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第一章导数及其应用1.3.1导数在研究函数中的应用—单调性教案9苏教版选修2


导数在研究函数中的应用—单调性 1.教学目标: (1)知识与技能:了解函数单调性与导数的关系,会求不超过 3 次的多项式函数的单调区间. (2)过程与方法:通过初等方法与导数方法在研究函数过程中的比较,体会导数方法在研究函数性质 中的一般性与有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律. (3)情感、态度与价值观:使学生对变量数学的思想方法有新的感悟,进一步发展学生的思维能力、 应用意识,促进学生全面认识数学价值,体会数学的广泛应用! 2.教学重点:利用导数研究函数的单调 性. 教学难点:引导学生发现函数的单调性与其导数的关系. 3.教学方法:本节课采用以问题为主线引发学生数学思维活动,探索概念并加以完善和应用. 教学手段:运用多媒体辅助教学. 4.教学过程: (一)课前导入,巩固已学方法概念,点明课题 问题 1:我们刚刚经过二十四节气的大雪,那下一个节气是什么? 冬至:俗话说‘夏至短,冬至长’ ,所以,冬至这一天白昼时间最短,夜的时间最长,从冬至起,夜 间变短,白天变长。 师点明课题:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,刻画函数变化趋势的知识就是函数的 单调性,这节课我就和同学们一起来再研究函数的单调性(板书:单调性) 问题 2:我们已学过的函数有哪些? 教师从中选取几个,并列表呈现出 来: y ? x , y ? x2 , y ? 1 , y ? ln x x 问题 3:已学过哪些确定函数单调区间的方法? 问题 4:函数单调性的定义内容是什么? (学生活动:思考,并回答) 设计意图:引导学生复习巩固已学过的函数以及确定函数单调区间的方法、函数单调性的定义—— 刻画函数变化趋势的本质和理论依据! 1 (二)创设情境,引出问 题 . 问题 1:你能确定函数: y ? x3 ? x , y ? ln x 的单调区间吗? x (学生活动:利用定义法和图像法去尝试! ) 教师点明:这些简单函数通 过四则运算构造出的函数拓宽了我们研究的范围,但是已有的研究函数 单调性方法呈现了局限性,看来我们要寻找 —新的解决方法! 设计意图:奥苏贝尔认为,有意义的学习需要把学生的 学习建立在已有的学习经验基础上,本节课 的情境设置着眼于学生最近发展区,以学生 熟悉的函数通过简单的四则运算组合出新函数去研究单 调性,制造强烈认知冲突,从而引发学生积极思考,体现了用导数研究函数单调性的必要性,同时 也让学生感受数学自身发展的一般规律。 (三)引导探索,形成概念 问题 1:还有哪些与刻画函数变化趋势有关的知识? 并就它们是如何刻画函数变化趋势的谈谈你的观点。 (学生活动:以小组为单位研究讨论,并给出结论) 结). 问题 2:函数的单调性与导数有怎样的联系? 2 设计意图: 波利亚在解题中谈到: “ 提高学生问题解决能力的 关键是让学生能够清晰地透视问题的 本质!问题的本质是如何找到的?那就离不开三件事,其一是分析问题,即对问题进行解剖,了解 条件和所需结论之间的关系和链接,找到一个或多个突破口进行尝试;其二是透视本质,即在分析 问题的基础上找到问题的本质,站在更高的地方来看问题解决需要联系的数学知识和解决方法,能 够想到存储在脑海中最基本的数学知识和基本技能;最后是转化解决问题, 即将陌生问题进行合理 的转化划归,每一个陌生的数学问题都需要转化为熟悉的模式进行求解. 概念呈现:一般地,我们有下面结论:对于函数 y ? f ( x) 如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上增函数; 如果在某区间上 f

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