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2014年上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区高三二模数学试卷(文科)及答案


静安杨浦青浦宝山 2013 学年度联合高考模拟考试 数学试卷文科
(满分 150 分,完卷时间 120 分钟)
2014.4 一、填空题 (本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个 空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.二阶行列式

1? i 0 的值是 1? i 1? i

. (其中 i 为虚数单位)

2. 已知 i , j 是方向分别与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个基本单位向量,则平面向量 i ? j 的模等 于 . 3.二项式 ( x ? 1) 7 的展开式中含 x 项的系数值为_______________.
3

? ?

4.已知圆锥的母线长为 5 ,侧面积为 15? ,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留 ? ) 5.已知集合 A ? y y ? sin x, x ? R , B ? x x ? 2n ? 1, n ? Z ,则 A

?

?

?

?

B?

.

(文)若 x ? (?? ,? ) ,则方程 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1的解是_____________. 9.

? x ? 2 y ? 4, ?2 x ? y ? 3, ? (文)满足约束条件 ? 的目标函数 f ? x ? y 的最 ? x ? 0, ? ? y ? 0,
小值为_______. 10. 阅读右面的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 为 . 11. (文)在平面直角坐标系 xOy 中,若中心在坐标原点的双 曲线过点 ? 2,3? ,且它的一个顶点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重 合,则该双曲线的方程为 . 12. (文)从 5 男 3 女 8 位志愿者中任选 3 人参加冬奥会火 炬接力活动,所选 3 人中恰有两位女志愿者的概率 是 . 13. (文) 若三个数 a,1, c 成等差数列 (其中 a ? c ) , 且 a ,1, c
2 2

开始

x ? 1, y ? 1

z ? x? y
z ? 20
是 否 输出

x? y

y x

y?z
第 10 题 图

结束

成等比数列,则 lim (
n??

a?c n ) 的值为 a2 ? c2



? x, 0 ? x ? 1, ? 14. (文) 函数 f ( x ) 的定义域为实数集 R , f ( x) ? ? 1 x 对于任意的 x ? R 都 ( ) ? 1, ? 1 ? x ? 0. ? ? 2

有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) .若在区间 [?1,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰有四个不同的零点,则实数

m 的取值范围是

.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (文) 不等式

x ?1 ? 2 的解集为?????????????????( x ( A) {x | x ? ?1或x ? 0} ( B ) {x | x ? ?1} (C ) {x | x ? ?1} ( D) {x | ?1 ? x ? 0}

).

2 2 16. “ ? ? 1 ”是“函数 f ( x) ? sin ?x ? cos ?x 的最小正周期为 ? ”的????(

).

( A) 充分必要条件 (C ) 必要不充分条件

( B ) 充分不必要条件 ( D) 既不充分又必要条件

17. 若 圆 柱 的 底 面 直 径 和 高 都 与 球 的 直 径 相 等 , 圆 柱 、 球 的 表 面 积 分 别 记 为 S1 、 S 2 , 则

S1 : S 2 =????????????????????????(
( A) 1:1 ( B ) 2:1 (C ) 3:2 ( D) 4:1
,且

).

18. (文)已知向量 , 满足:

a

b

| a |?| b |? 1

| k a ? b |? 3 | a ? kb |
).

(k ? 0) .则向量 与向 a

量 的夹角的最大值为 ???????????? ( b

( A)

? 3

( B)

2? 3

(C )

? 6

(D)

5? 6

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤. 19. (本题满分 12 分) (文)已知几何体由正方体和直三棱柱组成,其三视图和直观图(单位:cm)如图所示.设两

PD 所成的角为 ? ,求 cos ? 的值. 条异面直线 AQ 1 和
P A1 2 2 A 正视图 B D Q P P Q D1 B1 D A 第 19 题图 C B C1

2
B1 D1 2 2 侧视图

2
A1 D1 1 P 1 A A1 2 Q B1 C1 A1

俯视图

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示,该扇环面花坛 是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧 AD 、弧 BC 以及两条线 段 AB 和 CD 围成的封闭图形.花坛设计周长为 30 米,其中 大圆弧 AD 所在圆的半径为 10 米. 设小圆弧 BC 所在圆的半 径为 x 米( 0 ? x ? 10 ) ,圆心角为 ? 弧度. (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)在对花坛的边缘进行装饰时,已知两条线段的装饰 费用为 4 元/米, 两条弧线部分的装饰费用为 9 元/米. 设 花坛的面积与装饰总费用的比为 y ,当 x 为何值时, y 取 得最大值? 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 9 分 (文)已知椭圆 C : . 且 FA 1 ? FA 2 ? ?1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过焦点 F 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,弦 AB 的垂直平分线与 x 轴相交 于 D 点. 试问椭圆 C 上是否存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形?若存在,求 k 的值;若不存 在,请说明理由. 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 A B D

?
(第 20 题图)

C

O

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的右焦点 F (1,0) ,长轴的左、右端点分别为 A1, A2 , a 2 b2

?a1 ? 2, ? (文)已知数列 {an } 满足 ?a 2 ? 8, ( c 为常数, n ? N * ) ?a ? a ? ca , (n ? 2). n ?1 n ? n ?1
(1)当 c ? 2 时,求 an ; (2)当 c ? 1 时,求 a2014 的值;

(3)问:使 a n ?3 ? a n 恒成立的常数 c 是否存在?并证明你的结论.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 (文)设函数 g ( x) ? 3 x , h( x) ? 9 x . (1)解方程: h( x) ? 8g ( x) ? h(1) ? 0 ; (2)令 p( x) ?

g ( x) g ( x) ? 3

,求证:

p(

1 2 2012 2013 2013 ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? p( )? ; 2014 2014 2014 2014 2

(3)若 f ( x) ?

g ( x ? 1) ? a 是实数集 R 上的奇函数,且 g ( x) ? b

f (h( x) ? 1) ? f (2 ? k ? g ( x)) ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 k 的取值范围.

四区 2013 学年度高考模拟考试数学试卷文理科解答
参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的 精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考 生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数之半,如果有较严重的 概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 理 1.2; 3.35; 2. 2 4. 12? 2014.04

5. ??1,1? ;6. x ? y ? 3 ? 0 7. 2 2 ; 8. 9. ?

1 4

? x ? 4 cos? , 13 ( ? 为参数) ;10. 8 ? y ? 4 sin ? ,
10 30 15 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 56 56 56 56 8

11. E? ? 0 ? 12.3. 13.

3 2

14. sin 2? ? 文 1.2; 3.35;

1 10
2. 2

4. 12?

5. ??1,1? ;6. {?

5? ? ? ? ,? , , } 6 2 6 2

7. x ? y ? 3 ? 0 ; 8. 2 2 9.

7 ; 3
2

10.

1 4

11. x ?

y2 C1C 2 15 ? 1; 12. 5 3 3 ? 3 C8 56
n n n

? a?c ? ? 2? ? a?c ? 13.当 ac ? ?1 时, ? 2 ? ? ? ? lim? 2 ? ?0; 2 ? n?? a ? c 2 ?a ?c ? ?6? ? ?
当 ac ? 1 时, a ? c 舍去. 14. (0, ] 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的 相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.D;16.B;17.C;18.理 D;文 A 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤 . 19. (理) A(0, 0, 0), C (1, 0, 0), B(1, ?1, 0), D(0,1, 0), F (1, ? , 0), P(0, 0,1) . (1) 证明方法一:Q 四

1 4

1 2

边形是平行四边形, Q PA ? 平面 ABCD ? PA ? DA ,又 AC ? DA , AC I PA ? A ,
? DA ? 平面 PAC . uuu r 方法二:证得 DA 是平面 PAC 的一个法向量,? DA ? 平面 PAC .

(2) 通 过 平 面 几 何 图 形 性 质 或 者 解 线 性 方 程 组 , 计 算 得 平 面 PAF 一 个 法 向 量 为 u r , m ? (1, 2, 0 ) u r r u r r r | m?n | 15 r r ? 又平面 PCD 法向量为 n ? (1,1,1) ,所以 cos ? m, n ?? u 5 | m || n |
? 所求二面角的余弦值为
15 . 5
A1 D A 第 19 题图 Q D1 B1 C B C1

P

(文)由 PQ // CD ,且 PQ ? CD ,可知 PD // QC ,

PD 所成的角(或其补角) 故 ?AQC 为异面直线 AQ . 1 1 、
2 2 2 2 由题设知 A1Q ? A1 B1 ? B1Q ? 2 ? 2 ? 6 , AC ? 3?2 ? 2 3, 1 2

取 BC 中点 E ,则 QE ? BC ,且 QE ? 3 ,

QC 2 ? QE 2 ? EC 2 ? 32 ? 12 ? 10 .
由余弦定理,得

cos ? ? cos ?AQC ? 1

2 2 AQ ? QC 2 ? AC 6 ? 10 ? 12 15 1 1 . ? ? 2 AQ 15 2 6 ? 10 1 ? QC

20.(1)设扇环的圆心角为?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) , 所以 ? ?
10 ? 2 x , 10 ? x

(2) 花坛的面积为
1 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) . 2

装饰总费用为 9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10 x , 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y = 令 t ? 17 ? x ,则 y ? 此时 x ? 1,? ?
12 . 11
? x 2 ? 5 x ? 50 x 2 ? 5 x ? 50 =? , 170 ? 10 x 10(17 ? x)

39 1 324 3 ? (t ? ) ≤ ,当且仅当 t=18 时取等号, 10 10 t 10

答:当 x ? 1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大. 21.理(1)依题意不妨设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ,则 FB1 ? (?1, ?b) , FB2 ? (?1, b) .
2 由 FB1 ? FB2 ? ?a ,得 1 ? b ? ?a .
2 2 又因为 a ? b ? 1,

解得 a ? 2, b ? 3 . 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2)依题意直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 3
8k 2 4k 2 ? 12 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
所以弦 MN 的中点为

P(

4k 2 ?3k , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

所以 MN ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
2

64k 4 4(4k 2 ?12) ? (k ? 1)[ ? ] (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2
12(k 2 ? 1) ? . 4k 2 ? 3
直线 PD 的方程为 y ?

3k 1 4k 2 ? ? ( x ? ), 4k 2 ? 3 k 4k 2 ? 3

由 y ? 0 ,得 x ?

k2 k2 D ( ,0) , ,则 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

所以 DP ?

3 k 2 (k 2 ? 1) . 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) DP k2 1 1 4k 2 ? 3 ? 1 ? ? 1? 2 所以 . 2 2 12(k ? 1) MN 4 k ?1 4 k ?1 4k 2 ? 3
2 又因为 k ? 1 ? 1 ,所以 0 ?

1 ?1. k ?1
2

所以 0 ?

1 1 1 1? 2 ? . 4 k ?1 4

所以

DP 1 的取值范围是 (0, ) . 4 MN

(文)(1)依题设 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,则 FA 1 ? (?a ? 1,0) , FA 2 ? (a ?1,0) . 由 FA 1 ? FA 2 ? ?1,解得 a ? 2 ,所以 b ? 1 .
2 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)依题直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . 2 2 x ? 2 y ? 2 ?

设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,弦 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ?

?k 4k 2 2(k 2 ? 1) 2k 2 x x ? x ? , , , y0 ? , 1 2 0 2 2 2 2k 2 ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

所以 M (

2k 2 ?k , 2 ). 2 2k ? 1 2k ? 1 1 2k 2 ? ? ( x ? ), 2k 2 ? 1 k 2k 2 ? 1 k

直线 MD 的方程为 y ?

令 y ? 0 ,得 xD ?

k2 k2 D ( ,0) . ,则 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

若四边形 ADBE 为菱形,则 xE ? xD ? 2x0 , yE ? yD ? 2 y0 . 所以 E (

3k 2 ?2k , 2 ). 2 2k ? 1 2k ? 1 3k 2 2 ?2k ) ? 2( 2 )2 ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1
2 .所以椭圆 C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形.

若点 E 在椭圆 C 上,则 (
4

2 整理得 k ? 2 ,解得 k ?

x x x x 22.理(1) 3 ? (2 ? 3 ? 8) ? 9 ? 9 , 3 ? 9 , x ? 2

(2) p(

1007 1 3 1 1007 1 3 1 ) ? q( ) ? ? . ) ? p( ) ? ? , q( 2014 2 6 2 2014 2 2 3 2

因为 p( x) ? p(1 ? x) ?

3x 3 ? 3
x

?

31? x 3
1? x

? 3

?

3x 3 ? 3
x

?

3 3 ? 3
x

? 1,

q( x) ? q(1 ? x) ?
所以, p (

9x 91? x 9x 3 ? ? ? x ?1 x 1? x x 9 ?3 9 ?3 9 ?3 9 ?3

1 2 2013 1 ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? 1006 ? , 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 q( ) ? q( ) ? ? ? q( ) ? 1006 ? . 2014 2014 2014 2 1 2 2013 1 2 2013 p( ) ? p( ) ? ? ? p( ) = q( ) ? q( ) ? ? ? q( ). 2014 2014 2014 2014 2014 2014

(3)因为 f ( x) ?

? ( x ? 1) ? a 是实数集上的奇函数,所以 a ? ?3, b ? 1 . ? ( x) ? b

f ( x ) ? 3(1 ?

2 ) , f ( x) 在实数集上单调递增. 3 ?1
x

由 f (h( x) ? 1) ? f (2 ? k ? g ( x)) ? 0 得 f (h( x) ? 1) ? ? f (2 ? k ? g ( x)) ,又因为 f ( x) 是实数集上的奇函 数,所以, f (h( x) ? 1) ? f (k ? g ( x) ? 2) , 又因为 f ( x) 在实数集上单调递增,所以 h( x) ? 1 ? k ? g ( x) ? 2 即3
2x

? 1 ? k ? 3 x ? 2 对任意的 x ? R 都成立,
x

即k ? 3 ?

1 对任意的 x ? R 都成立, k ? 2 . 3x

(文) (1) an ? 2 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 4 (2)

a1 ? 2 , a2 ? 8 , a3 ? 6 ,

a4 ? ?2 , a5 ? ?8 , a6 ? ?6 , a7 ? 2 , a8 ? 8 , a9 ? 6 , a10 ? ?2 , a11 ? ?8 , a12 ? ?6 ,我们发现数列为一周期为6的数列.事实上,由 an?1 ? an?1 ? an 有

an?3 ? an?2 ? an?1 ? ?an , an?6 ? an?3?3 ? ?an?3 ? an .??8 分(理由和结论各 2 分)
因为

2014 ? 335 ? 6 ? 4 ,所以 a2014 ? a4 ? ?2 .

(3)假设存在常数 c ,使 a n ?3 ? a n 恒成立. 由 an?1 ? an?1 ? can 1 , ○

及 a n ?3 ? a n ,有 an?2 ? an ? can?1 ? an?1 ? an ? can?1 1 式减○ 2 式得 (an?1 ? an )(1 ? c) ? 0 . ○ 所以 an?1 ? an ? 0 ,或 1 ? c ? 0 .

2 ○

当 n ? N * , an?1 ? an ? 0 时,数列{ an }为常数数列,不满足要求. 由 1 ? c ? 0 得 c ? ?1 , 于是 an?1 ? an?1 ? ?an , 即对于 n ? N且n ? 2 , 都有 an?1 ? ?an ? an?1 , 所以

an?3 ? ?an?2 ? an?1 , an?2 ? ?an?1 ? an , 从 而 an?3 ? ?an?2 ? an?1 , ? an?1 ? an ? an?1 ? an

(n ? 1) .
所以存在常数 c ? ?1 ,使 a n ?3 ? a n 恒成立. 23.理(1) b1 ? aa1 ? a1 ? 1 ,

bn ? a an ? a 2n ?1 ? 2 2

n ?1

?1

?

4 n?1 ; 2

(2)根据反证法排除 a1 ? 1 和 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 证明:假设 a1 ? 2 ,又 an ? N * ,所以 a1 ? 1 或 a1 ? 3 (a1 ? N * ) ①当 a1 ? 1 时, b1 ? aa1 ? a1 ? 1 与 b1 ? 3 矛盾,所以 a1 ? 1 ; ②当 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 时, 即 a1 ? 3 ? b1 ? aa1 , 即 a1 ? aa1 , 又 a n ? an ?1 , 所以 a1 ? 1 与 a1 ? 3 (a1 ? N * ) 矛盾; 由①②可知 a1 ? 2 . (3)首先 ?an ? 是公差为 1 的等差数列, 证明如下:

an?1 ? an ? n ? 2, n ? N * 时 an ? an?1 ,
所以 an ? an?1 ? 1 ? an ? am ? (n ? m) , (m ? n , m、n ? N )
*

? aan?1 ?1 ? aan ?1 ? [an?1 ? 1 ? (an ? 1)] 即 cn?1 ? cn ? an?1 ? an

由题设 1 ? an?1 ? an 又 an?1 ? an ? 1 ? an?1 ? an ? 1 即 ?an ? 是等差数列.又 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,所以 an ? n , S n ? ?(2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ) , 对此式两边乘以 2,得

2S n ? ?22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2n?1
两式相减得 S n ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1 ? 2
n ?1

? n ? 2 n?1 ? 2

S n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 , S n ? n ? 2 n?1 ? 50 即 2 n?1 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2 n?1 ? 64 ? 52 ,即存在最
小正整数 5 使得 S n ? n ? 2 n?1 ? 50 成立. 注:也可以归纳猜想后用数学归纳法证明 an ? n .

x x x (文) (1) h( x) ? 8 g ( x) ? h(1) ? 0 即: 9 ? 8 ? 3 ? 9 ? 0 ,解得 3 ? 9 , x ? 2

(2) p(

1007 1 3 1 ) ? p( ) ? ? . 2014 2 2 3 2 3x 3 ? 3
x

因为 p( x) ? p(1 ? x) ? 所以, p(

?

31? x 3
1? x

? 3

?

3x 3 ? 3
x

?

3 3 ? 3
x

? 1,

1 2 2013 1 2013 ) ? p( ) ? ? ? p( ) ? 1006 ? ? , 2014 2014 2014 2 2

(3)同理科 22(3) .


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