(0,1)

内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴x=1 是极小值点.∵f(x)的图象不经过第 1 1 7 四象限,即当 x>0 时,f(x)≥0.∴f(1)=3+2-2+m≥0,∴m≥6. 【答案】 7 m≥6

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.) 15.(本小题满分 14 分)已知函数 y=ax3+bx2,当 x=1 时,有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值. 【解】 (1)y′=3ax2+2bx,当 x=1 时,y′|x=1=3a+2b=0,y|x=1=a+b

=3, ?3a+2b=0 即? ,解得:a=-6,b=9. ?a+b=3 (2)由(1)得 y=-6x3+9x2,y′=-18x2+18x,令 y′=0,得 x=0,或 x= 1 当 x>1 或 x<0 时,y′<0,函数在(-∞,0),(1,+∞)内单调递减;当 0 <x<1 时,y′>0,函数在(0,1)单调递增. ∴y 极小值=y|x=0=0. 16.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求 f(x)的单调递减区间; (2)若 f(x)在区间[-1,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 【解】 (1)f′(x)=-3x2+6x+9.令 f′(x)<0,解得 x<-1 或 x>3,

所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞). (2)f(2)=-8+12+18+a=22+a. 因为 f(x)在区间[-1,2]上 f′(x)>0,所以 f(x)在区间[-1,2]上单调递增, 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a =20,解得 a=-2.故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间[-1,2]上的最小值为-7. 17.(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为2,求 a 的值. 【解】 1 1 函数 f(x)的定义域为(0,2),f′(x)= x - +a. 2-x -x2+2 ,令 f′(x)=0,得 x= 2或 x=- 2(舍去) x?2-x?

(1)当 a=1 时,f′(x)=

所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为( 2,2). 2-2x (2)当 x∈(0,1]时,f′(x)= +a>0, x?2-x? 1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a=2. 18.(本小题满分 16 分)(2016· 南京高二检测)一火车锅炉每小时煤的消耗费用

与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为 20 km/h 时,每小时消耗的煤价值 40 元,其他费用每小时需 400 元,火车的最高速度为 100 km/h,火车以何速度 行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少? 【解】 设火车的速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km.由题意,令 40= 1 k· 203,∴k=200, 400? a ? 2 400? ? 1 ?kx + x ?=a?200x2+ x ?(0<x≤100). 则总费用 f(x)=(kx3+400)· x=a? ? ? ? ax3-40 000 3 由 f′(x)= =0,得 x=20 5. 2 100x 3 3 当 0<x<20 5时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 20 5<x≤100 时,f′(x) >0,f(x)单调递增. 3 3 ∴当 x=20 5时,f(x)取极小值也是最小值,即速度为 20 5 km/h 时,总费 用最少. 19.(本小题满分 16 分)已知 a 为实数,函数 f(x)= x(x-a). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 g(a)为 f(x)在区间[0,2]上的最小值,试写出 g(a)的表达式. 【解】 (1)由题意知函数的定义域为[0,+∞),f′(x)= x+ >0) ①若 a≤0,则 f ′(x)>0,故 f(x)有单调递增区间[0,+∞); a a a ②若 a>0, 令 f ′(x)=0, 得 x=3.当 0<x<3时, f ′(x)<0, 当 x>3时, f ′(x) >0. a? ? ?a ? 故 f(x)有单调递减区间?0,3?,单调递增区间?3,+∞?. ? ? ? ? 由于函数在某一点处没有增减性, 故函数的单调区间的情况为: 若 a≤0,f(x)有单调递增区间[0,+∞); a? ? ?a ? 若 a>0,f(x)有单调递减区间?0,3?,单调递增区间?3,+∞?. ? ? ? ? (2)①若 a≤0,f(x)在[0,2]上单调递增,所以 g(a)= f(0)=0. x-a 3x-a = (x 2 x 2 x

a ?a ? ②若 0<a<6,f(x)在[0,3 ]上单调递减,在?3,2?上单调递增, ? ? 2a ?a? 所以 g(a)=f?3?=- 3 ? ? a 3.

③若 a≥6,f(x)在[0,2]上单调递减, 所以 g(a)=f(2)= 2(2-a). 0,a≤0, ? ? 2a a 综上所述,g(a)=?- 3 3 ,0<a<6, ? ? 2?2-a?,a≥6. 20.(本小题满分 16 分)(2016· 洛阳高二检测)设函数 f(x)=a(x+1)2ln(x+1)+ bx(x>-1),曲线 y=f(x)过点(e-1,e2-e+1),且在点(0,0)处的切线方程为 y= 0. (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 x≥0 时,f(x)≥x2; (3)若当 x≥0 时,f(x)≥mx2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【解】 (1)f′(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+b,

∵f′(0)=a+b=0, f(e-1)=ae2+b(e-1)=a(e2-e+1)=e2-e+1, ∴a=1, b=-1. (2)f(x)=(x+1)2ln(x+1)-x, 设 g(x)=(x+1)2ln(x+1)-x-x2,(x≥0),g′(x)=2(x+1)ln(x+1)-x, (g′(x))′=2ln(x+1)+1>0,∴g′(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴g′(x)≥g′(0)=0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴g(x)≥g(0)=0.∴f(x)≥x2. (3)设 h(x)=(x+1)2ln(x+1)-x-mx2,h′(x)=2(x+1)ln(x+1)+x-2mx, 由(2)中知(x+1)2ln(x+1)≥x2+x=x(x+1), ∴(x+1)ln(x+1)≥x, ∴h′(x)≥3x-2mx, 3 ①当 3-2m≥0 即 m≤2时,h′(x)≥0,∴h(x)在[0,+∞)单调递增, ∴h(x)≥h(0)=0,成立.

3 ②当 3-2m<0 即 m>2时,h′(x)=2(x+1)ln(x+1)+(1-2m)x, h′′(x)=2ln(x+1)+3-2m, 2m-3 令 h′′(x)=0,得 x0=e 2 -1>0, 当 x∈[0,x0)时,h′(x)<h′(0)=0,∴h(x)在[0,x0)上单调递减, ∴h(x)<h(0)=0,不成立. 3 综上,m≤2.


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