fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届高三数学一轮复习第三篇第2节导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性基丛点练理


第2节 第一课时
【选题明细表】

导数在研究函数中的应用 利用导数研究函数的单调性
题号 2,6 1,4,7 3,8,11,12 5,9,10,13,14

知识点、方法 判断或证明函数的单调性 求函数的单调区间 已知函数的单调性求参数的取值范围 利用导数研究函数单调性的综合问题 基础对点练(时间:30 分钟) 1.函数 y=(3-x )e 的单调递增区间是( D ) (A)(-∞,0) (B)(0,+∞) (C)(-∞,-3)和(1,+∞) (D)(-3,1) x 2 x x 2 解析:y′=-2xe +(3-x )e =e (-x -2x+3), 2 由 y′>0? x +2x-3<0? -3<x<1, 2 x 所以函数 y=(3-x )e 的单调递增区间是(-3,1).故选 D. 2.(2015 宁波联考)函数 f(x)=-(a<b<1),则( C ) (A)f(a)=f(b) (B)f(a)<f(b) (C)f(a)>f(b) (D)f(a),f(b)大小关系不能确定
2 x

解析:因为 f′(x)=-

=

,当 x<1 时有 f′(x)<0,故 f(x)在 x<1 时为减函数,从而有

f(a)>f(b). 2 3.(2016 兰州一中期中)设函数 f(x)=x -9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的取值 范围是( A ) (A)(1,2] (B)[4,+∞) (C)(-∞,2] (D)(0,3] 解析:f′(x)=x-,当 f′(x)=x-≤0 时,0<x≤3,即在(0,3]上 f(x)是减函数, 因为 f(x)在[a-1,a+1]上单调递减, 所以 解得 1<a≤2,故 A 正确. )

4.f′(x)是 f(x)的导函数,若 f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的图象可能是( C

解析:由导函数的图象可知,当 x<0 时,f′(x)>0,即函数 f(x)为增函数;当 0<x<x1 时,f′
1

(x)<0,即函数 f(x)为减函数;当 x>x1 时,f′(x)>0,即函数 f(x)为增函数,观察选项易知 C 正 确. 5.(2016 江西省临川区一中高三上期中)若函数 f(x)=x+aln x 不是单调函数,则实数 a 的取 值范围是( C ) (A)[0,+∞) (B)(-∞,0] (C)(-∞,0) (D)(0,+∞) 解析:由题意知 x>0,f′(x)=1+,要使函数 f(x)=x+aln x 不是单调函数,则需方程 1+=0 在 x>0 上有解,即 x=-a,所以 a<0,故选 C. 2 6.(2016 福建省“四地六校”联考)已知函数 f(x)=x +ln x-ax 在(0,1)上是增函数,则实数 a 的最大值是 . 解析:由题意知在(0,1)上 f′(x)=2x+-a≥0, 所以 a≤2x+, 因为 2x+≥2 所以 a≤2 答案:2 7.函数 f(x)=x -15x -33x+6 的单调减区间为 . 3 2 2 解析:由 f(x)=x -15x -33x+6 得 f′(x)=3x -30x-33,令 f′(x)<0,即 3(x-11)(x+1)<0,解得 -1<x<11,所以函数 f(x)的单调减区间为(-1,11). 答案:(-1,11) 8.(2016 成都一诊)已知函数 f(x)= -2x +ln x(a>0).若函数 f(x)在[1,2]上为单调函数,则 a 的取值范围是 . 解析:f′(x)=-4x+,若函数 f(x)在[1,2]上为单调函数,即 f′(x) =-4x+ ≥ 0 或 f ′ (x)=-4x+ ≤ 0 在 [1,2] 上恒成立 , 即≥ 4x- 或≤ 4x- 在 [1,2] 上恒成立 . 令 h(x)=4x-,则 h(x)在[1,2]上单调递增,所以≥h(2)或≤h(1),即≥ 或≤3,又 a>0,所以 0<a ≤或 a≥1. 答案:(0,]∪[1,+∞) 9.(2016 武汉武昌区联考)已知函数 f(x)= 在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 解:(1)由题意得 f′(x)= , (k 为常数,e 是自然对数的底数),曲线 y=f(x)
2 3 2

, ,故 a 的最大值为 2 .

又 f′(1)=

=0,故 k=1.
2

(2)由(1)知,f′(x)=

.

设 h(x)=-ln x-1(x>0), 则 h′(x)=--<0, 即 h(x)在(0,+∞)上是减函数. 由 h(1)=0 知,当 0<x<1 时,h(x)>0, 从而 f′(x)>0; 当 x>1 时,h(x)<0,从而 f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1), 单调递减区间是(1,+∞). 能力提升练(时间:15 分钟) 3 2 10.(2015 青岛质检)已知 f(x)=x -6x +9x+2,f′(x)是 f(x)的导数,f(x)和 f′(x)单调性相同 的区间是( B ) (A)[3,+∞) (B)[1,2]和[3,+∞) (C)(-∞,2] (D)[2,+∞) 2 解析:f′(x)=3x -12x+9=3(x-1)(x-3), 在区间(-∞,1)与(3,+∞)上,f′(x)>0, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,1]与[3,+∞), 在区间(1,3)上,f′(x)<0,所以函数 f(x)的单调递减区间为[1,3]. 函数 f′(x)的单调递增区间为[2,+∞),单调递减区间为(-∞,2], 所以 f(x)和 f′(x)在区间[1,2]上均为减函数,在区间[3,+∞)上均为增函数,故选 B. x 11.已知向量 a=(e +,-x),b=(1,t),若函数 f(x)=a·b 在区间(-1,1)上存在增区间,则 t 的取 值范围为 . x x 解析:f(x)=e +-tx,x∈(-1,1),f′(x)=e +x-t,函数 f(x)在(-1,1)上存在增区间, x 故 e +x>t,x∈(-1,1)时有解,故 e+1>t. 答案:(-∞,e+1) 2 12.已知函数 f(x)=-x +4x-3ln x 在 [t,t+1]上不单调,则 t 的取值范围是 . 解析:由题意知 f′(x)=-x+4-=

=-

,

由 f′(x)=0 得函数 f(x)的两个极值点为 1,3, 则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内, 函数 f(x)在区间[t,t+1]上就不单调, 由 t<1<t+1 或 t<3<t+1,得 0<t<1 或 2<t<3. 答案:(0,1)∪(2,3) 13.(2016 沈阳质检)已知函数 f(x)=ln x,g(x)=ax+b. (1)若 f(x)与 g(x)在 x=1 处相切,求 g(x)的表达式; (2)若 ? (x)= -f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数 m 的取值范围.

3

解:(1)由已知得 f′(x)=, 所以 f′(1)=1=a,a=2. 又因为 g(1)=f(1)=0=a+b, 所以 b=-1,所以 g(x)=x-1. (2)因为 ? (x)= -f(x)= -ln x 在[1,+∞)上是减函数.

所以 ? ′(x)=
2

≤0 在[1,+∞)上恒成立.

即 x -(2m-2)x+1≥0 在[1,+∞)上恒成立, 则 2m-2≤x+,x∈[1,+∞), 因为 x+∈[2,+∞), 所以 2m-2≤2,m≤2. 故实数 m 的取值范围是(-∞,2]. 14.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2],函 3 2 数 g(x)=x +x ·[f′(x)+]在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 且 f′(x)= ,

当 a>0 时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1); 当 a=0 时,f(x)不是单调函数. (2)由(1)及题意得 f′(2)=-=1, 即 a=-2, 所以 f(x)=-2ln x+2x-3,f′(x)=
3 2

.

所以 g(x)=x +(+2)x -2x, 2 所以 g′(x)=3x +(m+4)x-2. 因为 g(x)在区间 (t,3)上总不是单调函数, 即 g′(x)在区间(t,3)上有变号零点. 由于 g′(0)=-2, 所以 当 g′(t)<0,即 3t +(m+4)t-2<0 对任意 t∈[1,2]恒成立,由于 g′(0)<0, 故只要 g′(1)<0 且 g′(2)<0, 得 m<-5 且 m<-9,即 m<-9;
2

4

由 g′(3)>0,得 m>- .

所以- <m<-9.

即实数 m 的取值范围是(- ,-9). 精彩 5 分钟 2 1.(2015 洛阳调研)若 f(x)=-(x-2) +bln x 在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( C ) (A)[-1,+∞) (B)(-1,+∞) (C)(-∞,-1] (D)(-∞,-1) 解题关键:依题意,f′(x)≤0 在(1,+∞)上恒成立. 解析:由题意可知 f′(x)=-(x-2)+≤0, 在 x∈(1,+∞)上恒成立, 即 b≤x(x-2)在 x∈(1,+∞)上恒成立, 2 由于 ? (x)=x(x-2)=x -2x 在(1,+∞)上的值域是(-1,+∞), 故只要 b≤-1 即可. 2 2.(2016 达州模拟)已知 f(x)=x -aln x 在区间(0,2)上不单调,实数 a 的取值范围是( D ) (A)(-2,0)∪(0,2) (B)(-4,0)∪(0,4) (C)(0,2) (D)(0,4) 解题关键:依题意,f′(x)在(0,2)内有变号零点. 解析:因为函数 f(x)在区间(0,2)上不单调, 所以 f′(x)=x-= 在(0,2)内有变号零点,



∈(0,2),所以 a∈(0,4).
2

3.(2016 通州模拟)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f′(x)<2f(x),则 e f(0)与 f(1) 的大小关系为 . 解题关键:构造函数 g(x)= ,研究其单调性.

解析:由 f′(x)<2f(x)得(

)′=

=

<0,

即函数 g(x)=

单调递减,

所以 g(0)>g(1),即 答案:e f(0)>f(1)
2

>

,即 e f(0)>f(1).

2

5


相关文档:


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图