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【高考数学备战专题】专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题


高三文科数学总复习 专项强化训练(五) 圆锥曲线的综合问题 1.已知直线 l:y=x+1,圆 O:x2+y2= ,直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C: x 2 y2 2 ? 2 =1(a>b>0)的短轴长相等,椭圆的离心率 e= . 2 a b 2 3 2 (1)求椭圆 C 的方程. (2)过点 M(0, ? ) 的直线 l0 交椭圆于 A,B 两点,试问:在坐标平面上是否 存在一个定点 T,使得无论 l0 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若 存在,求出点 T 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出 a,b 的值,从而求得 椭圆 C 的方程. (2)先根据直线 l0 的斜率不存在及斜率为 0 的情况确定 T 的坐标,然后 再证明以 AB 为直径的圆恒过定点 T 即可. 【解析】(1)由题意知,圆 O 的半径 r= 离 d= 1 2 , ? 2 2 3 1 ? ? 2, 2 2 6 ,圆 O(0,0)到直线 y=x+1 的距 2 1 3 则直线 l 被圆截得的弦长为 2 r 2 ? d 2 ? 2 依 e? 2 2 题 意 c ? , a 2=2b,b=1. b2 ? 1 a ?e 得 又 2 ? , 2 椭 1 ,? a 圆 a 的 ? 2 离 心 率 所以椭圆 C 的方程为 x2 +y2=1. 2 (2)假设存在定点 T(x0,y0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≤x2). 当直线 l0 的斜率不存在时,易知 A(0,1),B(0,-1), 则圆的方程为 x2+y2=1. 当直线 l0 的斜率为 0 时,直线 l0 的方程为 y=- , 4 1 4 3 3 3 1 16 即圆的方程为 x 2 ? (y ? )2 ? . 3 9 1 3 代入椭圆方程可得 A(? , ? ), B( , ? ), 1 3 易知 T(0,1). 下面证明,当直线 l0 的斜率存在且不为 0 时,T(0,1)也符合. 设直线 l0 的方程为 y=kx- , ? x2 ? y 2 ? 1, ? ?2 联立 ? ? y ? kx ? 1 , ? 3 ? 1 3 消去 y 得(2k2+1)x2- kx ? 则 x1 ? x 2 ? 4 3 16 =0. 9 4k ?16 . , x1x 2 ? 2 3?1 ? 2k ? 9 ?1 ? 2k 2 ? 此 时 , 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 =(x1,y1-1), 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 =(x2,y2-1), 即当直线 l0 的斜率存在且不为 0 时,以 AB 为直径的圆恒过点 T(0,1). 综上所述,存在定点 T,其坐标为(0,1). 【加固训练】 已知椭圆 C: x 2 y2 ? =1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,A a 2 b2 为上顶点,△AF1F2 为正三角形,以 AF2 为直径的圆与直线 y= 3 x+2 相切. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)过点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 M,N 两点,在 x 轴上是否存 在点 P(m,0),使得错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 时四边形 PMQN 为菱形,且点 Q 在椭圆 C 上?若存在,求 m 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由已知△AF1F2 为正三角形, c 1 得 ? sin30? ? ,即a ? 2c, b ? 3c,

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